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3. 计算$(-2)^{2025} + (-2)^{2026}$的结果是（
A.$-2^{2025}$
B.$-1$
C.$-2$
D.$2^{2025}$
D
）A.$-2^{2025}$
B.$-1$
C.$-2$
D.$2^{2025}$
答案
D
解析
【分析】
观察算式的两项，底数均为-2，指数分别为2025和2026，属于底数相同、指数相邻的幂相加的运算，可通过提取公因式简化计算：第一步先确定公因式为次数更低的$(-2)^{2025}$，第二步利用同底数幂的乘法法则将$(-2)^{2026}$改写为$(-2)^{2025}×(-2)$，第三步提取公因式后化简，最后结合乘方的符号规则计算最终结果即可。
【解析】
解：先对第二项变形，再提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{2025} + (-2)^{2026} &= (-2)^{2025} + (-2)^{2025} × (-2) \\&= (-2)^{2025} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{2025} × (-1)\end{aligned}$
因为2025是奇数，所以$(-2)^{2025} = -2^{2025}$，代入得：
$\begin{aligned}原式 &= (-2^{2025}) × (-1) \\&= 2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，乘方的符号法则，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘方运算的常见题型，核心是利用提公因式法简化高次幂的运算，解题时需注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
观察算式的两项，底数均为-2，指数分别为2025和2026，属于底数相同、指数相邻的幂相加的运算，可通过提取公因式简化计算：第一步先确定公因式为次数更低的$(-2)^{2025}$，第二步利用同底数幂的乘法法则将$(-2)^{2026}$改写为$(-2)^{2025}×(-2)$，第三步提取公因式后化简，最后结合乘方的符号规则计算最终结果即可。
【解析】
解：先对第二项变形，再提取公因式计算：
$\begin{aligned}(-2)^{2025} + (-2)^{2026} &= (-2)^{2025} + (-2)^{2025} × (-2) \\&= (-2)^{2025} × [1 + (-2)] \\&= (-2)^{2025} × (-1)\end{aligned}$
因为2025是奇数，所以$(-2)^{2025} = -2^{2025}$，代入得：
$\begin{aligned}原式 &= (-2^{2025}) × (-1) \\&= 2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，乘方的符号法则，同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘方运算的常见题型，核心是利用提公因式法简化高次幂的运算，解题时需注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正的符号规则，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
4.如图，长宽分别为$a$，$b$的长方形周长为16，面积为12，则$a^2b+ab^2$的值为（
A.80
B.96
C.192
D.240
B
）A.80
B.96
C.192
D.240
答案
B 解析:
∵边长为 a,b 的长方形周长为 16,面积为 12，
∴$a+b=8,ab=12$，
∴$a^2b+ab^2=ab(a+b)=12×8=96$。
∵边长为 a,b 的长方形周长为 16,面积为 12，
∴$a+b=8,ab=12$，
∴$a^2b+ab^2=ab(a+b)=12×8=96$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据长方形的周长公式可求出a+b的值，根据面积公式直接得到ab的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式ab，用提公因式法对其因式分解后，刚好是ab与(a+b)的乘积，最后将前面得到的ab和a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：已知长宽为a、b的长方形周长为16，面积为12，
根据长方形周长公式：$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$，
根据长方形面积公式可得：$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$a+b=8$，$ab=12$代入得：
原式$=12×8=96$。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，长方形周长与面积计算，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入的思想计算，能避免单独求解a、b的繁琐步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据长方形的周长公式可求出a+b的值，根据面积公式直接得到ab的值；再观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式ab，用提公因式法对其因式分解后，刚好是ab与(a+b)的乘积，最后将前面得到的ab和a+b的值整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
解：已知长宽为a、b的长方形周长为16，面积为12，
根据长方形周长公式：$2(a+b)=16$，解得$a+b=8$，
根据长方形面积公式可得：$ab=12$。
对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$a+b=8$，$ab=12$代入得：
原式$=12×8=96$。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，长方形周长与面积计算，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入的思想计算，能避免单独求解a、b的繁琐步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
5.16和24的最大公因数为
$3^3,3^4$和$3^7$的最大公因数为
8
；$3^3,3^4$和$3^7$的最大公因数为
$3^3$
。答案
5.8 $3^3$
解析
【分析】
本题分为两小问考察最大公因数的求解：
1. 求解16和24的最大公因数时，可采用分解质因数法，先将两个数分别分解为质因数相乘的形式，再提取公有的质因数，取其最低次幂相乘即可得到最大公因数；
2. 求解$3^3、3^4、3^7$的最大公因数时，观察可知三个数底数相同，由于同底数的幂中，低次幂是所有更高次幂的因数，因此直接取最小指数对应的幂即为三者的最大公因数。
【解析】
1. 求16和24的最大公因数：
先对两个数分解质因数：
$16 = 2^4$，$24 = 2^3 × 3$
两个数公有的质因数为2，其最低次幂为$2^3$，计算得$2^3=8$，因此16和24的最大公因数是8。
2. 求$3^3、3^4、3^7$的最大公因数：
三个幂的底数均为3，指数分别为3、4、7，其中最小指数为3，因此三者的最大公因数为$3^3$。
【答案】
8；$3^3$
【知识点】
最大公因数计算；分解质因数；同底数幂特征
【点评】
本题是最大公因数计算的基础题型，覆盖了整数和同底数幂两种常见的考察形式，解题方法固定，掌握核心求解规则即可快速得出结果，可帮助巩固最大公因数的基本概念和计算方法。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问考察最大公因数的求解：
1. 求解16和24的最大公因数时，可采用分解质因数法，先将两个数分别分解为质因数相乘的形式，再提取公有的质因数，取其最低次幂相乘即可得到最大公因数；
2. 求解$3^3、3^4、3^7$的最大公因数时，观察可知三个数底数相同，由于同底数的幂中，低次幂是所有更高次幂的因数，因此直接取最小指数对应的幂即为三者的最大公因数。
【解析】
1. 求16和24的最大公因数：
先对两个数分解质因数：
$16 = 2^4$，$24 = 2^3 × 3$
两个数公有的质因数为2，其最低次幂为$2^3$，计算得$2^3=8$，因此16和24的最大公因数是8。
2. 求$3^3、3^4、3^7$的最大公因数：
三个幂的底数均为3，指数分别为3、4、7，其中最小指数为3，因此三者的最大公因数为$3^3$。
【答案】
8；$3^3$
【知识点】
最大公因数计算；分解质因数；同底数幂特征
【点评】
本题是最大公因数计算的基础题型，覆盖了整数和同底数幂两种常见的考察形式，解题方法固定，掌握核心求解规则即可快速得出结果，可帮助巩固最大公因数的基本概念和计算方法。
【难度系数】
0.85
6.若分解因式：$m^2 +5m = m(m +k)$，则k的值为
5
。答案
6.5 解析:由条件可得 $m^2+5m=m(m+k)$，
∴k 的值为 5。
∴k 的值为 5。
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路清晰可按两步走：首先对等式左侧的多项式用提公因式法分解因式，提取公因式m后得到标准化的因式乘积形式；再将分解结果和等式右侧的式子对比，利用恒等变形对应项相等的规律即可求出k的值。
【解析】
先对等式左侧的多项式提取公因式$m$进行因式分解：
$m^2 +5m = m· m + m·5 = m(m+5)$
已知$m^2 +5m = m(m +k)$，因此可得$m(m+5)=m(m+k)$，由于因式分解是恒等变形，对任意$m$等式都成立，因此两个因式中除公因式$m$外的另一个因式对应相等，即$m+5=m+k$，化简后得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
提公因式法分解因式、恒等变形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式的掌握程度，解题关键是正确提取公因式，再通过恒等对比求出未知参数，计算量小，是因式分解章节的入门级考题。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路清晰可按两步走：首先对等式左侧的多项式用提公因式法分解因式，提取公因式m后得到标准化的因式乘积形式；再将分解结果和等式右侧的式子对比，利用恒等变形对应项相等的规律即可求出k的值。
【解析】
先对等式左侧的多项式提取公因式$m$进行因式分解：
$m^2 +5m = m· m + m·5 = m(m+5)$
已知$m^2 +5m = m(m +k)$，因此可得$m(m+5)=m(m+k)$，由于因式分解是恒等变形，对任意$m$等式都成立，因此两个因式中除公因式$m$外的另一个因式对应相等，即$m+5=m+k$，化简后得$k=5$。
【答案】
5
【知识点】
提公因式法分解因式、恒等变形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式的掌握程度，解题关键是正确提取公因式，再通过恒等对比求出未知参数，计算量小，是因式分解章节的入门级考题。
【难度系数】
0.9
7. 用提公因式法分解因式：
(1) $5x - 5xy$；
(2) $3a^2 - 6a$；
(3) $9x^2 - 6xy + 3x$。
(1) $5x - 5xy$；
(2) $3a^2 - 6a$；
(3) $9x^2 - 6xy + 3x$。
答案
7.(1)$5x(1-y)$ (2)$3a(a-2)$ (3)$3x(3x-2y+1)$
解析
【分析】
用提公因式法分解因式的核心是先准确找出多项式各项的公因式，公因式的确定分两步：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式。找到公因式后，将多项式的每一项都除以公因式，把得到的结果作为括号内的因式，公因式写在括号外即可。
(1) 观察$5x-5xy$，系数5和5的最大公约数是5，共有的相同字母是x、最低次数为1，公因式为$5x$，提取后计算剩余项即可；
(2) 观察$3a^2-6a$，系数3和6的最大公约数是3，共有的相同字母是a、最低次数为1，公因式为$3a$，提取后计算剩余项即可；
(3) 观察$9x^2-6xy+3x$，系数9、6、3的最大公约数是3，共有的相同字母是x、最低次数为1，公因式为$3x$，提取时注意最后一项除以公因式后得到1，不能遗漏。
【解析】
(1) 提取公因式$5x$：
$5x - 5xy = 5x · 1 - 5x · y = 5x(1 - y)$
(2) 提取公因式$3a$：
$3a^2 - 6a = 3a · a - 3a · 2 = 3a(a - 2)$
(3) 提取公因式$3x$：
$9x^2 - 6xy + 3x = 3x · 3x - 3x · 2y + 3x · 1 = 3x(3x - 2y + 1)$
【答案】
(1)$5x(1-y)$ (2)$3a(a-2)$ (3)$3x(3x-2y+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式乘法逆运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的寻找方法，解题时需注意：①公因式要找全，包含系数和字母两部分；②提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其是某一项和公因式完全相同时，剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
用提公因式法分解因式的核心是先准确找出多项式各项的公因式，公因式的确定分两步：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式。找到公因式后，将多项式的每一项都除以公因式，把得到的结果作为括号内的因式，公因式写在括号外即可。
(1) 观察$5x-5xy$，系数5和5的最大公约数是5，共有的相同字母是x、最低次数为1，公因式为$5x$，提取后计算剩余项即可；
(2) 观察$3a^2-6a$，系数3和6的最大公约数是3，共有的相同字母是a、最低次数为1，公因式为$3a$，提取后计算剩余项即可；
(3) 观察$9x^2-6xy+3x$，系数9、6、3的最大公约数是3，共有的相同字母是x、最低次数为1，公因式为$3x$，提取时注意最后一项除以公因式后得到1，不能遗漏。
【解析】
(1) 提取公因式$5x$：
$5x - 5xy = 5x · 1 - 5x · y = 5x(1 - y)$
(2) 提取公因式$3a$：
$3a^2 - 6a = 3a · a - 3a · 2 = 3a(a - 2)$
(3) 提取公因式$3x$：
$9x^2 - 6xy + 3x = 3x · 3x - 3x · 2y + 3x · 1 = 3x(3x - 2y + 1)$
【答案】
(1)$5x(1-y)$ (2)$3a(a-2)$ (3)$3x(3x-2y+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式乘法逆运算
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础训练题，重点考查公因式的寻找方法，解题时需注意：①公因式要找全，包含系数和字母两部分；②提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其是某一项和公因式完全相同时，剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
8. 计算：
(1)$1.99^2 + 1.99 × 0.01$；
(2)$2026^2 - 2026 × 2025$；
(3)$(-2)^{2024} + (-2)^{2025}$。
(1)$1.99^2 + 1.99 × 0.01$；
(2)$2026^2 - 2026 × 2025$；
(3)$(-2)^{2024} + (-2)^{2025}$。
答案
8.解:(1)$1.99^2+1.99×0.01$
$=1.99×(1.99+0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$。
(2)$2026^2-2026×2025$
$=2026×(2026-2025)$
$=2026×1$
$=2026$。
(3)$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=-2^{2024}$。
$=1.99×(1.99+0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$。
(2)$2026^2-2026×2025$
$=2026×(2026-2025)$
$=2026×1$
$=2026$。
(3)$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=-2^{2024}$。
解析
【分析】
这三道题均可通过提取公因式的方法简化运算，避免直接计算高次幂或大数乘法带来的繁琐：
1. 第(1)题观察到两项都含有公因式1.99，提取公因式后先计算括号内的加法，再算乘法即可；
2. 第(2)题两项的公因式是2026，提取后先算括号内的减法，再算乘法即可；
3. 第(3)题先把$(-2)^{2025}$变形为$(-2)^{2024}×(-2)$，可得两项公因式为$(-2)^{2024}$，提取公因式后计算括号内的加减，再结合乘方的符号规则化简即可。
【解析】
(1)$1.99^2+1.99×0.01$
$=1.99×(1.99+0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$。
(2)$2026^2-2026×2025$
$=2026×(2026-2025)$
$=2026×1$
$=2026$。
(3)$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=-2^{2024}$。
【答案】
(1)$3.98$；(2)$2026$；(3)$-2^{2024}$
【知识点】
提公因式法因式分解，乘方的运算性质，简便运算
【点评】
本题属于简便运算类基础题，核心考查公因式的识别与提取，掌握提公因式法可大幅降低同类运算的计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均可通过提取公因式的方法简化运算，避免直接计算高次幂或大数乘法带来的繁琐：
1. 第(1)题观察到两项都含有公因式1.99，提取公因式后先计算括号内的加法，再算乘法即可；
2. 第(2)题两项的公因式是2026，提取后先算括号内的减法，再算乘法即可；
3. 第(3)题先把$(-2)^{2025}$变形为$(-2)^{2024}×(-2)$，可得两项公因式为$(-2)^{2024}$，提取公因式后计算括号内的加减，再结合乘方的符号规则化简即可。
【解析】
(1)$1.99^2+1.99×0.01$
$=1.99×(1.99+0.01)$
$=1.99×2$
$=3.98$。
(2)$2026^2-2026×2025$
$=2026×(2026-2025)$
$=2026×1$
$=2026$。
(3)$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}$
$=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)$
$=(-2)^{2024}×(1-2)$
$=-2^{2024}$。
【答案】
(1)$3.98$；(2)$2026$；(3)$-2^{2024}$
【知识点】
提公因式法因式分解，乘方的运算性质，简便运算
【点评】
本题属于简便运算类基础题，核心考查公因式的识别与提取，掌握提公因式法可大幅降低同类运算的计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
