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知识点二 确定公因式的基本方法
1. 定系数:多项式各项系数的
2. 定字母:多项式各项中都含有的相同字母；
3. 定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
1. 定系数:多项式各项系数的
最大公约数
；2. 定字母:多项式各项中都含有的相同字母；
3. 定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
答案
最大公约数
解析
【分析】
这道题考查确定公因式步骤里的定系数规则。我们先回忆公因式的定义：公因式是多项式各项都含有的公共因式，为了保证提取公因式后剩余的项不再有公共的系数因数，系数部分需要选取能整除所有项系数的最大数值，也就是各项系数的最大公约数，符合公因式的提取要求。
【解析】
确定公因式有三个固定步骤：
1. 定系数：取多项式各项系数的最大公约数；
2. 定字母：取多项式各项中都含有的相同字母；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中的最小值，即最低次幂。
因此本题空缺处对应填写最大公约数。
【答案】
最大公约数
【知识点】
1. 确定公因式的方法
2. 最大公约数的概念
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查确定公因式的核心规则，熟练掌握该知识点是后续学习因式分解、整式化简运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查确定公因式步骤里的定系数规则。我们先回忆公因式的定义：公因式是多项式各项都含有的公共因式，为了保证提取公因式后剩余的项不再有公共的系数因数，系数部分需要选取能整除所有项系数的最大数值，也就是各项系数的最大公约数，符合公因式的提取要求。
【解析】
确定公因式有三个固定步骤：
1. 定系数：取多项式各项系数的最大公约数；
2. 定字母：取多项式各项中都含有的相同字母；
3. 定指数：相同字母的指数取各项中的最小值，即最低次幂。
因此本题空缺处对应填写最大公约数。
【答案】
最大公约数
【知识点】
1. 确定公因式的方法
2. 最大公约数的概念
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查确定公因式的核心规则，熟练掌握该知识点是后续学习因式分解、整式化简运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
知识点三 提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫作
提公因式法
。答案
提公因式法
解析
【分析】
这是一道概念识记类填空题，解题时首先回忆因式分解的相关方法定义，题干已经完整描述了该因式分解方法的核心特征：多项式各项含有公因式时，提取公因式将多项式转化为两个因式乘积的形式，将特征和所学的因式分解方法概念逐一匹配，就能直接得到对应答案。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，把公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法，与题干描述完全相符，因此应填入提公因式法。
【答案】
提公因式法
【知识点】
提公因式法，因式分解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考察对提公因式法定义的记忆掌握，是因式分解模块的入门基础题型，牢记相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
这是一道概念识记类填空题，解题时首先回忆因式分解的相关方法定义，题干已经完整描述了该因式分解方法的核心特征：多项式各项含有公因式时，提取公因式将多项式转化为两个因式乘积的形式，将特征和所学的因式分解方法概念逐一匹配，就能直接得到对应答案。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，把公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法，与题干描述完全相符，因此应填入提公因式法。
【答案】
提公因式法
【知识点】
提公因式法，因式分解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考察对提公因式法定义的记忆掌握，是因式分解模块的入门基础题型，牢记相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
例1 将多项式$xy+y$分解因式,应提取的公因式是 （）
A.$xy$
B.$y$
C.$x+1$
D.$x$
[点拨] 先利用提公因式法分解因式,然后再确定公因式即可。
[解] $\because xy+y=y(x+1)$,
$\therefore$将多项式$xy+y$分解因式,应提取的公因式是$y$,故选 B。
A.$xy$
B.$y$
C.$x+1$
D.$x$
[点拨] 先利用提公因式法分解因式,然后再确定公因式即可。
[解] $\because xy+y=y(x+1)$,
$\therefore$将多项式$xy+y$分解因式,应提取的公因式是$y$,故选 B。
答案
B
解析
【分析】
要确定该多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定步骤逐步判断：第一步先找各项系数的最大公约数，本题两项系数均为1，最大公约数是1；第二步找各项都含有的相同字母，第一项$xy$含字母$x$、$y$，第二项$y$仅含字母$y$，因此两项共同含有的字母是$y$；第三步取相同字母的最低次幂，此处$y$的次数均为1，因此可确定公因式为$y$，最后通过分解因式验证即可得到结果。
【解析】
解：分析多项式$xy+y$的两项特征：
1. 系数部分：两项的系数分别为1、1，最大公因数为1；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$y$，且$y$的最低次数为1；
因此该多项式的公因式为$y$，对多项式分解因式可得$xy+y=y(x+1)$，即应提取的公因式是$y$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式时公因式的判断方法，熟练掌握公因式的判定步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要确定该多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定步骤逐步判断：第一步先找各项系数的最大公约数，本题两项系数均为1，最大公约数是1；第二步找各项都含有的相同字母，第一项$xy$含字母$x$、$y$，第二项$y$仅含字母$y$，因此两项共同含有的字母是$y$；第三步取相同字母的最低次幂，此处$y$的次数均为1，因此可确定公因式为$y$，最后通过分解因式验证即可得到结果。
【解析】
解：分析多项式$xy+y$的两项特征：
1. 系数部分：两项的系数分别为1、1，最大公因数为1；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$y$，且$y$的最低次数为1；
因此该多项式的公因式为$y$，对多项式分解因式可得$xy+y=y(x+1)$，即应提取的公因式是$y$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查提公因式法分解因式时公因式的判断方法，熟练掌握公因式的判定步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
|变式训练1| 把$4x^3y^2z - 6xy^2z^3 + 12xy^3z^2$分解因式时，应提取的公因式是（
A.$4x^2y^2z$
B.$2xy^2z$
C.$6xy$
D.$2$
B
）A.$4x^2y^2z$
B.$2xy^2z$
C.$6xy$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循固定规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母；③相同字母取次数最低的幂，最后将最大公约数与最低次幂的字母部分相乘，就是要提取的公因式。我们按照这个规则逐一分析多项式的三项即可得出结果。
【解析】
首先分析多项式$4x^3y^2z - 6xy^2z^3 + 12xy^3z^2$的三项：
1. 确定系数的最大公约数：三项系数的绝对值为4、6、12，它们的最大公约数是2，因此可排除系数不符合的A（系数为4）、C（系数为6）选项；
2. 确定相同字母的最低次幂：三项都含有的字母为x、y、z，其中x的最低次数是1，y的最低次数是2，z的最低次数是1，因此字母部分公因式为$xy^2z$，可排除没有字母部分的D选项；
综上，公因式为$2× xy^2z=2xy^2z$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 公因式的确定 2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判定规则，就能快速准确选出答案，为后续复杂的因式分解运算打基础。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，需遵循固定规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母；③相同字母取次数最低的幂，最后将最大公约数与最低次幂的字母部分相乘，就是要提取的公因式。我们按照这个规则逐一分析多项式的三项即可得出结果。
【解析】
首先分析多项式$4x^3y^2z - 6xy^2z^3 + 12xy^3z^2$的三项：
1. 确定系数的最大公约数：三项系数的绝对值为4、6、12，它们的最大公约数是2，因此可排除系数不符合的A（系数为4）、C（系数为6）选项；
2. 确定相同字母的最低次幂：三项都含有的字母为x、y、z，其中x的最低次数是1，y的最低次数是2，z的最低次数是1，因此字母部分公因式为$xy^2z$，可排除没有字母部分的D选项；
综上，公因式为$2× xy^2z=2xy^2z$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 公因式的确定 2. 提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的判定规则，就能快速准确选出答案，为后续复杂的因式分解运算打基础。
【难度系数】
0.8
例2 已知长方形ABCD的面积为$ab+a+b+1$。
(1)将$ab+a+b+1$因式分解；
(2)请画出长方形ABCD，用图形解释$ab+a+b+1$和分解后式子的意义。
[点拨] (1)本题中$ab+a$提取公因式，得$a(b+1)$，后面正好含有$b+1$，再提一次公因式。
(2)根据题意画出边长分别为$(a+1)$，$(b+1)$的长方形ABCD，再根据长方形的面积公式解释$ab+a+b+1$和分解后式子的意义。
[解] (1)原式$=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)$。
(2)如图所示。
式子$(a+1)(b+1)$可看作边长分别为$(a+1),(b+1)$的一个大长方形的面积。
式子$ab+a+b+1$可看作边长分别为$a,b;1,a;1,b$的三个长方形和边长为1的正方形的面积之和。
(1)将$ab+a+b+1$因式分解；
(2)请画出长方形ABCD，用图形解释$ab+a+b+1$和分解后式子的意义。
[点拨] (1)本题中$ab+a$提取公因式，得$a(b+1)$，后面正好含有$b+1$，再提一次公因式。
(2)根据题意画出边长分别为$(a+1)$，$(b+1)$的长方形ABCD，再根据长方形的面积公式解释$ab+a+b+1$和分解后式子的意义。
[解] (1)原式$=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)$。
(2)如图所示。
式子$(a+1)(b+1)$可看作边长分别为$(a+1),(b+1)$的一个大长方形的面积。
式子$ab+a+b+1$可看作边长分别为$a,b;1,a;1,b$的三个长方形和边长为1的正方形的面积之和。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}ab+a+b+1&=a(b+1)+(b+1)\\&=(a+1)(b+1)\end{aligned}$
(2) 长方形ABCD如下图所示：
式子$(a+1)(b+1)$可看作边长分别为$(a+1)$、$(b+1)$的大长方形ABCD的总面积。
式子$ab+a+b+1$可看作长为$a$宽为$b$的长方形、长为$a$宽为$1$的长方形、长为$b$宽为$1$的长方形、边长为$1$的正方形这四个图形的面积之和，二者相等。
(1)
$\begin{aligned}ab+a+b+1&=a(b+1)+(b+1)\\&=(a+1)(b+1)\end{aligned}$
(2) 长方形ABCD如下图所示：
式子$(a+1)(b+1)$可看作边长分别为$(a+1)$、$(b+1)$的大长方形ABCD的总面积。
式子$ab+a+b+1$可看作长为$a$宽为$b$的长方形、长为$a$宽为$1$的长方形、长为$b$宽为$1$的长方形、边长为$1$的正方形这四个图形的面积之和，二者相等。
解析
【分析】
（1）针对因式分解问题，观察多项式$ab+a+b+1$的结构，采用分组分解的思路：将前两项$ab+a$分为一组，提取公因式$a$后得到$a(b+1)$，剩余两项为$b+1$，两组有公因式$(b+1)$，再次提取公因式即可完成分解。
（2）因式分解结果为$(a+1)(b+1)$，结合长方形面积公式，可知大长方形的长和宽分别为$b+1$和$a+1$。将大长方形分割为4个小图形：长$b$宽$a$的长方形、长1宽$a$的长方形、长$b$宽1的长方形、边长为1的正方形，四个小图形面积和为$ab+a+b+1$，与大长方形面积相等，即可解释两个式子的意义。
【解析】
（1）对多项式分组后逐步提取公因式：
$\begin{aligned}ab+a+b+1&=(ab+a)+(b+1)\\&=a(b+1)+(b+1)\\&=(a+1)(b+1)\end{aligned}$
（2）已知长方形ABCD的长为$b+1$，宽为$a+1$：
式子$(a+1)(b+1)$可看作长为$b+1$、宽为$a+1$的大长方形ABCD的总面积；
式子$ab+a+b+1$可看作长为$b$宽为$a$的长方形、长为1宽为$a$的长方形、长为$b$宽为1的长方形、边长为1的正方形这四个图形的面积之和，二者数值相等。
【答案】
(1) $ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$；
(2) $(a+1)(b+1)$表示长、宽分别为$b+1$、$a+1$的大长方形的总面积；$ab+a+b+1$表示上述大长方形分割得到的四个小图形的面积之和，二者相等。
【知识点】
提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，因式分解的几何意义
【点评】
本题将代数因式分解运算与几何面积计算相结合，既考查了分组提取公因式进行因式分解的基本技能，又渗透了数形结合的思想，能够帮助学生更好地理解整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.8
（1）针对因式分解问题，观察多项式$ab+a+b+1$的结构，采用分组分解的思路：将前两项$ab+a$分为一组，提取公因式$a$后得到$a(b+1)$，剩余两项为$b+1$，两组有公因式$(b+1)$，再次提取公因式即可完成分解。
（2）因式分解结果为$(a+1)(b+1)$，结合长方形面积公式，可知大长方形的长和宽分别为$b+1$和$a+1$。将大长方形分割为4个小图形：长$b$宽$a$的长方形、长1宽$a$的长方形、长$b$宽1的长方形、边长为1的正方形，四个小图形面积和为$ab+a+b+1$，与大长方形面积相等，即可解释两个式子的意义。
【解析】
（1）对多项式分组后逐步提取公因式：
$\begin{aligned}ab+a+b+1&=(ab+a)+(b+1)\\&=a(b+1)+(b+1)\\&=(a+1)(b+1)\end{aligned}$
（2）已知长方形ABCD的长为$b+1$，宽为$a+1$：
式子$(a+1)(b+1)$可看作长为$b+1$、宽为$a+1$的大长方形ABCD的总面积；
式子$ab+a+b+1$可看作长为$b$宽为$a$的长方形、长为1宽为$a$的长方形、长为$b$宽为1的长方形、边长为1的正方形这四个图形的面积之和，二者数值相等。
【答案】
(1) $ab+a+b+1=(a+1)(b+1)$；
(2) $(a+1)(b+1)$表示长、宽分别为$b+1$、$a+1$的大长方形的总面积；$ab+a+b+1$表示上述大长方形分割得到的四个小图形的面积之和，二者相等。
【知识点】
提公因式法因式分解，分组分解法因式分解，因式分解的几何意义
【点评】
本题将代数因式分解运算与几何面积计算相结合，既考查了分组提取公因式进行因式分解的基本技能，又渗透了数形结合的思想，能够帮助学生更好地理解整式乘法和因式分解的互逆关系。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 如图，将3个边长为a，b的小长方形拼成一个大长方形。已知大长方形的周长为16，面积为12，求代数式$3a^2b +9ab^2$的值是
96
。答案
96
解析
【分析】
首先观察图形得到大长方形的长为3b、宽为a，结合已知的周长和面积条件，可算出a+3b与3ab的值；再对所求代数式提取公因式进行因式分解，将得到的数值整体代入因式分解后的式子，即可求出结果，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
1. 确定大长方形的长和宽：由图可得，大长方形的长为$3b$，宽为$a$。
2. 根据周长公式计算$a+3b$的值：
已知大长方形周长为16，由长方形周长公式$C=2×(长+宽)$可得：
$2(a + 3b)=16$，解得$a + 3b=8$。
3. 根据面积公式计算$3ab$的值：
已知大长方形面积为12，由长方形面积公式$S=长×宽$可得：
$a· 3b=12$，即$3ab=12$。
4. 因式分解所求代数式并代入求值：
对$3a^2b +9ab^2$提取公因式$3ab$，得：
$3a^2b +9ab^2=3ab(a + 3b)$
将$3ab=12$，$a+3b=8$代入上式：
原式$=12×8=96$。
【答案】
96
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题将几何图形性质与代数式求值结合，重点考查整体代入思想的运用，解题时先通过图形条件得到相关代数式的值，再对所求式子变形后代入计算，可简化运算过程。
【难度系数】
0.7
首先观察图形得到大长方形的长为3b、宽为a，结合已知的周长和面积条件，可算出a+3b与3ab的值；再对所求代数式提取公因式进行因式分解，将得到的数值整体代入因式分解后的式子，即可求出结果，无需单独计算a、b的具体值。
【解析】
1. 确定大长方形的长和宽：由图可得，大长方形的长为$3b$，宽为$a$。
2. 根据周长公式计算$a+3b$的值：
已知大长方形周长为16，由长方形周长公式$C=2×(长+宽)$可得：
$2(a + 3b)=16$，解得$a + 3b=8$。
3. 根据面积公式计算$3ab$的值：
已知大长方形面积为12，由长方形面积公式$S=长×宽$可得：
$a· 3b=12$，即$3ab=12$。
4. 因式分解所求代数式并代入求值：
对$3a^2b +9ab^2$提取公因式$3ab$，得：
$3a^2b +9ab^2=3ab(a + 3b)$
将$3ab=12$，$a+3b=8$代入上式：
原式$=12×8=96$。
【答案】
96
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题将几何图形性质与代数式求值结合，重点考查整体代入思想的运用，解题时先通过图形条件得到相关代数式的值，再对所求式子变形后代入计算，可简化运算过程。
【难度系数】
0.7
1. 多项式$15x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5x^2y^2$的公因式是（
A.$5x^2y^2$
B.$5xy^2$
C.$5x^3y^2$
D.$5x^2y$
A
）A.$5x^2y^2$
B.$5xy^2$
C.$5x^3y^2$
D.$5x^2y$
答案
A 解析:
∵多项式的各项系数为 15,−10,5,三者的最大公约数是5,各项共有的相同字母为 x 和 y,x 在各项的次数分别为 3,2,2,最低次幂为 $x^2$,y 在各项的次数分别为2,3,2,最低次幂为 $y^2$，
∴该多项式的公因式为 $5x^2y^2$。
∵多项式的各项系数为 15,−10,5,三者的最大公约数是5,各项共有的相同字母为 x 和 y,x 在各项的次数分别为 3,2,2,最低次幂为 $x^2$,y 在各项的次数分别为2,3,2,最低次幂为 $y^2$，
∴该多项式的公因式为 $5x^2y^2$。
解析
【分析】
找多项式的公因式可按照三步思路推导：第一步先求各项系数的最大公约数，第二步找出各项都包含的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后把三部分相乘就是所求公因式。我们对照题目中的多项式逐一分析即可得出结果。
【解析】
确定公因式分三步计算：
1. 定系数：多项式各项系数为15、-10、5，三者的最大公约数是5；
2. 定字母：多项式各项共有的相同字母为x和y；
3. 定指数：x在各项的次数分别为3、2、2，最低次幂为$x^2$；y在各项的次数分别为2、3、2，最低次幂为$y^2$。
将三部分组合可得该多项式的公因式为$5x^2y^2$，故选A。
【答案】A
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考察公因式的判定规则，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步法即可快速解题，是后续学习提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
找多项式的公因式可按照三步思路推导：第一步先求各项系数的最大公约数，第二步找出各项都包含的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后把三部分相乘就是所求公因式。我们对照题目中的多项式逐一分析即可得出结果。
【解析】
确定公因式分三步计算：
1. 定系数：多项式各项系数为15、-10、5，三者的最大公约数是5；
2. 定字母：多项式各项共有的相同字母为x和y；
3. 定指数：x在各项的次数分别为3、2、2，最低次幂为$x^2$；y在各项的次数分别为2、3、2，最低次幂为$y^2$。
将三部分组合可得该多项式的公因式为$5x^2y^2$，故选A。
【答案】A
【知识点】
公因式的确定，最大公约数，最低次幂
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考察公因式的判定规则，熟练掌握“定系数、定字母、定指数”的三步法即可快速解题，是后续学习提公因式法分解因式的基础。
【难度系数】
0.9
2. 将$2ax^2 - 6abx + 2x$因式分解，下面是四位同学分解的结果，其中正确的是（
①$2x(ax - 3ab)$；
②$2ax(x - 3b + 1)$；
③$2x(ax - 3ab + 1)$；
④$2x(-ax + 3ab - 1)$。
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）①$2x(ax - 3ab)$；
②$2ax(x - 3b + 1)$；
③$2x(ax - 3ab + 1)$；
④$2x(-ax + 3ab - 1)$。
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
C
解析
【分析】
要解决这道因式分解的选择题，我们采用提公因式法的思路解题：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步提取公因式得到分解结果，再和四个选项对比即可。首先找公因式：先看各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合起来就是公因式。注意提取公因式时，原多项式有几项，提完公因式后的括号里就还有几项，不能漏写除以公因式后得到的1。
【解析】
对多项式$2ax^2 - 6abx + 2x$分解因式：
1. 确定公因式：
各项系数为2、-6、2，最大公约数是2；
各项都含有字母x，x的最低次幂是1次；
因此公因式为$2x$。
2. 提取公因式：
把每一项都除以公因式$2x$，分别得到：
$2ax^2÷2x=ax$，$-6abx÷2x=-3ab$，$2x÷2x=1$；
因此原式$=2x(ax - 3ab + 1)$。
对比四个选项，只有③的结果正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查提公因式法的应用，易错点是提取公因式后漏写原最后一项除以公因式得到的1，做完后可通过整式乘法展开逆推，验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
要解决这道因式分解的选择题，我们采用提公因式法的思路解题：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步提取公因式得到分解结果，再和四个选项对比即可。首先找公因式：先看各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合起来就是公因式。注意提取公因式时，原多项式有几项，提完公因式后的括号里就还有几项，不能漏写除以公因式后得到的1。
【解析】
对多项式$2ax^2 - 6abx + 2x$分解因式：
1. 确定公因式：
各项系数为2、-6、2，最大公约数是2；
各项都含有字母x，x的最低次幂是1次；
因此公因式为$2x$。
2. 提取公因式：
把每一项都除以公因式$2x$，分别得到：
$2ax^2÷2x=ax$，$-6abx÷2x=-3ab$，$2x÷2x=1$；
因此原式$=2x(ax - 3ab + 1)$。
对比四个选项，只有③的结果正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查提公因式法的应用，易错点是提取公因式后漏写原最后一项除以公因式得到的1，做完后可通过整式乘法展开逆推，验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
