4.下面是甲、乙两位同学分解因式$-x^2 + x$的结果，下列判断正确的是（）
甲同学：原式$=-x(x-1)$；
乙同学：原式$=x(1-x)$。

A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲乙均对
D.甲乙均错

C 解析:$\because -x(x-1)=-x^2+x$，
∴甲同学正确；$\because x(1-x)=x-x^2=-x^2+x$，
∴乙同学正确。

【分析】
要判断两位同学分解因式的结果是否正确，可利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将两人分解后的结果分别展开，对比是否和原式$-x^2+x$一致即可。另外提公因式分解因式时，公因式既可以提取带负号的，也可以提取正的公因式，只要展开后与原式相等就是正确结果。
【解析】
我们分别验证甲乙两位同学的结果：
1. 验证甲同学的结果：
将$-x(x-1)$展开，根据单项式乘多项式的运算法则：
$-x(x-1) = -x· x + (-x)×(-1) = -x^2 + x$，和原式完全相等，因此甲同学的结果正确。
2. 验证乙同学的结果：
将$x(1-x)$展开，根据单项式乘多项式的运算法则：
$x(1-x) = x·1 - x· x = x - x^2 = -x^2 + x$，和原式也完全相等，因此乙同学的结果也正确。
因此甲乙两位同学的结果都正确。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；因式分解与整式乘法的互逆关系
【点评】
本题是基础类题目，核心考查因式分解结果的验证方法，要注意提取公因式时公因式的选取可以灵活调整，不必拘泥于必须提取正公因式或者负公因式，只要最终展开结果与原式一致即为正确。
【难度系数】
0.9

5.填“+”或“-”，使等式成立：
(1)$-x+y=$$(x-y)$;
(2)$-m^2-n^2=$$(m^2+n^2)$;
(3)$(x-y)^2=$$(y-x)^2$;
(4)$(x-y)^3=$$(y-x)^3$;
(5)$(2-x)(3-x)=$$(x-2)(x-3)$。

5.(1)－ (2)－ (3)＋ (4)－ (5)＋

【分析】
本题考查整式变形中的符号判断，解题思路如下：①对于整式加减类的变形，运用添括号法则判断：括号前加负号时，括号内各项都要改变符号；②对于含乘方、乘法的变形，结合两类规律判断：一是互为相反数的两个数，偶次幂相等、奇次幂互为相反数；二是多个因式相乘，负因数的个数为偶数时乘积为正，负因数个数为奇数时乘积为负，逐一代入分析每一问即可。
【解析】
(1) 对左边式子变形：$-x+y = -(x-y)$，因此填“$-$”；
(2) 对左边式子变形：$-m^2-n^2 = -(m^2+n^2)$，因此填“$-$”；
(3) $x-y$和$y-x$互为相反数，互为相反数的偶次幂相等，因此$(x-y)^2=(y-x)^2=+(y-x)^2$，填“$+$”；
(4) 互为相反数的奇次幂互为相反数，立方是奇次幂，因此$(x-y)^3=-(y-x)^3$，填“$-$”；
(5) 先变形因式：$2-x=-(x-2)$，$3-x=-(x-3)$，因此$(2-x)(3-x)=[-(x-2)]×[-(x-3)]=(x-2)(x-3)=+(x-2)(x-3)$，填“$+$”。
【答案】
(1)－ (2)－ (3)＋ (4)－ (5)＋
【知识点】
添括号法则，幂的符号性质，整式乘法符号规律
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查符号变形的规则，熟练掌握这类符号变化规律能有效避免整式化简、因式分解等题型中的符号类失分，是整式运算必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.7

6.已知$(5x-9)(4x-17)+(9-5x)(x-8)$因式分解为$3(ax+b)(x+c)$，其中$a,b,c$均为整数，则$a-b+c$的值为________。

6.11 解析:原式$=(5x-9)(4x-17)-(5x-9)(x-8)$
$=(5x-9)[(4x-17)-(x-8)]$
$=(5x-9)(4x-17-x+8)$
$=(5x-9)(3x-9)$
$=(5x-9)×3(x-3)$
$=3(5x-9)(x-3)$，
对比$3(ax+b)(x+c)$，可得$a=5,b=-9,c=-3$，
则$a-b+c=5-(-9)+(-3)=5+9-3=11$。

【分析】
观察原式可知，两项中分别含因式$(5x-9)$和$(9-5x)$，二者互为相反数，可先将$(9-5x)$变形为$-(5x-9)$，使两项出现公因式$(5x-9)$；再提取公因式，对括号内的整式进行加减化简，将结果整理为题目给出的$3(ax+b)(x+c)$的形式，对应系数得到$a、b、c$的取值，最后代入$a-b+c$计算即可。
【解析】
先对原式变形，提取公因式化简：
原式$=(5x-9)(4x-17)-(5x-9)(x-8)$
$=(5x-9)[(4x-17)-(x-8)]$
$=(5x-9)(4x-17-x+8)$
$=(5x-9)(3x-9)$
$=3(5x-9)(x-3)$
将化简结果与$3(ax+b)(x+c)$对比，可得$a=5$，$b=-9$，$c=-3$。
代入代数式计算：
$a-b+c=5-(-9)+(-3)=5+9-3=11$
【答案】
11
【知识点】
提公因式法因式分解、代数式求值、整式化简
【点评】
本题侧重考查因式分解的基础应用，解题关键是正确识别公因式，注意互为相反数的因式的符号转换，再通过对应系数求出参数后代入计算，对基础运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

7.把下列各式因式分解：
(1)$a(x-2y)-b(2y-x)$；
(2)$x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2$；
(3)$m(n+1)+m^2(n+1)^2$；
(4)$2x(y-x)+(x+y)(x-y)$。

7.解:(1)$a(x-2y)-b(2y-x)$
$=a(x-2y)+b(x-2y)$
$=(x-2y)(a+b)$。
(2)$x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2$
$=x(x+y)[x-y-(x+y)]$
$=x(x+y)(x-y-x-y)$
$=-2xy(x+y)$。
(3)$m(n+1)+m^2(n+1)^2$
$=m(n+1)(1+mn+m)$。
(4)$2x(y-x)+(x+y)(x-y)$
$=-2x(x-y)+(x+y)(x-y)$
$=(x-y)(-2x+x+y)$
$=(x-y)(y-x)$
$=-(x-y)(x-y)$
$=-(x-y)^2$。

【分析】
这4道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：①先观察式子各项，寻找公因式，若存在互为相反数的因式（如$2y-x$与$x-2y$、$y-x$与$x-y$），先通过添负号将其转化为相同的因式；②确定公因式后将其提取，剩余的项放在括号内，注意符号不要出错；③对括号内的整式合并同类项化简，最后检查结果是否分解到不能再分解的程度，保证结果最简。
【解析】
(1) 先将$-b(2y-x)$变形为$+b(x-2y)$，提取公因式$(x-2y)$：
$\begin{aligned}a(x-2y)-b(2y-x)&=a(x-2y)+b(x-2y)\\&=(x-2y)(a+b)\end{aligned}$
(2) 提取公因式$x(x+y)$，再化简括号内的式子：
$\begin{aligned}x(x+y)(x-y)-x(x+y)^2&=x(x+y)[x-y-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
(3) 提取公因式$m(n+1)$，整理剩余项即可：
$\begin{aligned}m(n+1)+m^2(n+1)^2&=m(n+1)×1 + m(n+1)× m(n+1)\\&=m(n+1)(1+mn+m)\end{aligned}$
(4) 先将$2x(y-x)$变形为$-2x(x-y)$，提取公因式$(x-y)$后化简，整理为最简形式：
$\begin{aligned}2x(y-x)+(x+y)(x-y)&=-2x(x-y)+(x+y)(x-y)\\&=(x-y)(-2x+x+y)\\&=(x-y)(y-x)\\&=-(x-y)(x-y)\\&=-(x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(x-2y)(a+b)}$
(2) $\boxed{-2xy(x+y)}$
(3) $\boxed{m(n+1)(1+mn+m)}$
(4) $\boxed{-(x-y)^2}$
【知识点】
提公因式法因式分解、整式加减运算、因式分解化简要求
【点评】
这组题目是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的灵活运用，解题的关键是准确识别公因式，遇到互为相反数的因式时要注意正确变号，提取公因式后需对剩余部分化简，确保最终结果分解彻底。
【难度系数】
0.8

8.已知$(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$，其中$a,b$均为整数，求$a+3b$的值。

8.解:$(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)$
$=(3x-7)(2x-21-x+13)$
$=(3x-7)(x-8)$
$=(3x+a)(x+b)$，
则$a=-7,b=-8$，
故$a+3b=-7-24=-31$。

【分析】
解题时首先观察给定的多项式，发现两个乘积项中都含有公因式$(3x-7)$，因此可以先用提公因式法对多项式进行因式分解；提取公因式后对剩余部分进行整式的加减化简，再将化简后的因式分解结果与题目给出的$(3x+a)(x+b)$形式对应，即可确定整数$a$、$b$的值，最后代入$a+3b$计算就能得到最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)\\=&(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]\\=&(3x-7)(2x-21 - x + 13)\\=&(3x-7)(x - 8)\end{aligned}$
已知该式分解因式的结果为$(3x+a)(x+b)$，对应可得$a=-7$，$b=-8$。
将$a=-7$，$b=-8$代入$a+3b$计算：
$a+3b = -7 + 3×(-8) = -7 -24 = -31$
【答案】
$-31$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.整式的加减运算 3.代数式求值
【点评】
本题核心考查提公因式法在因式分解中的应用，解题的关键是准确识别出公因式，提取公因式后进行整式化简时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8

9.已知$a$，$b$，$c$分别为$△ ABC$三边的长，且满足$b(a - b) + c(a - b) = 0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

9.解:等腰三角形，理由如下：
$\because b(a-b)+c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(b+c)=0$。
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
$\therefore a-b=0$，即$a=b$，
$\therefore △ ABC$是以$a,b$为腰的等腰三角形。

【分析】
要判断△ABC的形状，需推导三边的数量关系。首先观察已知等式的左侧，两项均含有公因式(a-b)，可先通过提公因式法对等式变形，得到两个因式乘积为0的形式；再结合三角形边长均为正数的性质，排除不可能为0的因式，即可得到边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
$\because b(a-b)+c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(b+c)=0$。
$\because a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，
$\therefore b+c＞0$，因此只能$a-b=0$，即$a=b$，
$\therefore △ ABC$是以$a,b$为腰的等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
提公因式法因式分解，三角形三边性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，核心考查因式分解的应用和三角形相关性质，解题关键在于合理对等式变形，结合三角形边长为正的特性排除无效情况，从而得到边的关系判断形状。
【难度系数】
0.8