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10. 阅读理解:把多项式$am+an+bm+bn$因式分解。
解法一:$am+an+bm+bn$
$=(am+an)+(bm+bn)$
$=a(m+n)+b(m+n)$
$=(m+n)(a+b);$
解法二:$am+an+bm+bn$
$=(am+bm)+(an+bn)$
$=m(a+b)+n(a+b)$
$=(m+n)(a+b)。$
观察上述过程,回答下列问题:
(1)分解因式:$mx-2m+nx-2n;$
(2)已知:$a,b,c$为$△ ABC$的三边,且$a^2 -ab +4ac -4bc=0$,试判断$△ ABC$的形状。
解法一:$am+an+bm+bn$
$=(am+an)+(bm+bn)$
$=a(m+n)+b(m+n)$
$=(m+n)(a+b);$
解法二:$am+an+bm+bn$
$=(am+bm)+(an+bn)$
$=m(a+b)+n(a+b)$
$=(m+n)(a+b)。$
观察上述过程,回答下列问题:
(1)分解因式:$mx-2m+nx-2n;$
(2)已知:$a,b,c$为$△ ABC$的三边,且$a^2 -ab +4ac -4bc=0$,试判断$△ ABC$的形状。
答案
10.解:(1)$mx-2m+nx-2n$
$=m(x-2)+n(x-2)$
$=(x-2)(m+n)$。
(2)$\because a^2-ab+4ac-4bc=0$，
$\therefore a(a-b)+4c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+4c)=0$，
$\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
$=m(x-2)+n(x-2)$
$=(x-2)(m+n)$。
(2)$\because a^2-ab+4ac-4bc=0$，
$\therefore a(a-b)+4c(a-b)=0$，
$\therefore (a-b)(a+4c)=0$，
$\therefore a=b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
解析
【分析】
(1) 分解因式$mx-2m+nx-2n$时，使用分组分解的思路：先将含$m$的项和含$n$的项分为两组，分别对两组提取公因式后，可发现两组存在公共的因式$(x-2)$，再提取公共因式即可完成分解。
(2) 判断三角形形状时，先对等式左边的多项式分组分解因式：将前两项、后两项各分为一组，分别提取公因式后得到公共因式$(a-b)$，整理为乘积为0的形式，再结合三角形三边均为正数的隐含条件推导边的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) $mx-2m+nx-2n$
$=(mx-2m)+(nx-2n)$
$=m(x-2)+n(x-2)$
$=(x-2)(m+n)$
(2) 已知$a^2 -ab +4ac -4bc=0$，对等式左侧因式分解：
分组得：$(a^2 -ab)+(4ac -4bc)=0$
分别提取公因式：$a(a-b)+4c(a-b)=0$
提取公共因式$(a-b)$得：$(a-b)(a+4c)=0$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边，
∴$a＞0,c＞0$，即$a+4c＞0$
∴仅$a-b=0$成立，即$a=b$
∴$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $(x-2)(m+n)$
(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法、因式分解、等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的实际应用，解题的关键是根据多项式的项的特征合理分组，第二问需要结合三角形边长为正数的隐含条件排除不符合实际的情况，属于因式分解的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
(1) 分解因式$mx-2m+nx-2n$时，使用分组分解的思路：先将含$m$的项和含$n$的项分为两组，分别对两组提取公因式后，可发现两组存在公共的因式$(x-2)$，再提取公共因式即可完成分解。
(2) 判断三角形形状时，先对等式左边的多项式分组分解因式：将前两项、后两项各分为一组，分别提取公因式后得到公共因式$(a-b)$，整理为乘积为0的形式，再结合三角形三边均为正数的隐含条件推导边的关系，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) $mx-2m+nx-2n$
$=(mx-2m)+(nx-2n)$
$=m(x-2)+n(x-2)$
$=(x-2)(m+n)$
(2) 已知$a^2 -ab +4ac -4bc=0$，对等式左侧因式分解：
分组得：$(a^2 -ab)+(4ac -4bc)=0$
分别提取公因式：$a(a-b)+4c(a-b)=0$
提取公共因式$(a-b)$得：$(a-b)(a+4c)=0$
∵$a,b,c$为$△ ABC$的三边，
∴$a＞0,c＞0$，即$a+4c＞0$
∴仅$a-b=0$成立，即$a=b$
∴$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1) $(x-2)(m+n)$
(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
分组分解法、因式分解、等腰三角形判定
【点评】
本题重点考查分组分解法的实际应用，解题的关键是根据多项式的项的特征合理分组，第二问需要结合三角形边长为正数的隐含条件排除不符合实际的情况，属于因式分解的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
知识点一 平方差公式
$a^2 - b^2 = \underline{\hspace{8cm}}$。
$a^2 - b^2 = \underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$(a+b)(a-b)$
解析
【分析】
本题是对平方差公式基本形式的直接考查，解题思路很明确：首先回忆平方差公式的定义，平方差公式的结构特征是等式左边为两个数的平方相减的形式，右边为这两个数的和与这两个数的差的乘积，牢记公式结构就能直接写出对应结果。
【解析】
根据平方差公式的内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，可得 $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方差公式的记忆，熟练掌握公式的结构特征是后续运用公式进行简便运算、因式分解等题目的前提，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题是对平方差公式基本形式的直接考查，解题思路很明确：首先回忆平方差公式的定义，平方差公式的结构特征是等式左边为两个数的平方相减的形式，右边为这两个数的和与这两个数的差的乘积，牢记公式结构就能直接写出对应结果。
【解析】
根据平方差公式的内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，可得 $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方差公式的记忆，熟练掌握公式的结构特征是后续运用公式进行简便运算、因式分解等题目的前提，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
例1 给出下列各式：$x^2 - y^2, -x^2 + y^2, (-x)^2 + (-y)^2, -x^2 - y^2, x^4 - y^4$，其中能用平方差公式进行因式分解的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[点拨] 根据平方差公式的结构特征逐个分析得结论。
[解] $x^2 - y^2$能用平方差公式分解；$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2$和$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2$变形后都是平方差的形式，能用平方差公式分解；$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$和$(-x)^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$变形后是平方和的形式，不能用平方差公式分解。故选C。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[点拨] 根据平方差公式的结构特征逐个分析得结论。
[解] $x^2 - y^2$能用平方差公式分解；$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2$和$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2$变形后都是平方差的形式，能用平方差公式分解；$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$和$(-x)^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$变形后是平方和的形式，不能用平方差公式分解。故选C。
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确能用平方差公式因式分解的式子的结构特征：式子包含两项，两项符号相反，且每一项都可以写成某个整式的平方的形式，即满足$a^2-b^2$的结构。解题时只需将每个给出的式子适当变形，对照上述特征逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $x^2 - y^2$：直接符合两项、符号相反、均为平方项的特征，可分解为$(x+y)(x-y)$，能用平方差公式分解；
2. $-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合平方差结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，能用平方差公式分解；
3. $(-x)^2 + (-y)^2$：化简后为$x^2 + y^2$，两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
4. $-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
5. $x^4 - y^4$：变形为$(x^2)^2 - (y^2)^2$，符合平方差结构，可分解为$(x^2+y^2)(x^2-y^2)$，能用平方差公式分解。
综上，能用平方差公式分解的共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式乘方化简
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题核心是准确把握平方差公式“两项、异号、均为整式平方”的结构特征，注意对原式先做适当的符号或形式变形后再判断，不要被表面形式误导。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确能用平方差公式因式分解的式子的结构特征：式子包含两项，两项符号相反，且每一项都可以写成某个整式的平方的形式，即满足$a^2-b^2$的结构。解题时只需将每个给出的式子适当变形，对照上述特征逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $x^2 - y^2$：直接符合两项、符号相反、均为平方项的特征，可分解为$(x+y)(x-y)$，能用平方差公式分解；
2. $-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合平方差结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，能用平方差公式分解；
3. $(-x)^2 + (-y)^2$：化简后为$x^2 + y^2$，两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
4. $-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
5. $x^4 - y^4$：变形为$(x^2)^2 - (y^2)^2$，符合平方差结构，可分解为$(x^2+y^2)(x^2-y^2)$，能用平方差公式分解。
综上，能用平方差公式分解的共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式乘方化简
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题核心是准确把握平方差公式“两项、异号、均为整式平方”的结构特征，注意对原式先做适当的符号或形式变形后再判断，不要被表面形式误导。
【难度系数】
0.7
