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|变式训练1| 下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（
A.$-a^2 -4b^2$
B.$a^2 +4b^2$
C.$-a^2 +16b^2$
D.$a -2b^2$
C
）A.$-a^2 -4b^2$
B.$a^2 +4b^2$
C.$-a^2 +16b^2$
D.$a -2b^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个式子能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：只有形如$m^2 - n^2$（即两个整式的平方相减的形式）的多项式，才可以用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$。解题时我们只需要逐一验证每个选项是否符合“两项、都是平方项、符号一正一负”这三个特征即可。
【解析】
平方差公式分解因式的多项式需满足三个要求：①是二项式；②两项都能写成某个整式的平方；③两项符号相反（一正一负）。
对各选项逐一判断：
A选项：$-a^2 -4b^2$，两项均为负号，符号相同，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$a^2 +4b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解；
C选项：$-a^2 +16b^2 = (4b)^2 - a^2$，是二项式，两项都为平方形式，且符号一正一负，符合平方差特征，可以分解为$(4b+a)(4b-a)$，符合要求；
D选项：$a - 2b^2$，第一项$a$不是某个整式的平方，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的核心是准确把握平方差公式的结构特征，通过逐一排查选项即可得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：只有形如$m^2 - n^2$（即两个整式的平方相减的形式）的多项式，才可以用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$。解题时我们只需要逐一验证每个选项是否符合“两项、都是平方项、符号一正一负”这三个特征即可。
【解析】
平方差公式分解因式的多项式需满足三个要求：①是二项式；②两项都能写成某个整式的平方；③两项符号相反（一正一负）。
对各选项逐一判断：
A选项：$-a^2 -4b^2$，两项均为负号，符号相同，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解；
B选项：$a^2 +4b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解；
C选项：$-a^2 +16b^2 = (4b)^2 - a^2$，是二项式，两项都为平方形式，且符号一正一负，符合平方差特征，可以分解为$(4b+a)(4b-a)$，符合要求；
D选项：$a - 2b^2$，第一项$a$不是某个整式的平方，不符合平方差特征，不能用平方差公式分解。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的核心是准确把握平方差公式的结构特征，通过逐一排查选项即可得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
例2 已知$a+b=4,a-b=1$,则$(a+2)^2-(b-2)^2$的值为。
[点拨] 先根据平方差公式分解因式，再把$a+b=4,a-b=1$代入计算即可求出值。
[解] $(a+2)^2-(b-2)^2=(a+2+b-2)(a+2-b+2)=(a+b)(a-b+4)$，
$\because a+b=4,a-b=1,\therefore$原式$=4×5=20$。
[点拨] 先根据平方差公式分解因式，再把$a+b=4,a-b=1$代入计算即可求出值。
[解] $(a+2)^2-(b-2)^2=(a+2+b-2)(a+2-b+2)=(a+b)(a-b+4)$，
$\because a+b=4,a-b=1,\therefore$原式$=4×5=20$。
答案
解：
由平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a+2)^2-(b-2)^2&=(a+2+b-2)(a+2-b+2)\\&=(a+b)(a-b+4)\end{aligned}$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(1+4)\\&=20\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{20}$。
由平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a+2)^2-(b-2)^2&=(a+2+b-2)(a+2-b+2)\\&=(a+b)(a-b+4)\end{aligned}$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(1+4)\\&=20\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{20}$。
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对代数式进行因式分解，避免直接求解a、b的取值增加计算量。分解因式后对得到的因式进行化简整理，就会出现已知的a+b、a-b相关的式子，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
由平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a+2)^2-(b-2)^2&=(a+2+b-2)(a+2-b+2)\\&=(a+b)(a-b+4)\end{aligned}$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(1+4)\\&=4×5\\&=20\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
平方差公式；因式分解；代数式求值
【点评】
本题解题的关键是观察代数式的结构特征，灵活运用平方差公式进行因式分解，采用整体代入的方法计算可以简化运算过程，比先求解a、b的具体值再代入计算更简便，考查了公式运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，是两个整式的平方作差，符合平方差公式的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对代数式进行因式分解，避免直接求解a、b的取值增加计算量。分解因式后对得到的因式进行化简整理，就会出现已知的a+b、a-b相关的式子，最后将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
由平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a+2)^2-(b-2)^2&=(a+2+b-2)(a+2-b+2)\\&=(a+b)(a-b+4)\end{aligned}$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4×(1+4)\\&=4×5\\&=20\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
平方差公式；因式分解；代数式求值
【点评】
本题解题的关键是观察代数式的结构特征，灵活运用平方差公式进行因式分解，采用整体代入的方法计算可以简化运算过程，比先求解a、b的具体值再代入计算更简便，考查了公式运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 若$a+b=4,a-b=1$,则$(a+1)^2-(b-1)^2$的值为
12
。答案
12
解析
【分析】
观察所求代数式$(a+1)^2-(b-1)^2$的结构，属于两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，再对分解后的式子化简整理，最后将已知的$a+b$和$a-b$的值整体代入计算，无需单独求解$a$、$b$的取值，简化计算过程。
【解析】
解：根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，对所求式子因式分解可得：
$\begin{aligned}(a+1)^2-(b-1)^2&=[(a+1)-(b-1)][(a+1)+(b-1)]\\&=(a+1-b+1)(a+1+b-1)\\&=(a-b+2)(a+b)\end{aligned}$
已知$a+b=4$，$a-b=1$，将其代入上式得：
原式$=(1+2)×4=3×4=12$
【答案】
12
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过整体代入已知条件的方式，可有效降低计算量，是代数式求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式$(a+1)^2-(b-1)^2$的结构，属于两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，再对分解后的式子化简整理，最后将已知的$a+b$和$a-b$的值整体代入计算，无需单独求解$a$、$b$的取值，简化计算过程。
【解析】
解：根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，对所求式子因式分解可得：
$\begin{aligned}(a+1)^2-(b-1)^2&=[(a+1)-(b-1)][(a+1)+(b-1)]\\&=(a+1-b+1)(a+1+b-1)\\&=(a-b+2)(a+b)\end{aligned}$
已知$a+b=4$，$a-b=1$，将其代入上式得：
原式$=(1+2)×4=3×4=12$
【答案】
12
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，通过整体代入已知条件的方式，可有效降低计算量，是代数式求值类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
1.下列多项式中,不能用平方差公式进行因式分解的是（
A.$a^2b^2 -1$
B.$4 - 0.25a^2$
C.$-a^2 +1$
D.$-a^2 -b^2$
D
）A.$a^2b^2 -1$
B.$4 - 0.25a^2$
C.$-a^2 +1$
D.$-a^2 -b^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的结构特征：公式为$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，适用的多项式需满足3个条件：①共两项；②两项都能写成某个整式的平方形式；③两项符号相反（一正一负）。接下来我们逐一对比四个选项是否符合上述条件即可得出答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：两个数的平方差，等于这两个数的和与差的乘积，即$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$。
对各选项逐一分析：
A选项：$a^2b^2-1=(ab)^2-1^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(ab+1)(ab-1)$，不符合题意；
B选项：$4-0.25a^2=2^2-(0.5a)^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(2+0.5a)(2-0.5a)$，不符合题意；
C选项：$-a^2+1=1^2-a^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(1+a)(1-a)$，不符合题意；
D选项：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，是平方和的形式，不满足平方差公式的结构要求，不能用平方差公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是对平方差公式因式分解适用条件的基础考查，解题核心是准确把握平方差公式“两项、异号、均为平方形式”的结构特征，属于基础常考题型，容易失误的地方是忽略两项符号相反的要求。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式因式分解的结构特征：公式为$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，适用的多项式需满足3个条件：①共两项；②两项都能写成某个整式的平方形式；③两项符号相反（一正一负）。接下来我们逐一对比四个选项是否符合上述条件即可得出答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：两个数的平方差，等于这两个数的和与差的乘积，即$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$。
对各选项逐一分析：
A选项：$a^2b^2-1=(ab)^2-1^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(ab+1)(ab-1)$，不符合题意；
B选项：$4-0.25a^2=2^2-(0.5a)^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(2+0.5a)(2-0.5a)$，不符合题意；
C选项：$-a^2+1=1^2-a^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(1+a)(1-a)$，不符合题意；
D选项：$-a^2-b^2=-(a^2+b^2)$，两项符号相同，是平方和的形式，不满足平方差公式的结构要求，不能用平方差公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是对平方差公式因式分解适用条件的基础考查，解题核心是准确把握平方差公式“两项、异号、均为平方形式”的结构特征，属于基础常考题型，容易失误的地方是忽略两项符号相反的要求。
【难度系数】
0.8
2.分解因式:$4a^2 -1=$（
A.$(2a-1)(2a+1)$
B.$(a-2)(a+2)$
C.$(a-4)(a+1)$
D.$(4a-1)(a+1)$
A
）A.$(2a-1)(2a+1)$
B.$(a-2)(a+2)$
C.$(a-4)(a+1)$
D.$(4a-1)(a+1)$
答案
A
解析
【分析】
要对多项式$4a^2-1$分解因式，首先观察多项式的结构：它由两项组成，两项符号相反，且两项都可以写成某个整式的平方形式，符合平方差公式的适用条件。我们先把两项分别转化为平方的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$进行分解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4a^2 -1 = (2a)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$(2a)^2 -1^2=(2a-1)(2a+1)$
对比选项，A选项符合分解结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键在于准确识别出多项式符合“两项、异号、均为平方形式”的平方差结构特征，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要对多项式$4a^2-1$分解因式，首先观察多项式的结构：它由两项组成，两项符号相反，且两项都可以写成某个整式的平方形式，符合平方差公式的适用条件。我们先把两项分别转化为平方的形式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$进行分解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先将原式变形为平方差的形式：
$4a^2 -1 = (2a)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$(2a)^2 -1^2=(2a-1)(2a+1)$
对比选项，A选项符合分解结果。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键在于准确识别出多项式符合“两项、异号、均为平方形式”的平方差结构特征，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 当$n$为自然数时，多项式$(n+1)^2 - (n-3)^2$一定能（
A.被5整除
B.被6整除
C.被7整除
D.被8整除
D
）A.被5整除
B.被6整除
C.被7整除
D.被8整除
答案
D
解析
【分析】
本题需要判断多项式的整除性，解题思路是先对多项式进行化简。观察式子是两个平方的差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式因式分解，也可以直接展开两个完全平方再合并同类项，化简后观察结果的常数因数，即可判断该多项式能被哪个数整除。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=n+1$，$b=n-3$，则：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=2(n-1)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为$n$是自然数，所以$n-1$是整数，因此$8(n-1)$是8的整数倍，即该多项式一定能被8整除。
方法二：直接展开完全平方化简
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=(n^2+2n+1)-(n^2-6n+9)\\&=n^2+2n+1-n^2+6n-9\\&=8n-8\\&=8(n-1)\end{aligned}$
同理可得该多项式是8的整数倍，能被8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、整式化简、整除判断
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题，核心是通过化简将多项式转化为含常数因数的乘积形式，即可快速判断整除性，解题时灵活选择因式分解或直接展开的方法都可得出结果。
【难度系数】
0.8
本题需要判断多项式的整除性，解题思路是先对多项式进行化简。观察式子是两个平方的差的形式，符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式因式分解，也可以直接展开两个完全平方再合并同类项，化简后观察结果的常数因数，即可判断该多项式能被哪个数整除。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=n+1$，$b=n-3$，则：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=2(n-1)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为$n$是自然数，所以$n-1$是整数，因此$8(n-1)$是8的整数倍，即该多项式一定能被8整除。
方法二：直接展开完全平方化简
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=(n^2+2n+1)-(n^2-6n+9)\\&=n^2+2n+1-n^2+6n-9\\&=8n-8\\&=8(n-1)\end{aligned}$
同理可得该多项式是8的整数倍，能被8整除。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、整式化简、整除判断
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题，核心是通过化简将多项式转化为含常数因数的乘积形式，即可快速判断整除性，解题时灵活选择因式分解或直接展开的方法都可得出结果。
【难度系数】
0.8
4.已知$a,b,c$是三角形的三边，那么代数式$(a-b)^2 - c^2$的值 （
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
B
）A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步可以利用平方差公式对代数式进行因式分解。再结合三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号法则即可判断原式的正负。
【解析】
首先对代数式利用平方差公式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
因为$a,b,c$是三角形的三边，根据三角形三边关系：
1. 两边之和大于第三边，可得$a + c ＞ b$，移项得$a - b + c ＞ 0$；
2. 两边之差小于第三边，可得$a - b ＜ c$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
正数乘负数的乘积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c) ＜ 0$，即代数式的值小于零。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质结合的基础题型，解题的关键是先对代数式正确变形，再结合三边关系判断因式的符号，是三角形相关性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.75
首先观察代数式的结构，是两个平方项相减的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步可以利用平方差公式对代数式进行因式分解。再结合三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性，最后根据有理数乘法的符号法则即可判断原式的正负。
【解析】
首先对代数式利用平方差公式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2=(a-b+c)(a-b-c)$
因为$a,b,c$是三角形的三边，根据三角形三边关系：
1. 两边之和大于第三边，可得$a + c ＞ b$，移项得$a - b + c ＞ 0$；
2. 两边之差小于第三边，可得$a - b ＜ c$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
正数乘负数的乘积为负数，因此$(a-b+c)(a-b-c) ＜ 0$，即代数式的值小于零。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质结合的基础题型，解题的关键是先对代数式正确变形，再结合三边关系判断因式的符号，是三角形相关性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.75
5.若整式$x^2 + ky^2$（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是
-1
（写出一个即可）。答案
-1
解析
【分析】
首先观察整式结构为两项平方项相加的形式，要在有理数范围内因式分解，优先考虑运用平方差公式。平方差公式的特征是两项均为平方项且符号相反，因此需要将原式中的加号转化为减号，即k取负数，且|k|为有理数的平方即可满足要求，最简单的取值为k=-1。
【解析】
当k=-1时，原式可化为：
$x^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
符合在有理数范围内因式分解的要求。
【答案】
-1
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 平方差公式
【点评】
本题是开放性题目，答案不唯一，主要考查对因式分解公式结构特征的理解，解题时需紧扣“有理数范围内分解”的要求，结合公式特征反推参数取值即可。
【难度系数】
0.8
首先观察整式结构为两项平方项相加的形式，要在有理数范围内因式分解，优先考虑运用平方差公式。平方差公式的特征是两项均为平方项且符号相反，因此需要将原式中的加号转化为减号，即k取负数，且|k|为有理数的平方即可满足要求，最简单的取值为k=-1。
【解析】
当k=-1时，原式可化为：
$x^2 - y^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
符合在有理数范围内因式分解的要求。
【答案】
-1
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 平方差公式
【点评】
本题是开放性题目，答案不唯一，主要考查对因式分解公式结构特征的理解，解题时需紧扣“有理数范围内分解”的要求，结合公式特征反推参数取值即可。
【难度系数】
0.8
6.若$m^2 - n^2 = 6$，且$m - n = 2$，则$m + n$的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
观察题目已知条件，出现$m^2-n^2$，符合平方差公式的结构特征，因此首先想到利用平方差公式对$m^2-n^2$因式分解，分解后式子中刚好包含已知的$m-n$和待求的$m+n$，将已知数值代入分解后的式子，无需单独求解m、n，就能直接算出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
将$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 2$代入上式：
$2×(m + n) = 6$
等式两边同时除以2，解得：
$m + n = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握平方差公式的变形，利用整体代入的思想即可快速求解，避免单独求解m、n带来的多余计算。
【难度系数】
0.8
观察题目已知条件，出现$m^2-n^2$，符合平方差公式的结构特征，因此首先想到利用平方差公式对$m^2-n^2$因式分解，分解后式子中刚好包含已知的$m-n$和待求的$m+n$，将已知数值代入分解后的式子，无需单独求解m、n，就能直接算出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
将$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 2$代入上式：
$2×(m + n) = 6$
等式两边同时除以2，解得：
$m + n = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是熟练掌握平方差公式的变形，利用整体代入的思想即可快速求解，避免单独求解m、n带来的多余计算。
【难度系数】
0.8
7. 直接运用平方差公式分解因式：
(1) $25a^2 - 1$；
(2) $-\dfrac{16}{9}m^2 + \dfrac{81}{4}n^2$；
(3) $(x + y)^2 - 4$；
(4) $36(x - y)^2 - 49(x + 2y)^2$。
(1) $25a^2 - 1$；
(2) $-\dfrac{16}{9}m^2 + \dfrac{81}{4}n^2$；
(3) $(x + y)^2 - 4$；
(4) $36(x - y)^2 - 49(x + 2y)^2$。
答案
7.(1)$(5a+1)(5a-1)$ (2)$(\dfrac{9}{2}n+\dfrac{4}{3}m)(\dfrac{9}{2}n-\dfrac{4}{3}m)$
(3)$(x+y+2)(x+y-2)$ (4)$-(13x+8y)(x+20y)$
(3)$(x+y+2)(x+y-2)$ (4)$-(13x+8y)(x+20y)$
解析
【分析】
用平方差公式分解因式的前提是多项式符合$a^2 - b^2$的结构特征：①包含两个符号相反的项；②两项都可以写成某个整式的平方形式。解题时先将每道题的多项式变形为$a^2 - b^2$的形式，确定对应的$a$和$b$（第(3)(4)题需要把多项式部分看成整体当作$a$或$b$），再代入平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$展开，最后合并同类项化简到最简结果即可。
【解析】
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$逐个分解：
(1) 先变形为平方差形式：
$25a^2 -1=(5a)^2 -1^2$
代入公式得：$(5a+1)(5a-1)$
(2) 调整两项顺序得到平方差形式：
$-\dfrac{16}{9}m^2 + \dfrac{81}{4}n^2=(\dfrac{9}{2}n)^2 - (\dfrac{4}{3}m)^2$
代入公式得：$(\dfrac{9}{2}n+\dfrac{4}{3}m)(\dfrac{9}{2}n-\dfrac{4}{3}m)$
(3) 把$(x+y)$看作整体，变形为平方差形式：
$(x+y)^2 -4=(x+y)^2 -2^2$
代入公式得：$(x+y+2)(x+y-2)$
(4) 分别把$6(x-y)$和$7(x+2y)$看作整体，变形为平方差形式：
$36(x - y)^2 - 49(x + 2y)^2=[6(x-y)]^2 - [7(x+2y)]^2$
代入公式得：$[6(x-y)+7(x+2y)][6(x-y)-7(x+2y)]$
化简两个括号内的整式：
第一个括号：$6x-6y+7x+14y=13x+8y$
第二个括号：$6x-6y-7x-14y=-x-20y=-(x+20y)$
因此最终结果为：$-(13x+8y)(x+20y)$
【答案】
(1)$(5a+1)(5a-1)$；(2)$(\dfrac{9}{2}n+\dfrac{4}{3}m)(\dfrac{9}{2}n-\dfrac{4}{3}m)$；(3)$(x+y+2)(x+y-2)$；(4)$-(13x+8y)(x+20y)$
【知识点】
平方差公式因式分解；整体思想；整式化简
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用类题目，解题核心是准确识别平方差的结构特征，遇到含多项式的项时可运用整体思想简化运算，最后注意将分解后的整式合并同类项，保证结果最简。
【难度系数】
0.75
用平方差公式分解因式的前提是多项式符合$a^2 - b^2$的结构特征：①包含两个符号相反的项；②两项都可以写成某个整式的平方形式。解题时先将每道题的多项式变形为$a^2 - b^2$的形式，确定对应的$a$和$b$（第(3)(4)题需要把多项式部分看成整体当作$a$或$b$），再代入平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$展开，最后合并同类项化简到最简结果即可。
【解析】
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$逐个分解：
(1) 先变形为平方差形式：
$25a^2 -1=(5a)^2 -1^2$
代入公式得：$(5a+1)(5a-1)$
(2) 调整两项顺序得到平方差形式：
$-\dfrac{16}{9}m^2 + \dfrac{81}{4}n^2=(\dfrac{9}{2}n)^2 - (\dfrac{4}{3}m)^2$
代入公式得：$(\dfrac{9}{2}n+\dfrac{4}{3}m)(\dfrac{9}{2}n-\dfrac{4}{3}m)$
(3) 把$(x+y)$看作整体，变形为平方差形式：
$(x+y)^2 -4=(x+y)^2 -2^2$
代入公式得：$(x+y+2)(x+y-2)$
(4) 分别把$6(x-y)$和$7(x+2y)$看作整体，变形为平方差形式：
$36(x - y)^2 - 49(x + 2y)^2=[6(x-y)]^2 - [7(x+2y)]^2$
代入公式得：$[6(x-y)+7(x+2y)][6(x-y)-7(x+2y)]$
化简两个括号内的整式：
第一个括号：$6x-6y+7x+14y=13x+8y$
第二个括号：$6x-6y-7x-14y=-x-20y=-(x+20y)$
因此最终结果为：$-(13x+8y)(x+20y)$
【答案】
(1)$(5a+1)(5a-1)$；(2)$(\dfrac{9}{2}n+\dfrac{4}{3}m)(\dfrac{9}{2}n-\dfrac{4}{3}m)$；(3)$(x+y+2)(x+y-2)$；(4)$-(13x+8y)(x+20y)$
【知识点】
平方差公式因式分解；整体思想；整式化简
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础应用类题目，解题核心是准确识别平方差的结构特征，遇到含多项式的项时可运用整体思想简化运算，最后注意将分解后的整式合并同类项，保证结果最简。
【难度系数】
0.75
8.图(1)和图(2)分别由两个长方形拼成，其中$a＞b$。
(1)用含$a$，$b$的代数式表示它们的面积，则$S_{1}=$
(2)$S_{1}$与$S_{2}$之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；
(3)请你利用上述发现的结论计算：$2020^{2}-2018^{2}$。
(1)用含$a$，$b$的代数式表示它们的面积，则$S_{1}=$
$a^2-b^2$
，$S_{2}=$$(a+b)(a-b)$
；(2)$S_{1}$与$S_{2}$之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；
(3)请你利用上述发现的结论计算：$2020^{2}-2018^{2}$。
答案
8.(1)$a^2-b^2$ $(a+b)(a-b)$
(2)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等,即都等于这两个长方形面积的和。
(3)8 076
(2)$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等,即都等于这两个长方形面积的和。
(3)8 076
解析
【分析】
解答本题可按以下思路思考：
1. 求图1面积：观察图1是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，用大正方形面积减小正方形面积即可得到$S_1$；
2. 求图2面积：观察图2是长方形，先确定它的长和宽，再用长方形面积=长×宽计算得到$S_2$；
3. 比较面积关系：两个图形都是由相同的两个长方形拼接而成，总面积相等，由此即可得到平方差公式；
4. 简便计算：把$2020^2-2018^2$对应平方差公式的左边，代入公式计算即可简化运算。
【解析】
(1) 图1中，大正方形的面积为$a^2$，挖去的小正方形面积为$b^2$，因此$S_1 = a^2 - b^2$；
图2中，长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此$S_2 = (a+b)(a-b)$。
(2) $S_1$与$S_2$的大小关系为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$。
道理：两个图形都是由完全相同的两个长方形拼接得到的，它们的面积都等于这两个长方形的面积之和，因此面积相等。
(3) 根据上述结论，计算$2020^2 - 2018^2$时，令$a=2020$，$b=2018$，代入公式得：
$\begin{aligned}2020^2 - 2018^2&=(2020+2018)×(2020-2018)\\&=4038×2\\&=8076\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 - b^2$；$(a+b)(a-b)$
(2) $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和
(3) $8076$
【知识点】
平方差公式，面积计算，代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式推导平方差公式，既考查了图形面积的计算方法，又强化了平方差公式的理解与应用，利用公式可以简化相关运算，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
解答本题可按以下思路思考：
1. 求图1面积：观察图1是边长为a的大正方形挖去边长为b的小正方形，用大正方形面积减小正方形面积即可得到$S_1$；
2. 求图2面积：观察图2是长方形，先确定它的长和宽，再用长方形面积=长×宽计算得到$S_2$；
3. 比较面积关系：两个图形都是由相同的两个长方形拼接而成，总面积相等，由此即可得到平方差公式；
4. 简便计算：把$2020^2-2018^2$对应平方差公式的左边，代入公式计算即可简化运算。
【解析】
(1) 图1中，大正方形的面积为$a^2$，挖去的小正方形面积为$b^2$，因此$S_1 = a^2 - b^2$；
图2中，长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此$S_2 = (a+b)(a-b)$。
(2) $S_1$与$S_2$的大小关系为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$。
道理：两个图形都是由完全相同的两个长方形拼接得到的，它们的面积都等于这两个长方形的面积之和，因此面积相等。
(3) 根据上述结论，计算$2020^2 - 2018^2$时，令$a=2020$，$b=2018$，代入公式得：
$\begin{aligned}2020^2 - 2018^2&=(2020+2018)×(2020-2018)\\&=4038×2\\&=8076\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 - b^2$；$(a+b)(a-b)$
(2) $a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和
(3) $8076$
【知识点】
平方差公式，面积计算，代数式求值
【点评】
本题通过数形结合的方式推导平方差公式，既考查了图形面积的计算方法，又强化了平方差公式的理解与应用，利用公式可以简化相关运算，提升计算效率。
【难度系数】
0.8
