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9.先因式分解，再计算求值：
$( \frac{a + b}{2} )^2 - ( \frac{a - b}{2} )^2, \mathrm{其中} \ a = -\frac{1}{8}, b = 2。$
$( \frac{a + b}{2} )^2 - ( \frac{a - b}{2} )^2, \mathrm{其中} \ a = -\frac{1}{8}, b = 2。$
答案
9.解:原式=$(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2})(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2})=ab$。
当$a=-\dfrac{1}{8},b=2$时,原式=$ab=-\dfrac{1}{8}×2=-\dfrac{1}{4}$。
当$a=-\dfrac{1}{8},b=2$时,原式=$ab=-\dfrac{1}{8}×2=-\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
观察待求式的结构，是两个式子的平方作差的形式，完全符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的特征，因此优先选择用平方差公式进行因式分解，先化简式子再代入数值计算，比直接展开原式计算更简便、不易出错。首先把$\frac{a+b}{2}$看作平方差公式里的$x$，$\frac{a-b}{2}$看作公式里的$y$，代入公式分解后再合并同类项化简，最后代入a、b的数值计算结果即可。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2} )( \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} )\\&=\frac{2a}{2} × \frac{2b}{2}\\&=ab\end{aligned}$
当$a=-\frac{1}{8},b=2$时，代入化简结果计算：
原式$=ab=-\frac{1}{8} × 2 = -\frac{1}{4}$
【答案】
$-\frac{1}{4}$
【知识点】
1.平方差公式因式分解 2.代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，熟练识别平方差公式的结构特征是解题的关键，通过因式分解先化简再求值能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
观察待求式的结构，是两个式子的平方作差的形式，完全符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的特征，因此优先选择用平方差公式进行因式分解，先化简式子再代入数值计算，比直接展开原式计算更简便、不易出错。首先把$\frac{a+b}{2}$看作平方差公式里的$x$，$\frac{a-b}{2}$看作公式里的$y$，代入公式分解后再合并同类项化简，最后代入a、b的数值计算结果即可。
【解析】
解：利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{a + b}{2} + \frac{a - b}{2} )( \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} )\\&=\frac{2a}{2} × \frac{2b}{2}\\&=ab\end{aligned}$
当$a=-\frac{1}{8},b=2$时，代入化简结果计算：
原式$=ab=-\frac{1}{8} × 2 = -\frac{1}{4}$
【答案】
$-\frac{1}{4}$
【知识点】
1.平方差公式因式分解 2.代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，熟练识别平方差公式的结构特征是解题的关键，通过因式分解先化简再求值能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10.已知$x - y = 3$，$y - z = 3$，$x + z = 14$，求$x^2 - z^2$的值。
答案
10.解:$\because x-z=(x-y)+(y-z)=6$,
$\therefore x^2-z^2=(x+z)(x-z)=14×6=84$。
$\therefore x^2-z^2=(x+z)(x-z)=14×6=84$。
解析
【分析】
要求$x^2 - z^2$的值，首先回忆平方差公式，可将其变形为$(x+z)(x-z)$。已知题目已给出$x+z=14$，因此只需要求出$x-z$的值即可完成计算。观察已知条件$x-y=3$和$y-z=3$，将两个等式左右两边分别相加，可抵消y项，直接得到$x-z$的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：$\because x-z=(x-y)+(y-z)=3+3=6$，
$\therefore x^2-z^2=(x+z)(x-z)=14×6=84$。
【答案】
$84$
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，整式的加减运算
【点评】
本题解题的关键是观察所求代数式与已知条件的联系，灵活运用平方差公式变形，通过整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数式求值中的应用。
【难度系数】
0.7
要求$x^2 - z^2$的值，首先回忆平方差公式，可将其变形为$(x+z)(x-z)$。已知题目已给出$x+z=14$，因此只需要求出$x-z$的值即可完成计算。观察已知条件$x-y=3$和$y-z=3$，将两个等式左右两边分别相加，可抵消y项，直接得到$x-z$的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：$\because x-z=(x-y)+(y-z)=3+3=6$，
$\therefore x^2-z^2=(x+z)(x-z)=14×6=84$。
【答案】
$84$
【知识点】
平方差公式，整体代入求值，整式的加减运算
【点评】
本题解题的关键是观察所求代数式与已知条件的联系，灵活运用平方差公式变形，通过整体代入的方法简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了整体思想在代数式求值中的应用。
【难度系数】
0.7
11.阅读下面题目的解答过程：
已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，试判断$△ ABC$的形状。
解：$\because a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，第一步
$\therefore c^2(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$。第二步
$\therefore c^2 = a^2 + b^2$。第三步
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(1)上述解答过程，从第
(2)错误的原因是
(3)本题正确的结论为
已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且满足$a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，试判断$△ ABC$的形状。
解：$\because a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$，第一步
$\therefore c^2(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$。第二步
$\therefore c^2 = a^2 + b^2$。第三步
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(1)上述解答过程，从第
二
步开始出现错误。(2)错误的原因是
未考虑$a^2-b^2=0$的情况
。(3)本题正确的结论为
$△ ABC$是直角三角形或等腰三角形
。答案
11.(1)二 (2)未考虑$a^2-b^2=0$的情况
(3)$△ ABC$是直角三角形或等腰三角形
(3)$△ ABC$是直角三角形或等腰三角形
解析
【分析】
这道题考查等式变形规则和三角形形状的判断，解题时可逐行核对给出的解答步骤，结合等式的基本性质分析：等式两边同时除以同一个整式时，必须保证该整式不为0，否则会出现漏解。首先第一步是题目给出的已知条件，变形正确；第二步得到因式分解后的等式后，直接默认$(a^2-b^2)$不为0可以约去，忽略了$a^2-b^2=0$的情况，因此从这一步开始出现逻辑漏洞。接下来明确错误原因是遗漏了$a^2-b^2=0$的情况，最后重新推导，通过移项、提取公因式，分两种情况讨论即可得到正确结论。
【解析】
(1) 逐步骤核对解答过程：
第一步直接抄写题干给出的等式，无错误；第二步对等式左右因式分解后，未考虑$(a^2-b^2)$是否为0就默认可以约去该式，因此从第二步开始出现错误。
(2) 错误原因：等式两边同时除以含有未知数的整式时，需保证该整式不为0，此处未考虑$a^2-b^2=0$（即$a=b$）的情况，直接约去$(a^2-b^2)$导致漏解。
(3) 正确推导过程：
$\because a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$
$\therefore c^2(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$
移项得：$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = 0$
提取公因式得：$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
$\therefore a^2 - b^2 = 0$ 或 $c^2 - a^2 - b^2 = 0$
即$a = b$ 或 $c^2 = a^2 + b^2$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
(1) 二
(2) 未考虑$a^2-b^2=0$的情况
(3) $△ ABC$是直角三角形或等腰三角形
【知识点】
等式的性质，因式分解的应用，三角形形状判定
【点评】
本题是等式变形的典型易错题，解题关键是牢记等式两边除以整式的前提条件，避免因忽略特殊情况漏解，同时要掌握分类讨论思想分析三角形的形状。
【难度系数】
0.7
这道题考查等式变形规则和三角形形状的判断，解题时可逐行核对给出的解答步骤，结合等式的基本性质分析：等式两边同时除以同一个整式时，必须保证该整式不为0，否则会出现漏解。首先第一步是题目给出的已知条件，变形正确；第二步得到因式分解后的等式后，直接默认$(a^2-b^2)$不为0可以约去，忽略了$a^2-b^2=0$的情况，因此从这一步开始出现逻辑漏洞。接下来明确错误原因是遗漏了$a^2-b^2=0$的情况，最后重新推导，通过移项、提取公因式，分两种情况讨论即可得到正确结论。
【解析】
(1) 逐步骤核对解答过程：
第一步直接抄写题干给出的等式，无错误；第二步对等式左右因式分解后，未考虑$(a^2-b^2)$是否为0就默认可以约去该式，因此从第二步开始出现错误。
(2) 错误原因：等式两边同时除以含有未知数的整式时，需保证该整式不为0，此处未考虑$a^2-b^2=0$（即$a=b$）的情况，直接约去$(a^2-b^2)$导致漏解。
(3) 正确推导过程：
$\because a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4$
$\therefore c^2(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$
移项得：$c^2(a^2 - b^2) - (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = 0$
提取公因式得：$(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$
$\therefore a^2 - b^2 = 0$ 或 $c^2 - a^2 - b^2 = 0$
即$a = b$ 或 $c^2 = a^2 + b^2$
$\therefore △ ABC$是等腰三角形或直角三角形。
【答案】
(1) 二
(2) 未考虑$a^2-b^2=0$的情况
(3) $△ ABC$是直角三角形或等腰三角形
【知识点】
等式的性质，因式分解的应用，三角形形状判定
【点评】
本题是等式变形的典型易错题，解题关键是牢记等式两边除以整式的前提条件，避免因忽略特殊情况漏解，同时要掌握分类讨论思想分析三角形的形状。
【难度系数】
0.7
