登录
知识点一 完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$，
$a^2 - 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$。
$a^2 + 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$，
$a^2 - 2ab + b^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的结构特征，解题时可结合整式乘法和因式分解的互逆关系思考：首先回忆完全平方公式的三项结构特点，即两个数的平方项加/减两数乘积的2倍，对应等于两数和/差的平方，根据两个式子的结构特征直接匹配对应公式即可得到结果。
【解析】
1. 观察$a^2 + 2ab + b^2$的结构：它由$a$的平方、$b$的平方，以及$a$和$b$乘积的2倍相加构成，符合完全平方和的公式结构，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$；
2. 观察$a^2 - 2ab + b^2$的结构：它由$a$的平方、$b$的平方，减去$a$和$b$乘积的2倍构成，符合完全平方差的公式结构，因此$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是基础识记类题目，核心考查对完全平方公式结构的记忆和识别，掌握公式的结构特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的结构特征，解题时可结合整式乘法和因式分解的互逆关系思考：首先回忆完全平方公式的三项结构特点，即两个数的平方项加/减两数乘积的2倍，对应等于两数和/差的平方，根据两个式子的结构特征直接匹配对应公式即可得到结果。
【解析】
1. 观察$a^2 + 2ab + b^2$的结构：它由$a$的平方、$b$的平方，以及$a$和$b$乘积的2倍相加构成，符合完全平方和的公式结构，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$；
2. 观察$a^2 - 2ab + b^2$的结构：它由$a$的平方、$b$的平方，减去$a$和$b$乘积的2倍构成，符合完全平方差的公式结构，因此$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是基础识记类题目，核心考查对完全平方公式结构的记忆和识别，掌握公式的结构特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 有下列式子:①$x^2 -10x +25$；②$4a^2 +4a -1$；③$x^3 -2x -1$；④$m^2 -m +\frac{1}{4}$；⑤$4x^4 -x^3 +\frac{1}{4}$。其中,不能用完全平方公式分解的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[点拨] 利用完全平方公式的结构特征判断即可。
[解] ①$x^2 -10x +25=(x-5)^2$,不符合题意;②$4a^2 +4a -1$,符合题意;③$x^3 -2x -1$,符合题意;④$m^2 -m +\frac{1}{4}=(m-\frac{1}{2})^2$,不符合题意;⑤$4x^4 -x^3 +\frac{1}{4}$,符合题意,则不能用完全平方公式分解的有3个。故选C。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[点拨] 利用完全平方公式的结构特征判断即可。
[解] ①$x^2 -10x +25=(x-5)^2$,不符合题意;②$4a^2 +4a -1$,符合题意;③$x^3 -2x -1$,符合题意;④$m^2 -m +\frac{1}{4}=(m-\frac{1}{2})^2$,不符合题意;⑤$4x^4 -x^3 +\frac{1}{4}$,符合题意,则不能用完全平方公式分解的有3个。故选C。
答案
C
解析
【分析】
解题前首先要明确完全平方公式因式分解的适用条件：能使用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，结构为$a^2\pm2ab+b^2$，满足三个特征：①是三项式；②有两项同号，且都能写成某个整式的平方；③第三项是这两个整式乘积的2倍（符号可正可负）。解题时只需逐个判断5个式子是否符合上述特征，统计不符合的个数即可得到答案。
【解析】
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐个分析如下：
①$x^2 -10x +25$：$x^2$是$x$的平方，$25$是$5$的平方，中间项$-10x=-2× x×5$，符合完全平方式特征，可分解为$(x-5)^2$，不符合“不能分解”的要求；
②$4a^2 +4a -1$：常数项为$-1$，不是正的平方项，且$(2a+1)^2=4a^2+4a+1$，与原式不符，不能用完全平方公式分解；
③$x^3 -2x -1$：最高次项次数为3，而完全平方式最高次为2次，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
④$m^2 -m +\frac{1}{4}$：$m^2$是$m$的平方，$\frac{1}{4}$是$(\frac{1}{2})$的平方，中间项$-m=-2× m×\frac{1}{2}$，符合完全平方式特征，可分解为$(m-\frac{1}{2})^2$，不符合题意；
⑤$4x^4 -x^3 +\frac{1}{4}$：$4x^4$是$(2x^2)$的平方，$\frac{1}{4}$是$(\frac{1}{2})$的平方，两平方项对应整式乘积的2倍为$\pm2x^2$，与原式中间项$-x^3$不符，不能用完全平方公式分解。
综上，不能用完全平方公式分解的有②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解，完全平方式识别
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时要从项数、平方项符号、中间项形式三个维度逐一判断，避免因忽略次数、符号细节出错。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确完全平方公式因式分解的适用条件：能使用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，结构为$a^2\pm2ab+b^2$，满足三个特征：①是三项式；②有两项同号，且都能写成某个整式的平方；③第三项是这两个整式乘积的2倍（符号可正可负）。解题时只需逐个判断5个式子是否符合上述特征，统计不符合的个数即可得到答案。
【解析】
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐个分析如下：
①$x^2 -10x +25$：$x^2$是$x$的平方，$25$是$5$的平方，中间项$-10x=-2× x×5$，符合完全平方式特征，可分解为$(x-5)^2$，不符合“不能分解”的要求；
②$4a^2 +4a -1$：常数项为$-1$，不是正的平方项，且$(2a+1)^2=4a^2+4a+1$，与原式不符，不能用完全平方公式分解；
③$x^3 -2x -1$：最高次项次数为3，而完全平方式最高次为2次，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
④$m^2 -m +\frac{1}{4}$：$m^2$是$m$的平方，$\frac{1}{4}$是$(\frac{1}{2})$的平方，中间项$-m=-2× m×\frac{1}{2}$，符合完全平方式特征，可分解为$(m-\frac{1}{2})^2$，不符合题意；
⑤$4x^4 -x^3 +\frac{1}{4}$：$4x^4$是$(2x^2)$的平方，$\frac{1}{4}$是$(\frac{1}{2})$的平方，两平方项对应整式乘积的2倍为$\pm2x^2$，与原式中间项$-x^3$不符，不能用完全平方公式分解。
综上，不能用完全平方公式分解的有②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解，完全平方式识别
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题时要从项数、平方项符号、中间项形式三个维度逐一判断，避免因忽略次数、符号细节出错。
【难度系数】
0.7
|变式训练1| 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是 （
A.$x^2 + 2x + y^2$
B.$4x^2 -4x -1$
C.$x^2 +4xy + y^2$
D.$x^2 -4x +4$
D
）A.$x^2 + 2x + y^2$
B.$4x^2 -4x -1$
C.$x^2 +4xy + y^2$
D.$x^2 -4x +4$
答案
D
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式分解因式的结构特征：可分解的多项式是三项式，其中两项是两个数（或式）的平方，且这两项符号相同，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（符号可正可负），即满足$a^2\pm2ab+b^2$的结构，解题时逐个对照特征验证选项即可。
【解析】
完全平方公式的因式分解形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：多项式有$x^2$、$y^2$两个同号平方项，但中间项为$2x$，不是$x$与$y$乘积的2倍，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解；
选项B：多项式中平方项为$4x^2$和$-1$，二者符号相反，不符合完全平方公式中两个平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：多项式有$x^2$、$y^2$两个同号平方项，但中间项为$4xy$，不是$x$与$y$乘积的2倍（应为$2xy$），不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解；
选项D：多项式$x^2-4x+4$可变形为$x^2 - 2· x·2 + 2^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-2)^2$，能用完全平方公式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟记完全平方公式的三项结构特点是解题的关键，解题时要注意区分平方项的符号要求和中间项的倍数要求，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要牢记完全平方公式分解因式的结构特征：可分解的多项式是三项式，其中两项是两个数（或式）的平方，且这两项符号相同，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（符号可正可负），即满足$a^2\pm2ab+b^2$的结构，解题时逐个对照特征验证选项即可。
【解析】
完全平方公式的因式分解形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：多项式有$x^2$、$y^2$两个同号平方项，但中间项为$2x$，不是$x$与$y$乘积的2倍，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解；
选项B：多项式中平方项为$4x^2$和$-1$，二者符号相反，不符合完全平方公式中两个平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：多项式有$x^2$、$y^2$两个同号平方项，但中间项为$4xy$，不是$x$与$y$乘积的2倍（应为$2xy$），不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式分解；
选项D：多项式$x^2-4x+4$可变形为$x^2 - 2· x·2 + 2^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-2)^2$，能用完全平方公式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟记完全平方公式的三项结构特点是解题的关键，解题时要注意区分平方项的符号要求和中间项的倍数要求，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
例2 把多项式$x^2 - 6x + 9$分解因式，结果是。
[点拨] 原式利用完全平方公式分解即可。
[答案] 原式=$(x - 3)^2$。
[点拨] 原式利用完全平方公式分解即可。
[答案] 原式=$(x - 3)^2$。
答案
解：
$x^2 - 6x + 9$
$=x^2 - 2· x· 3 + 3^2$
$=(x-3)^2$
$x^2 - 6x + 9$
$=x^2 - 2· x· 3 + 3^2$
$=(x-3)^2$
解析
【分析】
首先观察多项式的结构特征，该多项式共有三项，首项$x^2$是$x$的平方，末项$9$是$3$的平方，中间项$-6x$恰好是$x$与$3$乘积的$-2$倍，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，因此可通过对应公式找到$a=x$、$b=3$，代入公式即可完成因式分解。
【解析】
$x^2 - 6x + 9$
$=x^2 - 2· x· 3 + 3^2$
$=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础类题目，主要考查对完全平方公式结构特征的掌握，只要能准确识别公式中对应的两项，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察多项式的结构特征，该多项式共有三项，首项$x^2$是$x$的平方，末项$9$是$3$的平方，中间项$-6x$恰好是$x$与$3$乘积的$-2$倍，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，因此可通过对应公式找到$a=x$、$b=3$，代入公式即可完成因式分解。
【解析】
$x^2 - 6x + 9$
$=x^2 - 2· x· 3 + 3^2$
$=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题属于因式分解的基础类题目，主要考查对完全平方公式结构特征的掌握，只要能准确识别公式中对应的两项，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
|变式训练2| 把多项式$1 - 2xy + x^2y^2$分解因式，结果是
$(1-xy)^2$
。答案
$(1-xy)^2$
解析
【分析】
观察多项式是三项式，因式分解时优先考虑完全平方公式。完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，首先确认多项式的平方项：1可写成$1^2$，$x^2y^2$可写成$(xy)^2$，再验证中间项：$-2xy=-2×1× xy$，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可直接套用公式分解。
【解析】
解：对多项式变形后套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}1 - 2xy + x^2y^2&=1^2 - 2×1· xy + (xy)^2\\&=(1-xy)^2\end{aligned}$
【答案】
$(1-xy)^2$
【知识点】
因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确识别公式中对应的整体项，注意中间项的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.85
观察多项式是三项式，因式分解时优先考虑完全平方公式。完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，首先确认多项式的平方项：1可写成$1^2$，$x^2y^2$可写成$(xy)^2$，再验证中间项：$-2xy=-2×1× xy$，完全符合完全平方差公式的结构特征，因此可直接套用公式分解。
【解析】
解：对多项式变形后套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}1 - 2xy + x^2y^2&=1^2 - 2×1· xy + (xy)^2\\&=(1-xy)^2\end{aligned}$
【答案】
$(1-xy)^2$
【知识点】
因式分解，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特点，准确识别公式中对应的整体项，注意中间项的符号即可快速求解。
【难度系数】
0.85
1. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是 （
A.$x^2 - x + 1$
B.$1 - 2xy + x^2y^2$
C.$m^2 - 2m - 1$
D.$a^2 - a + \frac{1}{2}$
B
）A.$x^2 - x + 1$
B.$1 - 2xy + x^2y^2$
C.$m^2 - 2m - 1$
D.$a^2 - a + \frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
要解答本题，首先要明确能用完全平方公式分解因式的多项式的结构特征：该多项式为三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负），即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。解题时只需对照这个特征逐一判断每个选项即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 - x + 1$，两个平方项为$x^2$和$1^2$，对应中间项应为$\pm 2· x· 1=\pm 2x$，但本选项中间项为$-x$，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
B选项：$1 - 2xy + x^2y^2$，可改写为$1^2 - 2×1· xy + (xy)^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式（其中$a=1$，$b=xy$），可分解为$(1-xy)^2$，符合要求。
C选项：$m^2 - 2m - 1$，两个平方项$m^2$和$-1$符号一正一负，不符合完全平方式两个平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解。
D选项：$a^2 - a + \frac{1}{2}$，若中间项为$-a$，对应的尾平方项应为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，与本选项的$\frac{1}{2}$不符，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方式结构特征的记忆与识别，掌握“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的判断口诀就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先要明确能用完全平方公式分解因式的多项式的结构特征：该多项式为三项式，其中两项是两个数（或整式）的平方且符号相同，第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍（符号可正可负），即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。解题时只需对照这个特征逐一判断每个选项即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 - x + 1$，两个平方项为$x^2$和$1^2$，对应中间项应为$\pm 2· x· 1=\pm 2x$，但本选项中间项为$-x$，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
B选项：$1 - 2xy + x^2y^2$，可改写为$1^2 - 2×1· xy + (xy)^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式（其中$a=1$，$b=xy$），可分解为$(1-xy)^2$，符合要求。
C选项：$m^2 - 2m - 1$，两个平方项$m^2$和$-1$符号一正一负，不符合完全平方式两个平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解。
D选项：$a^2 - a + \frac{1}{2}$，若中间项为$-a$，对应的尾平方项应为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，与本选项的$\frac{1}{2}$不符，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方式结构特征的记忆与识别，掌握“首平方、尾平方，积的两倍在中央”的判断口诀就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2.若$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，则$a$，$b$的值分别为（
A.9,1
B.-9,1
C.-9,-1
D.9,-1
A
）A.9,1
B.-9,1
C.-9,-1
D.9,-1
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用完全平方公式展开等式右侧的式子，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数、常数项分别相等的性质，列出关于a、b的关系式求解参数。第一步先回忆完全平方公式的展开形式，第二步展开右侧式子，第三步对比左右各项系数即可求出a、b的值。
【解析】
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等式右侧$(bx-3)^2$展开：
$(bx-3)^2=(bx)^2 - 2· bx·3 + 3^2 = b^2x^2 -6bx +9$
已知$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，两个多项式相等时对应同类项的系数、常数项分别相等：
1. 一次项系数：$-6b=-6$，解得$b=1$
2. 常数项：$a=9$
二次项系数$b^2=1^2=1$，与左侧二次项系数1一致，符合要求。
因此$a=9$，$b=1$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查完全平方公式的正确展开，以及利用多项式相等时对应项系数相等的性质求解未知参数，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心思路是利用完全平方公式展开等式右侧的式子，再根据两个多项式相等时，对应同类项的系数、常数项分别相等的性质，列出关于a、b的关系式求解参数。第一步先回忆完全平方公式的展开形式，第二步展开右侧式子，第三步对比左右各项系数即可求出a、b的值。
【解析】
根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将等式右侧$(bx-3)^2$展开：
$(bx-3)^2=(bx)^2 - 2· bx·3 + 3^2 = b^2x^2 -6bx +9$
已知$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，两个多项式相等时对应同类项的系数、常数项分别相等：
1. 一次项系数：$-6b=-6$，解得$b=1$
2. 常数项：$a=9$
二次项系数$b^2=1^2=1$，与左侧二次项系数1一致，符合要求。
因此$a=9$，$b=1$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；多项式相等的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查完全平方公式的正确展开，以及利用多项式相等时对应项系数相等的性质求解未知参数，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.85
3.若多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$能用完全平方公式分解因式，则$m$的值为（
A.6或－2
B.－2
C.6
D.－6或2
A
）A.6或－2
B.－2
C.6
D.－6或2
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确能用完全平方公式分解的多项式是完全平方式，完全平方式有和的平方、差的平方两种结构，即$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。观察题干中的多项式，二次项为$x^2$，常数项为$36=6^2$，对应完全平方式里的$a=x$、$b=6$，由此可得一次项系数应等于$\pm2ab=\pm12$，再列关于m的方程分两种情况求解即可，注意不要遗漏其中一种情况造成漏解。
【解析】
解：
∵多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$能用完全平方公式分解因式，
∴该多项式是完全平方式，符合$a^2\pm2ab+b^2$的结构。
对比可得：$a=x$，$b^2=36$，即$b=\pm6$，
因此一次项系数满足：$-3(m-2)=\pm2×1×6=\pm12$，
分两种情况求解：
① 当$-3(m-2)=12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=-4$，
解得：$m=-2$；
② 当$-3(m-2)=-12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=4$，
解得：$m=6$。
综上，m的值为6或-2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；因式分解；一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方包含和、差两种形式，避免漏看情况出现漏解，属于基础公式应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确能用完全平方公式分解的多项式是完全平方式，完全平方式有和的平方、差的平方两种结构，即$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$。观察题干中的多项式，二次项为$x^2$，常数项为$36=6^2$，对应完全平方式里的$a=x$、$b=6$，由此可得一次项系数应等于$\pm2ab=\pm12$，再列关于m的方程分两种情况求解即可，注意不要遗漏其中一种情况造成漏解。
【解析】
解：
∵多项式$x^2 - 3(m - 2)x + 36$能用完全平方公式分解因式，
∴该多项式是完全平方式，符合$a^2\pm2ab+b^2$的结构。
对比可得：$a=x$，$b^2=36$，即$b=\pm6$，
因此一次项系数满足：$-3(m-2)=\pm2×1×6=\pm12$，
分两种情况求解：
① 当$-3(m-2)=12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=-4$，
解得：$m=-2$；
② 当$-3(m-2)=-12$时，
两边同时除以$-3$得：$m-2=4$，
解得：$m=6$。
综上，m的值为6或-2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；因式分解；一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构特征，解题的关键是牢记完全平方包含和、差两种形式，避免漏看情况出现漏解，属于基础公式应用类题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图(1)是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是 (
A.$ab$
B.$(a - b)^2$
C.$(2a + b)^2$
D.$a^2 - b^2$
B
)A.$ab$
B.$(a - b)^2$
C.$(2a + b)^2$
D.$a^2 - b^2$
答案
B
解析
【分析】
要计算图(2)中间空白部分的面积，可采用两种思路：一是用拼成的大正方形面积减去四块小长方形的总面积；二是先确定空白部分为正方形，求出其边长后直接计算面积。首先由图(1)可知，分割得到的每个小长方形的长为$a$、宽为$b$，再结合图(2)的拼接方式推导相关边长即可求解。
【解析】
方法1：
1. 求大正方形的面积：观察图(2)，拼接得到的大正方形边长为小长方形的长与宽之和，即$a+b$，因此大正方形面积为$(a+b)^2$。
2. 求四块小长方形的总面积：四块小长方形的总面积与图(1)中原长方形面积相等，原长方形长为$2a$、宽为$2b$，总面积为$2a×2b=4ab$。
3. 计算空白部分面积：
空白部分面积 = 大正方形面积 - 四块小长方形总面积
代入得：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - 4ab &= a^2+2ab+b^2 -4ab\\&=a^2-2ab+b^2\\&=(a-b)^2\end{aligned}$
方法2：
观察图(2)可得，中间空白部分是正方形，其边长为小长方形的长减去宽，即$a-b$，因此空白部分面积为$(a-b)^2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 割补法求面积
【点评】
本题通过图形拼接的形式考查完全平方公式的几何意义，能帮助我们直观理解整式乘法公式的变形，解题时可灵活选择直接计算或割补的方法简化运算。
【难度系数】
0.7
要计算图(2)中间空白部分的面积，可采用两种思路：一是用拼成的大正方形面积减去四块小长方形的总面积；二是先确定空白部分为正方形，求出其边长后直接计算面积。首先由图(1)可知，分割得到的每个小长方形的长为$a$、宽为$b$，再结合图(2)的拼接方式推导相关边长即可求解。
【解析】
方法1：
1. 求大正方形的面积：观察图(2)，拼接得到的大正方形边长为小长方形的长与宽之和，即$a+b$，因此大正方形面积为$(a+b)^2$。
2. 求四块小长方形的总面积：四块小长方形的总面积与图(1)中原长方形面积相等，原长方形长为$2a$、宽为$2b$，总面积为$2a×2b=4ab$。
3. 计算空白部分面积：
空白部分面积 = 大正方形面积 - 四块小长方形总面积
代入得：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - 4ab &= a^2+2ab+b^2 -4ab\\&=a^2-2ab+b^2\\&=(a-b)^2\end{aligned}$
方法2：
观察图(2)可得，中间空白部分是正方形，其边长为小长方形的长减去宽，即$a-b$，因此空白部分面积为$(a-b)^2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 割补法求面积
【点评】
本题通过图形拼接的形式考查完全平方公式的几何意义，能帮助我们直观理解整式乘法公式的变形，解题时可灵活选择直接计算或割补的方法简化运算。
【难度系数】
0.7
