5.如果在多项式$4a^2+1$中添加一个单项式，可使其成为一个完全平方式，那么添加的单项式为。（写出一个即可）

±4a,4a⁴中任意一个

【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，包含2个平方项和1个2倍乘积的交叉项。解题时可分情况讨论现有多项式$4a^2+1$的两项对应完全平方式的位置，进而推出需添加的单项式：一是把$4a^2$和$1$都看作平方项，补充交叉项；二是把$4a^2$看作交叉项，补充更高次的平方项，任选一种情况的结果即可。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，分情况推导：
1. 若将$4a^2$、$1$看作两个平方项：$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，即$m=2a$，$n=1$，缺失的交叉项为$\pm2×2a×1=\pm4a$，添加后可得$(2a\pm1)^2=4a^2\pm4a+1$，符合完全平方式要求。
2. 若将$4a^2$看作交叉项、$1$看作平方项：$1=1^2$，由$2×2a^2×1=4a^2$可得缺失的平方项为$(2a^2)^2=4a^4$，添加后可得$(2a^2+1)^2=4a^4+4a^2+1$，也符合完全平方式要求。
题目要求写出一个即可，任选上述结果作答。
【答案】
$4a$（或$-4a$、$4a^4$，任写一个即可）
【知识点】
完全平方公式；整式的运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是掌握完全平方式的结构特征，分情况讨论可避免漏解，只要求写出一个答案的情况下难度较低。
【难度系数】
0.8

6. a,b,c是等腰△ABC的三边长，其中a,b满足$a^2 + b^2 - 4a - 10b + 29 = 0$，则△ABC的周长为。

12

【分析】
解题时首先观察已知的含a、b的等式，可通过配方法将其转化为两个完全平方的和等于0的形式，根据非负数的性质求出a、b的长度；再结合等腰三角形两边相等的性质，分情况讨论第三条边c的长度，最后用三角形三边关系验证每种情况是否成立，进而计算符合条件的三角形周长。
【解析】
首先对已知等式进行配方：
$a^2 + b^2 - 4a - 10b + 29 = 0$
将常数项拆分后整理得：
$(a^2 -4a +4) + (b^2 -10b +25) = 0$
即 $(a-2)^2 + (b-5)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(a-2)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
∴ $a-2=0$，$b-5=0$
解得 $a=2$，$b=5$
∵ △ABC是等腰三角形，三边长为a、b、c
∴ 分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，即$c=a=2$，此时三边长为2、2、5
∵ $2+2=4＜5$，不满足三角形两边之和大于第三边的构成条件，故该情况舍去
2. 若腰长为5，即$c=b=5$，此时三边长为2、5、5
∵ $2+5＞5$，$5+5＞2$，满足三角形三边关系，符合条件
此时△ABC的周长为 $2+5+5=12$
【答案】
12
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题时需先通过代数运算求出边长，再结合等腰三角形的性质分类讨论，特别要注意分类后必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免遗漏验证步骤导致错解。
【难度系数】
0.7

7.将下列各式分解因式：
(1)$a^2 + 4a + 4$；
(2)$(x-1)^2 -6(x-1)+9$。

(1)$(a+2)^2$ (2)$(x-4)^2$

【分析】
本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的结构，两个式子均为三项式，符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征。第(1)题可直接匹配公式，找到对应项代入即可；第(2)题需将$(x-1)$看作一个整体，作为公式中的首项，再匹配对应项代入公式，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 观察式子$a^2 + 4a + 4$，首项为$a^2$，尾项为$2^2$，中间项$4a=2× a×2$，符合完全平方和公式：
$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2× a×2 + 2^2 = (a+2)^2$
(2) 把$(x-1)$看作一个整体，观察式子$(x-1)^2 -6(x-1)+9$，首项为$(x-1)^2$，尾项为$3^2$，中间项$-6(x-1)=-2× (x-1)×3$，符合完全平方差公式：
$(x-1)^2 -6(x-1)+9 = (x-1)^2 - 2× (x-1)×3 + 3^2 = [(x-1)-3]^2$
化简得：$(x-1-3)^2=(x-4)^2$
【答案】
(1)$(a+2)^2$；(2)$(x-4)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解-公式法 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，遇到含有多项式整体的式子时，可先将整体看作单独的项匹配公式，最后注意将结果化简到最简形式。
【难度系数】
0.8

8.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图所示）。

(1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为；
(2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片块。

(1)$a^2 + b^2$ (2)12

【分析】
(1) 先分别求出甲、乙两种纸片的面积，再相加即可得到面积和。甲是边长为a的正方形，乙是边长为b的正方形，分别根据正方形面积公式计算后求和。
(2) 拼接前后总面积不变，先计算已取的4块甲和9块乙的总面积，设需要x块丙纸片，丙是邻边长为a、b的长方形，面积为ab，因此所有纸片的总面积需为完全平方式（大正方形的面积是完全平方式），结合完全平方公式的结构特征求出x的值即可。
【解析】
(1) 甲纸片的面积为$a × a = a^2$，乙纸片的面积为$b × b = b^2$，各取1块的面积和为$a^2 + b^2$。
(2) 丙纸片的面积为$a × b = ab$。
4块甲纸片的总面积为$4a^2$，9块乙纸片的总面积为$9b^2$，设需要取丙纸片$x$块，则所有纸片的总面积为$4a^2 + 9b^2 + xab$。
因为拼接后是大正方形，所以总面积是完全平方式，根据完全平方和公式$(ma+nb)^2 = m^2a^2 + 2mnab + n^2b^2$，对比$4a^2 + 9b^2$可得：$m^2=4$，$n^2=9$，取正值得$m=2$，$n=3$，因此交叉项系数$2mn=2×2×3=12$，即$x=12$，故需要取丙纸片12块。
【答案】
(1)$a^2 + b^2$；(2)$12$
【知识点】
正方形面积计算，长方形面积计算，完全平方公式
【点评】
本题将图形拼接与整式公式相结合，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，结合完全平方公式的结构特征求解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

9.将下列各式分解因式：
(1)$4 - 12(y - x) + 9(x - y)^2$；
(2)$x^4y^4 - 8x^2y^2 + 16$。

(1)原式$=[3(y-x)-2]^2=(3y-3x-2)^2$。
(2)原式$=(x^2y^2-4)^2=(xy+2)^2(xy-2)^2$。

【分析】
(1) 先观察式子结构，注意到$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，平方后二者相等，因此可以将原式变形为含$(y-x)$的三项式，发现首项$4=2^2$，末项$9(y-x)^2=[3(y-x)]^2$，中间项是$-2×2×3(y-x)$，符合完全平方公式的结构特征，将$3(y-x)$和$2$看作整体套用公式即可，最后整理化简。
(2) 先观察式子是三项式，首项$x^4y^4=(x^2y^2)^2$，末项$16=4^2$，中间项是$-2× x^2y^2×4$，先套用完全平方公式分解，再观察分解后的因式$x^2y^2-4$符合平方差公式的结构，继续分解直到每个因式不能再分解为止。
【解析】
(1) 首先利用$(x-y)^2=(y-x)^2$对原式变形：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4 - 12(y-x) + 9(y-x)^2\\&=[3(y-x)]^2 - 2×3(y-x)×2 + 2^2\\&\mathrm{根据完全平方公式}a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这里a=3(y-x)，b=2\\&=[3(y-x)-2]^2\\&=(3y - 3x - 2)^2\end{aligned}$
(2) 先套用完全平方公式，再用平方差公式继续分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2y^2)^2 - 2× x^2y^2×4 + 4^2\\&\mathrm{由完全平方公式得：}\\&=(x^2y^2 - 4)^2\\&\mathrm{再对}x^2y^2-4\mathrm{用平方差公式}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{分解：}\\&=[(xy+2)(xy-2)]^2\\&=(xy+2)^2(xy-2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(3y - 3x - 2)^2$
(2)$(xy+2)^2(xy-2)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解，因式分解的彻底性
【点评】
这两道题是因式分解的常规题型，解题关键是先观察式子的结构特征，对式子合理变形后选择对应的公式进行分解，注意最终结果要分解到每一个整式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

10.阅读下列材料。
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如$x^2 - 2xy + y^2 - 16$。我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再运用平方差公式进行分解。
过程如下：$x^2 - 2xy + y^2 -16=(x-y)^2 -16=(x-y+4)(x-y-4)$。
这种因式分解的方法叫分组分解法。利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：$a^2 -6ab +9b^2 -36$；
(2)若$△ ABC$三边长$a,b,c$满足$a^2 + c^2 +2b^2 -2ab -2bc=0$，判断$△ ABC$的形状并说明理由。

解:(1)$a^2 -6ab +9b^2 -36=(a-3b)^2 -36$
$=(a-3b-6)(a-3b+6)$。
(2)$△ABC$是等边三角形。
理由:$∵a^2 + c^2 +2b^2 -2ab -2bc=0$,
$∴(a^2 -2ab +b^2)+(c^2 -2bc +b^2)=0$,
$∴(a-b)^2 +(b-c)^2=0$,
$∴a-b=0,且b-c=0$,
$∴a=b,且b=c$,
$∴a=b=c$,
$∴△ABC$是等边三角形。

【分析】
(1) 观察待分解的多项式，前三项$a^2 -6ab +9b^2$符合完全平方公式的结构特征，先对前三项分组用完全平方公式变形，得到$(a-3b)^2 - 36$，此时式子为两个数的平方差形式，再用平方差公式继续分解即可。
(2) 要判断$△ ABC$的形状，需先找到三边$a、b、c$的数量关系。观察等式左边的结构，可将$2b^2$拆分为两个$b^2$，分别和$a^2-2ab$、$c^2-2bc$分组，凑成两个完全平方式，再根据平方的非负性，两个非负数的和为0时每个非负数都为0，即可推出$a=b=c$，从而判断三角形形状。
【解析】
(1) 对$a^2 -6ab +9b^2 -36$进行因式分解：
将前三项结合，利用完全平方公式变形：
$a^2 -6ab +9b^2 -36=(a-3b)^2 - 36$
再利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$（其中$m=a-3b$，$n=6$）继续分解：
$(a-3b)^2 - 36=(a-3b+6)(a-3b-6)$
(2) $△ ABC$是等边三角形，理由如下：
已知$a^2 + c^2 +2b^2 -2ab -2bc=0$，将式子拆项分组：
$(a^2 -2ab +b^2)+(c^2 -2bc +b^2)=0$
分别对两组用完全平方公式变形：
$(a-b)^2 + (b-c)^2=0$
根据平方的非负性可知$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得：
$a-b=0$且$b-c=0$
即$a=b$，$b=c$，所以$a=b=c$，因此$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
(1) $(a-3b+6)(a-3b-6)$
(2) $△ ABC$是等边三角形
【知识点】
1. 分组分解法因式分解
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题核心考查分组分解法的应用，需要学生熟练掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，能根据式子的特点灵活拆项、合理分组，第二问结合非负性判断三角形形状，兼顾了对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7