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11.阅读下列材料。
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y)+1$。
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=m$，
则原式$=m^2+2m+1=(m+1)^2$。
再将$x+y=m$代入，
得原式$=(x+y+1)^2$。
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法。
请你解答下列问题：
(1)因式分解：$1+2(x-y)+(x-y)^2=$
(2)因式分解：$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$。
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y)+1$。
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=m$，
则原式$=m^2+2m+1=(m+1)^2$。
再将$x+y=m$代入，
得原式$=(x+y+1)^2$。
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法。
请你解答下列问题：
(1)因式分解：$1+2(x-y)+(x-y)^2=$
$(x-y+1)^2$
；(2)因式分解：$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$。
答案
解:(1)$1+2(x-y)+(x-y)^2$,
令$x-y=m$,
则原式$=m^2+2m+1=(m+1)^2=(x-y+1)^2$。
(2)$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$,
令$x-2=n$,
则原式$=9n^2-6n+1=(3n-1)^2=(3x-6-1)^2$
$=(3x-7)^2$。
令$x-y=m$,
则原式$=m^2+2m+1=(m+1)^2=(x-y+1)^2$。
(2)$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$,
令$x-2=n$,
则原式$=9n^2-6n+1=(3n-1)^2=(3x-6-1)^2$
$=(3x-7)^2$。
解析
【分析】
本题可利用整体思想结合完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：①先观察式子结构，找到重复出现的整式作为整体，可通过换元法简化式子；②判断简化后的式子是否符合完全平方公式的结构（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），套用公式完成因式分解；③将换元的整式代回，化简得到最终结果，注意检查结果是否还能继续分解。
【解析】
(1) 对$1+2(x-y)+(x-y)^2$因式分解：
令$x-y=m$，则原式可转化为$m^2+2m+1$，符合完全平方和公式，因此：
$m^2+2m+1=(m+1)^2$
再将$m=x-y$代回，得原式$=(x-y+1)^2$。
(2) 对$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$因式分解：
令$x-2=n$，则原式可转化为$9n^2-6n+1$，符合完全平方差公式，因此：
$9n^2-6n+1=(3n-1)^2$
再将$n=x-2$代回化简：
$(3(x-2)-1)^2=(3x-6-1)^2=(3x-7)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y+1)^2}$；(2) $\boldsymbol{(3x-7)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 换元法因式分解
3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是对整体思想的灵活运用，解题的关键是准确识别式子中的整体结构，通过换元将陌生的复杂式子转化为熟悉的完全平方形式，降低解题难度，最后代回整体时要注意化简彻底，保证因式分解的结果最简。
【难度系数】
0.8
本题可利用整体思想结合完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：①先观察式子结构，找到重复出现的整式作为整体，可通过换元法简化式子；②判断简化后的式子是否符合完全平方公式的结构（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），套用公式完成因式分解；③将换元的整式代回，化简得到最终结果，注意检查结果是否还能继续分解。
【解析】
(1) 对$1+2(x-y)+(x-y)^2$因式分解：
令$x-y=m$，则原式可转化为$m^2+2m+1$，符合完全平方和公式，因此：
$m^2+2m+1=(m+1)^2$
再将$m=x-y$代回，得原式$=(x-y+1)^2$。
(2) 对$9(x-2)^2 -6(x-2)+1$因式分解：
令$x-2=n$，则原式可转化为$9n^2-6n+1$，符合完全平方差公式，因此：
$9n^2-6n+1=(3n-1)^2$
再将$n=x-2$代回化简：
$(3(x-2)-1)^2=(3x-6-1)^2=(3x-7)^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-y+1)^2}$；(2) $\boldsymbol{(3x-7)^2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 换元法因式分解
3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是对整体思想的灵活运用，解题的关键是准确识别式子中的整体结构，通过换元将陌生的复杂式子转化为熟悉的完全平方形式，降低解题难度，最后代回整体时要注意化简彻底，保证因式分解的结果最简。
【难度系数】
0.8
