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1. 下列计算结果是负数的是(
A.$(-3)×4×(-5)$
B.$(-3)×4×0$
C.$(-3)×4×(-5)×(-1)$
D.$3×(-4)×(-5)$
C
).A.$(-3)×4×(-5)$
B.$(-3)×4×0$
C.$(-3)×4×(-5)×(-1)$
D.$3×(-4)×(-5)$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆多个有理数相乘的符号判定规则：①若相乘的因数中含有0，则乘积为0，0既不是正数也不是负数；②若所有因数都不为0，乘积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为奇数时乘积为负，负因数个数为偶数时乘积为正。接下来我们逐个分析四个选项，判断每个选项结果的正负即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $(-3)×4×(-5)$中共有2个负因数，负因数个数是偶数，且不含因数0，因此乘积为正数，计算得$(-3)×4×(-5)=60＞0$，不符合要求；
B. $(-3)×4×0$中含有因数0，因此乘积为0，0既不是正数也不是负数，不符合要求；
C. $(-3)×4×(-5)×(-1)$中共有3个负因数，负因数个数是奇数，且不含因数0，因此乘积为负数，计算得$(-3)×4×(-5)×(-1)=-60＜0$，符合要求；
D. $3×(-4)×(-5)$中共有2个负因数，负因数个数是偶数，且不含因数0，因此乘积为正数，计算得$3×(-4)×(-5)=60＞0$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则；多个有理数相乘的符号判定
【点评】
本题重点考查多个有理数相乘时积的正负判断，解题核心是牢记符号判定规则，准确统计负因数的个数，同时不要忽略因数为0的特殊情况，属于基础题型，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆多个有理数相乘的符号判定规则：①若相乘的因数中含有0，则乘积为0，0既不是正数也不是负数；②若所有因数都不为0，乘积的符号由负因数的个数决定：负因数个数为奇数时乘积为负，负因数个数为偶数时乘积为正。接下来我们逐个分析四个选项，判断每个选项结果的正负即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. $(-3)×4×(-5)$中共有2个负因数，负因数个数是偶数，且不含因数0，因此乘积为正数，计算得$(-3)×4×(-5)=60＞0$，不符合要求；
B. $(-3)×4×0$中含有因数0，因此乘积为0，0既不是正数也不是负数，不符合要求；
C. $(-3)×4×(-5)×(-1)$中共有3个负因数，负因数个数是奇数，且不含因数0，因此乘积为负数，计算得$(-3)×4×(-5)×(-1)=-60＜0$，符合要求；
D. $3×(-4)×(-5)$中共有2个负因数，负因数个数是偶数，且不含因数0，因此乘积为正数，计算得$3×(-4)×(-5)=60＞0$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘法法则；多个有理数相乘的符号判定
【点评】
本题重点考查多个有理数相乘时积的正负判断，解题核心是牢记符号判定规则，准确统计负因数的个数，同时不要忽略因数为0的特殊情况，属于基础题型，掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 观察算式$(-4)×\frac{1}{7}×(-25)×28$，在解题过程中，简化计算需用到的运算律是(
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.乘法对加法的分配律
C
).A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.乘法对加法的分配律
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先观察算式中各因数的特征，发现-4与-25相乘可得整百数，$\frac{1}{7}$与28相乘可得整数，能大幅简化计算。要实现简便计算，首先需要交换$\frac{1}{7}$和-25的位置，这一步用到乘法交换律；再将能凑整的两组因数分别结合起来优先计算，这一步用到乘法结合律，据此即可选出正确选项。
【解析】
我们可以对算式进行简便变形：
$\begin{aligned}(-4)×\frac{1}{7}×(-25)×28&= [(-4)×(-25)] × (\frac{1}{7}×28) \quad \mathrm{①}\\&=100×4\\&=400\end{aligned}$
步骤①中，首先交换了$\frac{1}{7}$和-25的位置，符合乘法交换律$a×b=b×a$；随后将$(-4)$与$(-25)$、$\frac{1}{7}$与28分别加括号优先计算，符合乘法结合律$(a×b)×c=a×(b×c)$，因此解题过程用到了乘法交换律和结合律。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；有理数简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的应用，核心是要先观察因数的特点，找到可以凑整的因数组合，再灵活选用合适的运算律简化计算，是运算类的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察算式中各因数的特征，发现-4与-25相乘可得整百数，$\frac{1}{7}$与28相乘可得整数，能大幅简化计算。要实现简便计算，首先需要交换$\frac{1}{7}$和-25的位置，这一步用到乘法交换律；再将能凑整的两组因数分别结合起来优先计算，这一步用到乘法结合律，据此即可选出正确选项。
【解析】
我们可以对算式进行简便变形：
$\begin{aligned}(-4)×\frac{1}{7}×(-25)×28&= [(-4)×(-25)] × (\frac{1}{7}×28) \quad \mathrm{①}\\&=100×4\\&=400\end{aligned}$
步骤①中，首先交换了$\frac{1}{7}$和-25的位置，符合乘法交换律$a×b=b×a$；随后将$(-4)$与$(-25)$、$\frac{1}{7}$与28分别加括号优先计算，符合乘法结合律$(a×b)×c=a×(b×c)$，因此解题过程用到了乘法交换律和结合律。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；有理数简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算律的应用，核心是要先观察因数的特点，找到可以凑整的因数组合，再灵活选用合适的运算律简化计算，是运算类的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 若−1，8，a 的积是一个负数，则a 的值可以是(
A.−15
B.−2
C.0
D.15
D
).A.−15
B.−2
C.0
D.15
答案
3. D
解析
【分析】
首先回忆有理数乘法的相关规则：多个有理数相乘时，若有因数为0，则乘积为0；若所有因数都不为0，乘积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正。本题已知三个数的乘积是负数，首先可排除乘积为0的情况，再根据负因数的个数要求判断a的符号，最后对应选项选出符合要求的答案即可。
【解析】
解：根据有理数乘法规则逐步分析：
1. 三个数的乘积为负数，说明乘积不为0，因此a≠0，先排除选项C；
2. 已知前两个因数为-1和8，其中负因数只有1个（奇数），要使三个数乘积为负，负因数总个数需为奇数，因此a不能为负数（若a为负，负因数总个数变为2，是偶数，乘积为正），即a必须为正数；
3. 观察选项，只有D选项的15是正数，符合要求。
也可通过计算验证：先算前两个数的乘积$\boldsymbol{-1×8=-8}$，由题意得$-8× a＜0$，不等式两边同时除以-8，不等号方向改变，得$a＞0$，只有15满足条件。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查有理数乘法中积的符号判断，解题的核心是掌握多个非零有理数相乘时，积的符号与负因数个数的关系，只要理清符号规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆有理数乘法的相关规则：多个有理数相乘时，若有因数为0，则乘积为0；若所有因数都不为0，乘积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时乘积为负，为偶数时乘积为正。本题已知三个数的乘积是负数，首先可排除乘积为0的情况，再根据负因数的个数要求判断a的符号，最后对应选项选出符合要求的答案即可。
【解析】
解：根据有理数乘法规则逐步分析：
1. 三个数的乘积为负数，说明乘积不为0，因此a≠0，先排除选项C；
2. 已知前两个因数为-1和8，其中负因数只有1个（奇数），要使三个数乘积为负，负因数总个数需为奇数，因此a不能为负数（若a为负，负因数总个数变为2，是偶数，乘积为正），即a必须为正数；
3. 观察选项，只有D选项的15是正数，符合要求。
也可通过计算验证：先算前两个数的乘积$\boldsymbol{-1×8=-8}$，由题意得$-8× a＜0$，不等式两边同时除以-8，不等号方向改变，得$a＞0$，只有15满足条件。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则、不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查有理数乘法中积的符号判断，解题的核心是掌握多个非零有理数相乘时，积的符号与负因数个数的关系，只要理清符号规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 计算：(1) $(-8) × (-25) × (-4) =$
(2) $(1 - 2) × (2 - 3) × \dots × (2022 - 2023) × (2023 - 2024) =$
(3) $(-6) × (-\dfrac{1}{2}) × (-0.5) × (-4) =$
-800
；(2) $(1 - 2) × (2 - 3) × \dots × (2022 - 2023) × (2023 - 2024) =$
-1
；(3) $(-6) × (-\dfrac{1}{2}) × (-0.5) × (-4) =$
6
。答案
4. (1) -800 (2) -1 (3) 6
解析
【分析】
这三道题均属于有理数连乘类计算题，解题通用思路为：①先判断积的符号：根据有理数乘法法则，多个非0有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正；②再计算所有因数绝对值的乘积，计算时可灵活运用乘法结合律凑整简化运算。
针对每道小题的具体思考方向：(1)观察发现后两个因数25和4相乘可得整百，优先用乘法结合律先算后两个数的积，再与第一个数计算；(2)先计算每个括号内的减法，可得每个括号的结果均为-1，只需数清-1的总个数，再根据符号规则判断结果即可；(3)可将因数两两分组凑整，快速算出绝对值的乘积。
【解析】
(1) 原式共有3个负因数，负因数个数为奇数，积为负，利用乘法结合律计算：
$\begin{aligned}(-8)×(-25)×(-4)&=-(8×25×4)\\&=-(8×(25×4))\\&=-(8×100)\\&=-800\end{aligned}$
(2) 先计算每个括号内的减法：$1-2=-1$，$2-3=-1$，……，$2023-2024=-1$，从$(1-2)$到$(2023-2024)$共有2023个因式，即有2023个-1相乘：
$\begin{aligned}原式&=\underbrace{(-1)×(-1)×\dots×(-1)}_{2023个-1}\\&=(-1)^{2023}\\&=-1\end{aligned}$
(3) 原式共有4个负因数，负因数个数为偶数，积为正，利用乘法结合律分组计算：
$\begin{aligned}(-6)×(-\dfrac{1}{2})×(-0.5)×(-4)&=6×\dfrac{1}{2}×0.5×4\\&=(6×0.5)×(\dfrac{1}{2}×4)\\&=3×2\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-800}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
有理数乘法法则，乘法结合律，有理数减法运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查连乘运算的符号判断能力和简便运算技巧，熟练掌握“先定符号，再算绝对值”的运算顺序，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于有理数连乘类计算题，解题通用思路为：①先判断积的符号：根据有理数乘法法则，多个非0有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正；②再计算所有因数绝对值的乘积，计算时可灵活运用乘法结合律凑整简化运算。
针对每道小题的具体思考方向：(1)观察发现后两个因数25和4相乘可得整百，优先用乘法结合律先算后两个数的积，再与第一个数计算；(2)先计算每个括号内的减法，可得每个括号的结果均为-1，只需数清-1的总个数，再根据符号规则判断结果即可；(3)可将因数两两分组凑整，快速算出绝对值的乘积。
【解析】
(1) 原式共有3个负因数，负因数个数为奇数，积为负，利用乘法结合律计算：
$\begin{aligned}(-8)×(-25)×(-4)&=-(8×25×4)\\&=-(8×(25×4))\\&=-(8×100)\\&=-800\end{aligned}$
(2) 先计算每个括号内的减法：$1-2=-1$，$2-3=-1$，……，$2023-2024=-1$，从$(1-2)$到$(2023-2024)$共有2023个因式，即有2023个-1相乘：
$\begin{aligned}原式&=\underbrace{(-1)×(-1)×\dots×(-1)}_{2023个-1}\\&=(-1)^{2023}\\&=-1\end{aligned}$
(3) 原式共有4个负因数，负因数个数为偶数，积为正，利用乘法结合律分组计算：
$\begin{aligned}(-6)×(-\dfrac{1}{2})×(-0.5)×(-4)&=6×\dfrac{1}{2}×0.5×4\\&=(6×0.5)×(\dfrac{1}{2}×4)\\&=3×2\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-800}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
有理数乘法法则，乘法结合律，有理数减法运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查连乘运算的符号判断能力和简便运算技巧，熟练掌握“先定符号，再算绝对值”的运算顺序，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.8
5. 有三个互不相等的整数$a$，$b$，$c$，如果$abc=3$，那么$a+b+c=$
-3
.答案
5. -3
解析
【分析】
解题时先从乘积为3入手，先列出3的所有整数因数：±1、±3；再根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，积为正说明负因数个数是偶数个，也就是0个或2个；分别对两种情况讨论，筛选出符合“互不相等的整数”条件的组合，最后计算三个数的和即可。
【解析】
第一步：确定3的所有整数因数为：$\pm1$，$\pm3$。
第二步：根据$abc=3＞0$，结合有理数乘法符号法则，可知三个数中负因数的个数为0个或2个：
① 若负因数个数为0（三个数均为正数）：三个正整数乘积为3，只能是1、1、3，存在相等的数，不符合“互不相等”的条件，舍去；
② 若负因数个数为2（两个负数，一个正数）：尝试组合可得三个数为$-3$、$-1$、$1$，验证乘积：$(-3)×(-1)×1=3$，满足乘积为3，且三个数互不相等，符合要求。
第三步：计算三个数的和：$a+b+c=-3+(-1)+1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法；整数因数
【点评】
本题核心是结合乘积的正负性缩小数字范围，再通过枚举法筛选符合条件的整数组合，解题时容易遗漏负数的情况，要注意考虑全面。
【难度系数】
0.6
解题时先从乘积为3入手，先列出3的所有整数因数：±1、±3；再根据有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，积为正说明负因数个数是偶数个，也就是0个或2个；分别对两种情况讨论，筛选出符合“互不相等的整数”条件的组合，最后计算三个数的和即可。
【解析】
第一步：确定3的所有整数因数为：$\pm1$，$\pm3$。
第二步：根据$abc=3＞0$，结合有理数乘法符号法则，可知三个数中负因数的个数为0个或2个：
① 若负因数个数为0（三个数均为正数）：三个正整数乘积为3，只能是1、1、3，存在相等的数，不符合“互不相等”的条件，舍去；
② 若负因数个数为2（两个负数，一个正数）：尝试组合可得三个数为$-3$、$-1$、$1$，验证乘积：$(-3)×(-1)×1=3$，满足乘积为3，且三个数互不相等，符合要求。
第三步：计算三个数的和：$a+b+c=-3+(-1)+1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
有理数乘法法则；有理数加法；整数因数
【点评】
本题核心是结合乘积的正负性缩小数字范围，再通过枚举法筛选符合条件的整数组合，解题时容易遗漏负数的情况，要注意考虑全面。
【难度系数】
0.6
6. 四个互不相等的整数的积为4，那么这四个数的和是
0
。答案
6. 0
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确乘积为4的四个整数必然都是4的整数因数，先列出4的所有整数因数；再结合“四个数互不相等”的条件排除不符合的因数：如果选±4，剩余3个数的乘积需要是±1，无法找到3个不同的整数满足该要求，因此排除±4；剩下的±1、±2刚好是4个互不相等的整数，验证乘积符合条件后，最后计算四个数的和即可。
【解析】
解：
∵四个互不相等的整数的积为4，
∴这四个数都是4的整数因数，4的整数因数有-4、-2、-1、1、2、4。
若四个数包含±4，剩余3个互不相等的整数的乘积为±1，无法找到3个不同整数满足该要求，因此排除±4。
剩余因数为-2、-1、1、2，验证乘积：$(-2)×(-1)×1×2=4$，符合题意。
计算四个数的和：$(-2)+(-1)+1+2=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘法；有理数的加法；整数的因数
【点评】
本题需要结合有理数乘法的符号规律和整数的性质筛选符合条件的数，解题时注意不要遗漏负因数，同时要保证四个数互不相等。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确乘积为4的四个整数必然都是4的整数因数，先列出4的所有整数因数；再结合“四个数互不相等”的条件排除不符合的因数：如果选±4，剩余3个数的乘积需要是±1，无法找到3个不同的整数满足该要求，因此排除±4；剩下的±1、±2刚好是4个互不相等的整数，验证乘积符合条件后，最后计算四个数的和即可。
【解析】
解：
∵四个互不相等的整数的积为4，
∴这四个数都是4的整数因数，4的整数因数有-4、-2、-1、1、2、4。
若四个数包含±4，剩余3个互不相等的整数的乘积为±1，无法找到3个不同整数满足该要求，因此排除±4。
剩余因数为-2、-1、1、2，验证乘积：$(-2)×(-1)×1×2=4$，符合题意。
计算四个数的和：$(-2)+(-1)+1+2=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘法；有理数的加法；整数的因数
【点评】
本题需要结合有理数乘法的符号规律和整数的性质筛选符合条件的数，解题时注意不要遗漏负因数，同时要保证四个数互不相等。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 计算：
(1) $(-0.25) × (-\frac{1}{6}) × (-4)$；
(2) $25 × \frac{3}{4} × (-4) × (-\frac{4}{3})$；
(3) $25 × (-0.125) × (-4) × (-\frac{4}{5}) × (-8) × 1\frac{1}{4}$；
(4) $(-\frac{7}{8}) × (-15) × \frac{8}{7} × 0 × (-\frac{4}{21})$；
7. 计算：
(1) $(-0.25) × (-\frac{1}{6}) × (-4)$；
(2) $25 × \frac{3}{4} × (-4) × (-\frac{4}{3})$；
(3) $25 × (-0.125) × (-4) × (-\frac{4}{5}) × (-8) × 1\frac{1}{4}$；
(4) $(-\frac{7}{8}) × (-15) × \frac{8}{7} × 0 × (-\frac{4}{21})$；
答案
7. (1) $-\frac{1}{6}$ (2) 100 (3) 100 (4) 0
解析
【分析】
这几道题均为有理数连乘运算，解题思路如下：①首先观察算式中是否存在因数0，若有则直接得到结果为0；②无因数0时，先统计负因数的个数：负因数个数为奇数，乘积为负；负因数个数为偶数，乘积为正，先确定最终结果的符号；③利用乘法交换律、结合律，将能凑整、互为倒数的数优先结合计算，简化绝对值的运算过程即可。
【解析】
(1) 算式共3个负因数，结果为负，利用交换律将0.25与4结合计算：
原式$=-(0.25×4×\frac{1}{6})$
$=-(1×\frac{1}{6})$
$=-\frac{1}{6}$
(2) 算式共2个负因数，结果为正，将互为倒数的$\frac{3}{4}$和$\frac{4}{3}$结合、能凑整的25和4结合计算：
原式$=+(25×4×(\frac{3}{4}×\frac{4}{3}))$
$=100×1$
$=100$
(3) 先将带分数$1\frac{1}{4}$化为$\frac{5}{4}$，算式共4个负因数，结果为正，分组凑整、结合倒数计算：
原式$=+(25×4×0.125×8×\frac{4}{5}×\frac{5}{4})$
$=(25×4)×(0.125×8)×(\frac{4}{5}×\frac{5}{4})$
$=100×1×1$
$=100$
(4) 算式中含有因数0，根据“任何数与0相乘都得0”，直接得结果：
原式$=0$
【答案】
(1) $-\frac{1}{6}$；(2) $100$；(3) $100$；(4) $0$
【知识点】
有理数乘法，乘法运算律，零乘任何数得0
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心是先判断是否含0，再确定符号，最后用运算律简化计算，注意不要在符号判断上出错，熟练运用凑整、结合倒数的技巧可以提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
这几道题均为有理数连乘运算，解题思路如下：①首先观察算式中是否存在因数0，若有则直接得到结果为0；②无因数0时，先统计负因数的个数：负因数个数为奇数，乘积为负；负因数个数为偶数，乘积为正，先确定最终结果的符号；③利用乘法交换律、结合律，将能凑整、互为倒数的数优先结合计算，简化绝对值的运算过程即可。
【解析】
(1) 算式共3个负因数，结果为负，利用交换律将0.25与4结合计算：
原式$=-(0.25×4×\frac{1}{6})$
$=-(1×\frac{1}{6})$
$=-\frac{1}{6}$
(2) 算式共2个负因数，结果为正，将互为倒数的$\frac{3}{4}$和$\frac{4}{3}$结合、能凑整的25和4结合计算：
原式$=+(25×4×(\frac{3}{4}×\frac{4}{3}))$
$=100×1$
$=100$
(3) 先将带分数$1\frac{1}{4}$化为$\frac{5}{4}$，算式共4个负因数，结果为正，分组凑整、结合倒数计算：
原式$=+(25×4×0.125×8×\frac{4}{5}×\frac{5}{4})$
$=(25×4)×(0.125×8)×(\frac{4}{5}×\frac{5}{4})$
$=100×1×1$
$=100$
(4) 算式中含有因数0，根据“任何数与0相乘都得0”，直接得结果：
原式$=0$
【答案】
(1) $-\frac{1}{6}$；(2) $100$；(3) $100$；(4) $0$
【知识点】
有理数乘法，乘法运算律，零乘任何数得0
【点评】
本题是有理数乘法的基础运算题，核心是先判断是否含0，再确定符号，最后用运算律简化计算，注意不要在符号判断上出错，熟练运用凑整、结合倒数的技巧可以提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.85
