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1. 若分式$\frac{x+3}{x^2 -9}$有意义，则$x$应满足的条件是（
A.$x≠3$
B.$x≠-3$
C.$x≠3$且$x≠-3$
D.$x≠0$
C
）A.$x≠3$
B.$x≠-3$
C.$x≠3$且$x≠-3$
D.$x≠0$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式有意义的核心判定条件：分式的分母不能为0。解题时按以下思路推进：第一步找到该分式的分母，第二步令分母不等于0，第三步求解对应的不等式，得到x需要排除的所有取值即可。注意分母是二次多项式，要把所有让分母为0的x值都排除，避免漏解。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0。
本题中分式的分母为$x^2-9$，因此需满足：
$x^2 - 9 ≠ 0$
利用平方差公式因式分解得：
$(x+3)(x-3) ≠ 0$
即$x+3 ≠ 0$且$x-3 ≠ 0$，
解得$x ≠ -3$且$x ≠ 3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式；解不等式
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0，处理二次形式的分母时，要注意将所有使分母为0的取值全部排除，不要提前约分化简，避免漏看隐藏的取值限制而出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确分式有意义的核心判定条件：分式的分母不能为0。解题时按以下思路推进：第一步找到该分式的分母，第二步令分母不等于0，第三步求解对应的不等式，得到x需要排除的所有取值即可。注意分母是二次多项式，要把所有让分母为0的x值都排除，避免漏解。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不为0。
本题中分式的分母为$x^2-9$，因此需满足：
$x^2 - 9 ≠ 0$
利用平方差公式因式分解得：
$(x+3)(x-3) ≠ 0$
即$x+3 ≠ 0$且$x-3 ≠ 0$，
解得$x ≠ -3$且$x ≠ 3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式；解不等式
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0，处理二次形式的分母时，要注意将所有使分母为0的取值全部排除，不要提前约分化简，避免漏看隐藏的取值限制而出错。
【难度系数】
0.7
2. 若分式$\frac{(x+1)(x-2)}{x^2 - 4x + 4}$的值为零，则$x$的值为（
A.$-1$
B.$2$
C.$2$或$-1$
D.$1$
A
）A.$-1$
B.$2$
C.$2$或$-1$
D.$1$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先求解分子为0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，剩下的就是正确答案。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足分子为0，且分母不为0。
1. 求解分子为0时的x值：
令$(x+1)(x-2)=0$
则$x+1=0$或$x-2=0$，解得$x=-1$或$x=2$。
2. 验证分母不为0的限制：
分母$x^2-4x+4$可因式分解为$(x-2)^2$，若分式有意义，则分母不能为0，即$(x-2)^2≠0$，解得$x≠2$。
3. 综合两个条件，舍去不符合要求的$x=2$，因此$x=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式概念部分的基础常考题，易错点是解题时忽略分母不能为0的限制，直接取分子为0的解导致错选。解题时要牢记分式相关的限制条件，求出解后注意验证分母是否有意义。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先求解分子为0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除会让分母为0的x值，剩下的就是正确答案。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足分子为0，且分母不为0。
1. 求解分子为0时的x值：
令$(x+1)(x-2)=0$
则$x+1=0$或$x-2=0$，解得$x=-1$或$x=2$。
2. 验证分母不为0的限制：
分母$x^2-4x+4$可因式分解为$(x-2)^2$，若分式有意义，则分母不能为0，即$(x-2)^2≠0$，解得$x≠2$。
3. 综合两个条件，舍去不符合要求的$x=2$，因此$x=-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式概念部分的基础常考题，易错点是解题时忽略分母不能为0的限制，直接取分子为0的解导致错选。解题时要牢记分式相关的限制条件，求出解后注意验证分母是否有意义。
【难度系数】
0.7
例1 已知分式$\frac{x+1}{x^2 - x}$，从1，0，-1中选择一个合适的x的值代入求值。
答案
要使分式$\frac{x+1}{x^2 - x}$有意义，则$x^2 - x ≠ 0$，解得$x ≠ 0$且$x ≠ 1$。
∴当$x=-1$时，$\frac{x+1}{x^2 - x}=0$。
∴当$x=-1$时，$\frac{x+1}{x^2 - x}=0$。
解析
【分析】
解决这类分式代入求值问题，首先要牢记分式有意义的核心前提是分母不为0，不能直接任选给出的数值代入。解题思路分为三步：第一步先根据分母不等于0求出x的禁止取值；第二步从给定的3个数值中排除掉禁止取值，选出符合要求的x；第三步将符合要求的x代入分式计算结果即可。
【解析】
要使分式$\frac{x+1}{x^2 - x}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x^2 - x ≠ 0$
对左边因式分解得：$x(x-1)≠0$
解得：$x≠0$且$x≠1$
结合给定的可选值1、0、-1，仅$x=-1$符合取值要求。
将$x=-1$代入分式计算：
$\frac{x+1}{x^2 - x}=\frac{-1+1}{(-1)^2 - (-1)}=\frac{0}{2}=0$
【答案】
当$x=-1$时，分式的值为$\boldsymbol{0}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式代入求值；因式分解的应用
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接选取x=1或x=0代入导致错误，解题时需养成先确定自变量取值范围、再代入计算的习惯，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.7
解决这类分式代入求值问题，首先要牢记分式有意义的核心前提是分母不为0，不能直接任选给出的数值代入。解题思路分为三步：第一步先根据分母不等于0求出x的禁止取值；第二步从给定的3个数值中排除掉禁止取值，选出符合要求的x；第三步将符合要求的x代入分式计算结果即可。
【解析】
要使分式$\frac{x+1}{x^2 - x}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x^2 - x ≠ 0$
对左边因式分解得：$x(x-1)≠0$
解得：$x≠0$且$x≠1$
结合给定的可选值1、0、-1，仅$x=-1$符合取值要求。
将$x=-1$代入分式计算：
$\frac{x+1}{x^2 - x}=\frac{-1+1}{(-1)^2 - (-1)}=\frac{0}{2}=0$
【答案】
当$x=-1$时，分式的值为$\boldsymbol{0}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式代入求值；因式分解的应用
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接选取x=1或x=0代入导致错误，解题时需养成先确定自变量取值范围、再代入计算的习惯，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.7
例2 某市对一段全长为1 500 m的道路进行改造。原计划每天修x m，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修的路比原计划的2倍还多30 m。
(1)用代数式表示修这段路实际用的天数，并判断所列出的代数式是整式还是分式；
(2)若$x=135$，则实际修完这段路用了多少天？
(1)用代数式表示修这段路实际用的天数，并判断所列出的代数式是整式还是分式；
(2)若$x=135$，则实际修完这段路用了多少天？
答案
(1) 实际用的天数为$\frac{1500}{2x+30}$，它是分式。
(2) 实际修完这段路用了5天。
(2) 实际修完这段路用了5天。
解析
【分析】
(1) 解决第一问先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先推导实际工作效率：原计划每天修x m，实际每天修的是原计划的2倍多30 m，因此实际每天修(2x+30)m，工作总量为1500 m，代入数量关系即可得到实际用时的代数式。再根据整式、分式的定义判断类型：分母含字母的代数式是分式，分母不含字母的是整式，观察代数式的分母是否含字母即可判定。
(2) 第二问是代数式求值问题，直接将x=135代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知道路全长1500 m，实际每天修路长度为$(2x+30)\mathrm{m}$，根据工作时间的计算公式可得：
实际用时为$\frac{1500}{2x+30}$。
该代数式的分母含有字母x，符合分式的定义，因此它是分式。
(2) 当$x=135$时，将其代入$\frac{1500}{2x+30}$计算：
$\frac{1500}{2×135+30}=\frac{1500}{270+30}=\frac{1500}{300}=5$（天）
【答案】
(1) 实际用的天数为$\frac{1500}{2x+30}$，它是分式；
(2) 实际修完这段路用了5天。
【知识点】
列代数式；分式的定义；分式求值
【点评】
本题结合实际施工场景命题，考查工程问题数量关系的应用、分式的判定及代入求值能力，解题关键是找准工作效率、工作总量、工作时间三者的关系，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问先回忆工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先推导实际工作效率：原计划每天修x m，实际每天修的是原计划的2倍多30 m，因此实际每天修(2x+30)m，工作总量为1500 m，代入数量关系即可得到实际用时的代数式。再根据整式、分式的定义判断类型：分母含字母的代数式是分式，分母不含字母的是整式，观察代数式的分母是否含字母即可判定。
(2) 第二问是代数式求值问题，直接将x=135代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知道路全长1500 m，实际每天修路长度为$(2x+30)\mathrm{m}$，根据工作时间的计算公式可得：
实际用时为$\frac{1500}{2x+30}$。
该代数式的分母含有字母x，符合分式的定义，因此它是分式。
(2) 当$x=135$时，将其代入$\frac{1500}{2x+30}$计算：
$\frac{1500}{2×135+30}=\frac{1500}{270+30}=\frac{1500}{300}=5$（天）
【答案】
(1) 实际用的天数为$\frac{1500}{2x+30}$，它是分式；
(2) 实际修完这段路用了5天。
【知识点】
列代数式；分式的定义；分式求值
【点评】
本题结合实际施工场景命题，考查工程问题数量关系的应用、分式的判定及代入求值能力，解题关键是找准工作效率、工作总量、工作时间三者的关系，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
1. 当$x=1$时，分式$\frac{x}{x-2}$的值是
-1
。答案
1. -1
解析
【分析】
要计算给定x值时分式的值，首先需要判断此时分式是否有意义，即分母不为0，若有意义，再将x的取值分别代入分式的分子和分母，最后计算出结果即可。
【解析】
第一步，验证分式有意义：当$x=1$时，分母$x-2=1-2=-1≠0$，因此该分式此时有意义，可以代入求值。
第二步，代入计算：将$x=1$代入分式$\frac{x}{x-2}$中，可得$\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
分式求值；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础类题目，考查分式求值的基本方法，解题时需先判断分母是否为0，确认分式有意义后再代入计算，是分式章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
要计算给定x值时分式的值，首先需要判断此时分式是否有意义，即分母不为0，若有意义，再将x的取值分别代入分式的分子和分母，最后计算出结果即可。
【解析】
第一步，验证分式有意义：当$x=1$时，分母$x-2=1-2=-1≠0$，因此该分式此时有意义，可以代入求值。
第二步，代入计算：将$x=1$代入分式$\frac{x}{x-2}$中，可得$\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
分式求值；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础类题目，考查分式求值的基本方法，解题时需先判断分母是否为0，确认分式有意义后再代入计算，是分式章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 当$a=2+\sqrt{3}$时，求分式$\frac{9}{a^2 -4a +4}$的值。
答案
解：$\because a=2+\sqrt{3}$,
$\therefore \frac{9}{a^2 -4a +4}=\frac{9}{(a-2)^2}=\frac{9}{(2+\sqrt{3}-2)^2}=3$。
$\therefore \frac{9}{a^2 -4a +4}=\frac{9}{(a-2)^2}=\frac{9}{(2+\sqrt{3}-2)^2}=3$。
解析
【分析】
遇到此类分式代入求值问题，优先观察分式结构尝试化简，避免直接代入复杂的含根号的数值计算出错。本题中分式的分母是二次三项式，符合完全平方公式的形式，可先将分母因式分解为$(a-2)^2$，再代入$a$的数值计算，此时$a-2$可消去整数项，仅保留根号项，计算更简便。
【解析】
解：$\because a=2+\sqrt{3}$，
$\therefore$ 先对分式分母因式分解：$a^2 -4a +4=(a-2)^2$，
$\therefore$ 原式$=\frac{9}{(a-2)^2}$，
代入$a=2+\sqrt{3}$可得：
$\frac{9}{(2+\sqrt{3}-2)^2}=\frac{9}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9}{3}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
完全平方公式因式分解；二次根式运算；分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式化简求值的技巧，先化简再代入的方法可大幅降低运算量，减少出错概率，要求熟练掌握常见因式分解公式的应用，以及二次根式的基本运算规则。
【难度系数】
0.8
遇到此类分式代入求值问题，优先观察分式结构尝试化简，避免直接代入复杂的含根号的数值计算出错。本题中分式的分母是二次三项式，符合完全平方公式的形式，可先将分母因式分解为$(a-2)^2$，再代入$a$的数值计算，此时$a-2$可消去整数项，仅保留根号项，计算更简便。
【解析】
解：$\because a=2+\sqrt{3}$，
$\therefore$ 先对分式分母因式分解：$a^2 -4a +4=(a-2)^2$，
$\therefore$ 原式$=\frac{9}{(a-2)^2}$，
代入$a=2+\sqrt{3}$可得：
$\frac{9}{(2+\sqrt{3}-2)^2}=\frac{9}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9}{3}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
完全平方公式因式分解；二次根式运算；分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式化简求值的技巧，先化简再代入的方法可大幅降低运算量，减少出错概率，要求熟练掌握常见因式分解公式的应用，以及二次根式的基本运算规则。
【难度系数】
0.8
