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完成下面的填空:
(1)若小明 $ t $ h 走了 $ s $ km 的路,则小明的速度是
(2)$ a $ kg 盐溶于 $ b $ kg 水,所得盐水的含盐量是
(3)某食堂有煤 $ m $ t,原计划每天烧煤 $ a $ t,现每天节约用煤 $ b(b＜a) $t,则这批煤可烧
(4)一辆货车送货上山,往返山路总长为 36 km,货车上山用时 $ x $ h,下山用时 $ y $ h,则该货车的平均速度为
(5)小明参加打靶比赛,有 $ a $ 次打了 $ m $ 环,$ b $ 次打了 $ n $ 环,则此次打靶的平均成绩是
(6)一箱苹果售价 $ p $ 元,总重 $ m $ kg,箱重 $ n $ kg,则每千克苹果的售价是
问题探究: 上述代数式的共同特征是什么?它们与整式的区别是什么?
新知生成:一般地,用 $ A,B $ 表示两个整式,
$ A ÷ B $ 可以表示成$\frac{A}{B}$的形式。如果 $ B $ 中含有
(1)若小明 $ t $ h 走了 $ s $ km 的路,则小明的速度是
$\frac{s}{t}$
km/h;(2)$ a $ kg 盐溶于 $ b $ kg 水,所得盐水的含盐量是
$\frac{a}{a+b}$
;(3)某食堂有煤 $ m $ t,原计划每天烧煤 $ a $ t,现每天节约用煤 $ b(b＜a) $t,则这批煤可烧
$\frac{m}{a-b}$
天;(4)一辆货车送货上山,往返山路总长为 36 km,货车上山用时 $ x $ h,下山用时 $ y $ h,则该货车的平均速度为
$\frac{36}{x+y}$
km/h;(5)小明参加打靶比赛,有 $ a $ 次打了 $ m $ 环,$ b $ 次打了 $ n $ 环,则此次打靶的平均成绩是
$\frac{am+bn}{a+b}$
环;(6)一箱苹果售价 $ p $ 元,总重 $ m $ kg,箱重 $ n $ kg,则每千克苹果的售价是
$\frac{p}{m-n}$
元。问题探究: 上述代数式的共同特征是什么?它们与整式的区别是什么?
新知生成:一般地,用 $ A,B $ 表示两个整式,
$ A ÷ B $ 可以表示成$\frac{A}{B}$的形式。如果 $ B $ 中含有
字母
,那么称$\frac{A}{B}$为分式,其中 $ A $ 称为分式的分子,$ B $ 称为分式的分母。对于任意一个分式,分母都不能为 零
。答案
这些代数式中都含有分母，且分母中都含有字母。它们与整式的区别是整式的分母中不含有字母。
解析
【分析】
首先结合常见数量关系，逐个计算6个小问对应的代数式：①速度=路程÷时间；②含盐量=盐的质量÷盐水总质量；③可烧天数=总煤量÷实际每天烧煤量；④平均速度=总路程÷总时间；⑤平均成绩=总环数÷总射击次数；⑥苹果单价=总售价÷苹果净重。得到所有代数式后，观察其形式特征，再对比整式的定义（整式为单项式、多项式的统称，分母不含字母），即可总结出二者区别，最后结合分式的概念完成剩余填空即可。
【解析】
填空部分
(1) 由速度公式可得，速度为$\frac{s}{t}$ km/h；
(2) 盐水总质量为$(a+b)$kg，因此含盐量为$\frac{a}{a+b}$；
(3) 实际每天烧煤$(a-b)$t，因此这批煤可烧$\frac{m}{a-b}$天；
(4) 往返总路程为36km，总用时$(x+y)$h，因此平均速度为$\frac{36}{x+y}$ km/h；
(5) 总环数为$(am+bn)$环，总射击次数为$(a+b)$次，因此平均成绩为$\frac{am+bn}{a+b}$环；
(6) 苹果净重为$(m-n)$kg，因此每千克苹果售价为$\frac{p}{m-n}$元。
问题探究
观察得到的代数式$\frac{s}{t}、\frac{a}{a+b}、\frac{m}{a-b}、\frac{36}{x+y}、\frac{am+bn}{a+b}、\frac{p}{m-n}$，可发现共同特征：都含有分母，且分母中都含有字母。整式的分母中不含有字母，这是上述代数式和整式的核心区别。
新知生成
根据分式的定义，若$B$中含有字母，那么$\frac{A}{B}$为分式；分式有意义的前提是分母不为0，因此任意分式的分母都不能为0。
【答案】
(1)$\frac{s}{t}$；(2)$\frac{a}{a+b}$；(3)$\frac{m}{a-b}$；(4)$\frac{36}{x+y}$；(5)$\frac{am+bn}{a+b}$；(6)$\frac{p}{m-n}$；
问题探究：这些代数式中都含有分母，且分母中都含有字母。它们与整式的区别是整式的分母中不含有字母。
新知生成：字母；0
【知识点】
列代数式、分式的定义、分式有意义的条件
【点评】
本题结合生活实际问题引出分式概念，既考查了常见数量关系的应用，也要求能准确区分整式和分式，需要牢记分式分母含字母、分母不能为0的核心要点。
【难度系数】
0.7
首先结合常见数量关系，逐个计算6个小问对应的代数式：①速度=路程÷时间；②含盐量=盐的质量÷盐水总质量；③可烧天数=总煤量÷实际每天烧煤量；④平均速度=总路程÷总时间；⑤平均成绩=总环数÷总射击次数；⑥苹果单价=总售价÷苹果净重。得到所有代数式后，观察其形式特征，再对比整式的定义（整式为单项式、多项式的统称，分母不含字母），即可总结出二者区别，最后结合分式的概念完成剩余填空即可。
【解析】
填空部分
(1) 由速度公式可得，速度为$\frac{s}{t}$ km/h；
(2) 盐水总质量为$(a+b)$kg，因此含盐量为$\frac{a}{a+b}$；
(3) 实际每天烧煤$(a-b)$t，因此这批煤可烧$\frac{m}{a-b}$天；
(4) 往返总路程为36km，总用时$(x+y)$h，因此平均速度为$\frac{36}{x+y}$ km/h；
(5) 总环数为$(am+bn)$环，总射击次数为$(a+b)$次，因此平均成绩为$\frac{am+bn}{a+b}$环；
(6) 苹果净重为$(m-n)$kg，因此每千克苹果售价为$\frac{p}{m-n}$元。
问题探究
观察得到的代数式$\frac{s}{t}、\frac{a}{a+b}、\frac{m}{a-b}、\frac{36}{x+y}、\frac{am+bn}{a+b}、\frac{p}{m-n}$，可发现共同特征：都含有分母，且分母中都含有字母。整式的分母中不含有字母，这是上述代数式和整式的核心区别。
新知生成
根据分式的定义，若$B$中含有字母，那么$\frac{A}{B}$为分式；分式有意义的前提是分母不为0，因此任意分式的分母都不能为0。
【答案】
(1)$\frac{s}{t}$；(2)$\frac{a}{a+b}$；(3)$\frac{m}{a-b}$；(4)$\frac{36}{x+y}$；(5)$\frac{am+bn}{a+b}$；(6)$\frac{p}{m-n}$；
问题探究：这些代数式中都含有分母，且分母中都含有字母。它们与整式的区别是整式的分母中不含有字母。
新知生成：字母；0
【知识点】
列代数式、分式的定义、分式有意义的条件
【点评】
本题结合生活实际问题引出分式概念，既考查了常见数量关系的应用，也要求能准确区分整式和分式，需要牢记分式分母含字母、分母不能为0的核心要点。
【难度系数】
0.7
下列各式中，是分式的是 （
A.$\frac{x-1}{5}$
B.$\frac{x}{3x+1}$
C.$-\frac{a}{2π}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B
）A.$\frac{x-1}{5}$
B.$\frac{x}{3x+1}$
C.$-\frac{a}{2π}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
要判断一个式子是否为分式，首先需牢记分式的定义：一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么$\frac{A}{B}$叫做分式，判断核心是分母必须含有字母。注意π是圆周率，属于固定的常数，不是字母，不要误判。解题时只需逐一检查每个选项的分母是否含字母即可。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{x-1}{5}$的分母是5，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{x}{3x+1}$的分母是$3x+1$，含有字母x，符合分式的定义，是分式；
3. 选项C：$-\frac{a}{2π}$的分母是$2π$，π是常数，因此分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. 选项D：$\frac{\sqrt{3}}{2}$的分母是2，为常数，分子也是常数，属于整式，不是分式。
综上，只有选项B是分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的概念；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对分式定义的掌握，易错点是容易将π误认为是字母导致错选C，只要抓住“分母含字母”这一核心判断依据就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是否为分式，首先需牢记分式的定义：一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么$\frac{A}{B}$叫做分式，判断核心是分母必须含有字母。注意π是圆周率，属于固定的常数，不是字母，不要误判。解题时只需逐一检查每个选项的分母是否含字母即可。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
1. 选项A：$\frac{x-1}{5}$的分母是5，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. 选项B：$\frac{x}{3x+1}$的分母是$3x+1$，含有字母x，符合分式的定义，是分式；
3. 选项C：$-\frac{a}{2π}$的分母是$2π$，π是常数，因此分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. 选项D：$\frac{\sqrt{3}}{2}$的分母是2，为常数，分子也是常数，属于整式，不是分式。
综上，只有选项B是分式。
【答案】
B
【知识点】
分式的概念；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对分式定义的掌握，易错点是容易将π误认为是字母导致错选C，只要抓住“分母含字母”这一核心判断依据就能快速解题。
【难度系数】
0.9
探究1:（1）分式有意义的条件：分母的值
（2）分式无意义的条件：分母的值
（3）分式的值为零的条件：分子的值
探究2:已知分式$\dfrac{(m-1)(m-3)}{m^2 -6m +9}$。
（1）当$m$为何值时，该分式有意义？
（2）当$m$为何值时，该分式的值为零？
归纳总结
（1）分式有无意义与分母有关且与分子无关，分式要明确其有意义，就必须分析分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零；
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零；
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。
不等于
零；（2）分式无意义的条件：分母的值
等于
零；（3）分式的值为零的条件：分子的值
等于
零且分母的值不等于
零。探究2:已知分式$\dfrac{(m-1)(m-3)}{m^2 -6m +9}$。
（1）当$m$为何值时，该分式有意义？
（2）当$m$为何值时，该分式的值为零？
归纳总结
（1）分式有无意义与分母有关且与分子无关，分式要明确其有意义，就必须分析分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零；
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零；
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值。
答案
解：(1)由题意，得 $m^2-6m+9≠0$，解得 $m≠3$。
$\therefore$ 当 $m≠3$ 时，该分式有意义。
(2)由题意，得$(m-1)(m-3)=0$，$m^2-6m+9≠0$，解得 $m=1$。
$\therefore$ 当 $m=1$ 时，该分式的值为零。
$\therefore$ 当 $m≠3$ 时，该分式有意义。
(2)由题意，得$(m-1)(m-3)=0$，$m^2-6m+9≠0$，解得 $m=1$。
$\therefore$ 当 $m=1$ 时，该分式的值为零。
解析
【分析】
探究1是对分式基础性质的直接考查，结合分式的定义推导即可：若分母为0，分式没有意义，因此分式有意义要求分母不等于0，分式无意义要求分母等于0；要使分式值为0，首先要保证分式有意义（分母不为0），其次分子的取值要让分子的值为0，因此需同时满足分子等于0、分母不等于0两个条件。
探究2的解题思路：
（1）求分式有意义时m的取值，只需令分母不等于0，先将分母用完全平方公式因式分解，解不等式即可得到结果；
（2）求分式值为0时m的取值，需同时满足两个要求：①分子等于0，②分母不等于0，先解分子为0的方程得到m的可能取值，再结合分母不为0的条件排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
探究1
（1）分式有意义的条件：分母的值不等于零；
（2）分式无意义的条件：分母的值等于零；
（3）分式的值为零的条件：分子的值等于零且分母的值不等于零。
探究2
（1）要使分式有意义，则分母不为0，可得：
$m^2 - 6m + 9 ≠ 0$
对左侧因式分解得：$(m-3)^2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$
$\therefore$ 当$m≠3$时，该分式有意义。
（2）要使分式的值为零，需同时满足分子为0且分母不为0，可得：
$\begin{cases}(m-1)(m-3) = 0 \\m^2 -6m +9 ≠ 0\end{cases}$
解分子方程得：$m=1$或$m=3$，结合分母要求$m≠3$，排除$m=3$，得$m=1$
$\therefore$ 当$m=1$时，该分式的值为零。
【答案】
探究1：（1）不等于；（2）等于；（3）等于，不等于
探究2：（1）$m≠3$；（2）$m=1$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是分式意义相关的基础题，解题核心是牢记分式的各类成立条件，尤其要注意求解分式值为零的问题时，必须先保证分式有意义，不能只考虑分子为零而忽略分母不为零的前提，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
探究1是对分式基础性质的直接考查，结合分式的定义推导即可：若分母为0，分式没有意义，因此分式有意义要求分母不等于0，分式无意义要求分母等于0；要使分式值为0，首先要保证分式有意义（分母不为0），其次分子的取值要让分子的值为0，因此需同时满足分子等于0、分母不等于0两个条件。
探究2的解题思路：
（1）求分式有意义时m的取值，只需令分母不等于0，先将分母用完全平方公式因式分解，解不等式即可得到结果；
（2）求分式值为0时m的取值，需同时满足两个要求：①分子等于0，②分母不等于0，先解分子为0的方程得到m的可能取值，再结合分母不为0的条件排除不符合要求的取值，最终得到正确结果。
【解析】
探究1
（1）分式有意义的条件：分母的值不等于零；
（2）分式无意义的条件：分母的值等于零；
（3）分式的值为零的条件：分子的值等于零且分母的值不等于零。
探究2
（1）要使分式有意义，则分母不为0，可得：
$m^2 - 6m + 9 ≠ 0$
对左侧因式分解得：$(m-3)^2 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$
$\therefore$ 当$m≠3$时，该分式有意义。
（2）要使分式的值为零，需同时满足分子为0且分母不为0，可得：
$\begin{cases}(m-1)(m-3) = 0 \\m^2 -6m +9 ≠ 0\end{cases}$
解分子方程得：$m=1$或$m=3$，结合分母要求$m≠3$，排除$m=3$，得$m=1$
$\therefore$ 当$m=1$时，该分式的值为零。
【答案】
探究1：（1）不等于；（2）等于；（3）等于，不等于
探究2：（1）$m≠3$；（2）$m=1$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；完全平方公式因式分解
【点评】
本题是分式意义相关的基础题，解题核心是牢记分式的各类成立条件，尤其要注意求解分式值为零的问题时，必须先保证分式有意义，不能只考虑分子为零而忽略分母不为零的前提，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.85
