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1. 阅读材料：
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$。
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=A$，
则原式$=A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$。再将
“A”还原，得原式$=(x+y+1)^2$。
上述解题方法用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法。
问题解决：
(1)因式分解：$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$；
(2)用上述方法将代数式$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$化为完全平方的形式。
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$。
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=A$，
则原式$=A^2 + 2A + 1 = (A + 1)^2$。再将
“A”还原，得原式$=(x+y+1)^2$。
上述解题方法用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法。
问题解决：
(1)因式分解：$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$；
(2)用上述方法将代数式$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$化为完全平方的形式。
答案
解：(1)令 $a^2 -4a = B$，
则$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$
$=(B+1)(B+7)+9$
$=B^2 +8B +16$
$=(B+4)^2$。
将“B”还原，得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$。
(2)$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
$=n(n+3)(n+1)(n+2)+1$
$=(n^2 +3n)(n^2 +3n +2)+1$。
令 $n^2 +3n = C$，则原式$=C(C+2)+1=C^2 +2C +1=(C+1)^2$。
将“C”还原，得原式$=(n^2 +3n +1)^2$。
则$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$
$=(B+1)(B+7)+9$
$=B^2 +8B +16$
$=(B+4)^2$。
将“B”还原，得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$。
(2)$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
$=n(n+3)(n+1)(n+2)+1$
$=(n^2 +3n)(n^2 +3n +2)+1$。
令 $n^2 +3n = C$，则原式$=C(C+2)+1=C^2 +2C +1=(C+1)^2$。
将“C”还原，得原式$=(n^2 +3n +1)^2$。
解析
【分析】
本题运用整体换元思想简化因式分解过程：(1)观察到两个乘积项中都含有相同的部分$a^2-4a$，可将这部分设为整体B，将原式转化为关于B的多项式，展开后利用完全平方公式因式分解，再还原B继续分解至最简即可；(2)先将4个一次因式合理分组，将$n$与$n+3$相乘、$n+1$与$n+2$相乘，得到两个含相同部分$n^2+3n$的多项式，再将$n^2+3n$设为整体C，转化为关于C的多项式因式分解，最后还原C即可得到完全平方形式。
【解析】
(1)令 $a^2 -4a = B$，
则$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$
$=(B+1)(B+7)+9$
$=B^2 +8B +16$
$=(B+4)^2$
将B还原，得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$。
(2)先调整因式顺序分组计算：
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
$=n(n+3)(n+1)(n+2)+1$
$=(n^2 +3n)(n^2 +3n +2)+1$
令 $n^2 +3n = C$，则原式$=C(C+2)+1=C^2 +2C +1=(C+1)^2$
将C还原，得原式$=(n^2 +3n +1)^2$。
【答案】
(1)$(a-2)^4$；(2)$(n^2+3n+1)^2$
【知识点】
整体换元法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题重点考查整体思想在代数运算中的应用，解题的核心是准确找到式子中重复出现的相同结构作为整体换元，将复杂的高次多项式转化为熟悉的低次多项式简化运算，第二问需要先对因式合理分组才能得到相同的整体结构，对观察能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题运用整体换元思想简化因式分解过程：(1)观察到两个乘积项中都含有相同的部分$a^2-4a$，可将这部分设为整体B，将原式转化为关于B的多项式，展开后利用完全平方公式因式分解，再还原B继续分解至最简即可；(2)先将4个一次因式合理分组，将$n$与$n+3$相乘、$n+1$与$n+2$相乘，得到两个含相同部分$n^2+3n$的多项式，再将$n^2+3n$设为整体C，转化为关于C的多项式因式分解，最后还原C即可得到完全平方形式。
【解析】
(1)令 $a^2 -4a = B$，
则$(a^2 -4a +1)(a^2 -4a +7)+9$
$=(B+1)(B+7)+9$
$=B^2 +8B +16$
$=(B+4)^2$
将B还原，得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$。
(2)先调整因式顺序分组计算：
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1$
$=n(n+3)(n+1)(n+2)+1$
$=(n^2 +3n)(n^2 +3n +2)+1$
令 $n^2 +3n = C$，则原式$=C(C+2)+1=C^2 +2C +1=(C+1)^2$
将C还原，得原式$=(n^2 +3n +1)^2$。
【答案】
(1)$(a-2)^4$；(2)$(n^2+3n+1)^2$
【知识点】
整体换元法，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题重点考查整体思想在代数运算中的应用，解题的核心是准确找到式子中重复出现的相同结构作为整体换元，将复杂的高次多项式转化为熟悉的低次多项式简化运算，第二问需要先对因式合理分组才能得到相同的整体结构，对观察能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 因式分解：$(x-1)(x-5)+4$。
答案
解：原式$=x^2 -6x +5 +4$
$=x^2 -6x +9$
$=(x-3)^2$。
$=x^2 -6x +9$
$=(x-3)^2$。
解析
【分析】
本题是因式分解类题目，首先观察原式结构，当前是两个一次多项式的乘积加常数的形式，无法直接因式分解，因此第一步需要先利用多项式乘多项式的法则展开前面的乘积项，再合并同类项将原式整理为标准的二次三项式，最后观察整理后的式子是否符合乘法公式的结构特征，选用对应的公式完成因式分解即可。
【解析】
解：先展开多项式乘积并合并同类项：
原式$=x^2 -5x -x +5 +4$
$=x^2 -6x +9$
观察得到$x^2-6x+9$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=3$，因此可得：
$=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法，合并同类项，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是先对原式进行展开化简，再识别式子的结构特征匹配对应的因式分解方法，注意最终分解结果要彻底，不能只完成展开合并的步骤。
【难度系数】
0.85
本题是因式分解类题目，首先观察原式结构，当前是两个一次多项式的乘积加常数的形式，无法直接因式分解，因此第一步需要先利用多项式乘多项式的法则展开前面的乘积项，再合并同类项将原式整理为标准的二次三项式，最后观察整理后的式子是否符合乘法公式的结构特征，选用对应的公式完成因式分解即可。
【解析】
解：先展开多项式乘积并合并同类项：
原式$=x^2 -5x -x +5 +4$
$=x^2 -6x +9$
观察得到$x^2-6x+9$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=x$，$b=3$，因此可得：
$=(x-3)^2$
【答案】
$(x-3)^2$
【知识点】
多项式乘法，合并同类项，完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题核心是先对原式进行展开化简，再识别式子的结构特征匹配对应的因式分解方法，注意最终分解结果要彻底，不能只完成展开合并的步骤。
【难度系数】
0.85
3.【探究】
如图(1)，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图(2)所示的图形。
(1)上述操作能验证的等式是
A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
【应用】
(2)已知$m - 2n = 2$，$m + 2n = 8$，请计算$m^2 - 4n^2$的值。
【拓展】
(3)已知$A = 2026×2028$，$B = 2027^2$，则$A$与$B$的大小关系为A
如图(1)，从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图(2)所示的图形。
(1)上述操作能验证的等式是
A
。A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
【应用】
(2)已知$m - 2n = 2$，$m + 2n = 8$，请计算$m^2 - 4n^2$的值。
【拓展】
(3)已知$A = 2026×2028$，$B = 2027^2$，则$A$与$B$的大小关系为A
＜
B。（填“＞”“＜”或“=”）答案
3. 解：(1)A
(2)$m^2 -4n^2$
$=(m-2n)(m+2n)$
$=2×8$
$=16$。
(3)＜
(2)$m^2 -4n^2$
$=(m-2n)(m+2n)$
$=2×8$
$=16$。
(3)＜
解析
【分析】
(1) 解题思路：利用剪拼前后阴影部分面积不变推导等式。先计算图(1)的阴影面积：大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2-b^2$；再计算图(2)的面积：拼成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个面积相等即可得到对应公式，选出正确选项。
(2) 解题思路：观察所求式子$m^2-4n^2$，可变形为$m^2-(2n)^2$，符合平方差公式的结构，先因式分解为$(m-2n)(m+2n)$，再代入已知条件计算即可。
(3) 解题思路：将A的两个因数转化为和2027相关的形式，即$2026=2027-1$，$2028=2027+1$，利用平方差公式计算A的结果，再和B对比大小即可。
【解析】
(1) 图(1)阴影面积：$S_1=a^2-b^2$
图(2)平行四边形面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
剪拼前后面积不变，故$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，选A。
(2) 对$m^2-4n^2$因式分解：
$m^2-4n^2=(m+2n)(m-2n)$
将$m-2n=2$，$m+2n=8$代入得：
原式$=2×8=16$
(3) 变形计算A：
$A=2026×2028=(2027-1)(2027+1)=2027^2-1$
因为$2027^2-1＜2027^2$，所以$A＜B$。
【答案】
(1)A；(2)16；(3)＜
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整式大小比较
【点评】
本题结合几何剪拼和代数计算考查平方差公式的推导与应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键，能有效锻炼数形结合思维和公式灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：利用剪拼前后阴影部分面积不变推导等式。先计算图(1)的阴影面积：大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2-b^2$；再计算图(2)的面积：拼成的平行四边形底为$a+b$，高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，两个面积相等即可得到对应公式，选出正确选项。
(2) 解题思路：观察所求式子$m^2-4n^2$，可变形为$m^2-(2n)^2$，符合平方差公式的结构，先因式分解为$(m-2n)(m+2n)$，再代入已知条件计算即可。
(3) 解题思路：将A的两个因数转化为和2027相关的形式，即$2026=2027-1$，$2028=2027+1$，利用平方差公式计算A的结果，再和B对比大小即可。
【解析】
(1) 图(1)阴影面积：$S_1=a^2-b^2$
图(2)平行四边形面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
剪拼前后面积不变，故$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，选A。
(2) 对$m^2-4n^2$因式分解：
$m^2-4n^2=(m+2n)(m-2n)$
将$m-2n=2$，$m+2n=8$代入得：
原式$=2×8=16$
(3) 变形计算A：
$A=2026×2028=(2027-1)(2027+1)=2027^2-1$
因为$2027^2-1＜2027^2$，所以$A＜B$。
【答案】
(1)A；(2)16；(3)＜
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整式大小比较
【点评】
本题结合几何剪拼和代数计算考查平方差公式的推导与应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题关键，能有效锻炼数形结合思维和公式灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”。例如，$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20都是“豫数”。下列有关“豫数”的说法正确的是（
A.所有“豫数”都是6的倍数
B.28是“豫数”
C.50是“豫数”
D.最小的“豫数”是2
B
）A.所有“豫数”都是6的倍数
B.28是“豫数”
C.50是“豫数”
D.最小的“豫数”是2
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道新定义类代数题，解题核心是先将“豫数”的文字定义转化为代数式。首先设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为非负整数），再利用平方差公式对两个偶数的平方差进行化简，推导出所有“豫数”的共同特征，最后用这个特征逐一验证四个选项的正确性即可。
【解析】
设两个连续偶数中较小的为$2n$（$n$为非负整数），则较大的为$2n+2$。
根据“豫数”的定义，豫数可表示为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
即所有“豫数”都是4与一个正奇数的乘积。
逐一判断选项：
选项A：4是豫数，但4不是6的倍数，故A错误；
选项B：$28÷4=7$，7是正奇数，令$2n+1=7$，解得$n=3$，对应两个连续偶数为6和8，验证：$8^2-6^2=64-36=28$，故28是豫数，B正确；
选项C：$50÷4=12.5$，不是整数，不符合豫数的特征，故C错误；
选项D：当$n=0$时，得到最小的豫数为$2^2-0^2=4$，故最小豫数是4不是2，D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，新定义运算，代数式化简
【点评】
本题属于新定义题型，解题的关键是准确理解新定义的含义，通过设未知数结合平方差公式推导出“豫数”的通用特征，再代入验证选项即可，注重对公式灵活运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义类代数题，解题核心是先将“豫数”的文字定义转化为代数式。首先设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为非负整数），再利用平方差公式对两个偶数的平方差进行化简，推导出所有“豫数”的共同特征，最后用这个特征逐一验证四个选项的正确性即可。
【解析】
设两个连续偶数中较小的为$2n$（$n$为非负整数），则较大的为$2n+2$。
根据“豫数”的定义，豫数可表示为：
$\begin{aligned}(2n+2)^2 - (2n)^2&=(2n+2-2n)(2n+2+2n)\\&=2×(4n+2)\\&=4(2n+1)\end{aligned}$
即所有“豫数”都是4与一个正奇数的乘积。
逐一判断选项：
选项A：4是豫数，但4不是6的倍数，故A错误；
选项B：$28÷4=7$，7是正奇数，令$2n+1=7$，解得$n=3$，对应两个连续偶数为6和8，验证：$8^2-6^2=64-36=28$，故28是豫数，B正确；
选项C：$50÷4=12.5$，不是整数，不符合豫数的特征，故C错误；
选项D：当$n=0$时，得到最小的豫数为$2^2-0^2=4$，故最小豫数是4不是2，D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，新定义运算，代数式化简
【点评】
本题属于新定义题型，解题的关键是准确理解新定义的含义，通过设未知数结合平方差公式推导出“豫数”的通用特征，再代入验证选项即可，注重对公式灵活运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
5. 利用因式分解计算：$(1-\dfrac{1}{4})×(1-\dfrac{1}{9})×(1-\dfrac{1}{16})×···×($
$-\dfrac{1}{100})×(1-\dfrac{1}{121})$。
$-\dfrac{1}{100})×(1-\dfrac{1}{121})$。答案
原式$=\dfrac{6}{11}$。
解析
【分析】
观察算式中每一项均为“1减一个分数”的形式，且减数的分母都是完全平方数，符合平方差公式的结构特征。解题时先利用平方差公式将每一项因式分解为两个分数的乘积，再观察拆分后各项分子、分母的规律，可发现相邻项存在可约分的部分，通过约分简化计算即可得到最终结果。
【解析】
解：算式中每一项可表示为$1-\frac{1}{k^2}$（$k$取值为2到11），根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得：
$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})=\frac{k-1}{k} · \frac{k+1}{k}$
将原式按上述规律拆分：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}) × (1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4}) × \dots × (1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10}) × (1-\frac{1}{11})(1+\frac{1}{11})\\&=(\frac{1}{2} × \frac{3}{2}) × (\frac{2}{3} × \frac{4}{3}) × (\frac{3}{4} × \frac{5}{4}) × \dots × (\frac{9}{10} × \frac{11}{10}) × (\frac{10}{11} × \frac{12}{11})\end{aligned}$
把拆分后的前半部分分数、后半部分分数分别归类相乘：
$=(\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{10}{11}) × (\frac{3}{2} × \frac{4}{3} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{12}{11})$
对两部分分别约分：
第一部分约分后剩余$\frac{1}{11}$，第二部分约分后剩余$\frac{12}{2}=6$
因此$原式=\frac{1}{11} × 6 = \frac{6}{11}$
【答案】
$\dfrac{6}{11}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数乘法
【点评】
本题是因式分解简化运算的典型题型，解题核心是识别出每一项的平方差结构，拆分后通过交叉约分大幅降低计算量，避免直接逐项计算的繁琐，掌握该类规律可快速求解同类连乘问题。
【难度系数】
0.7
观察算式中每一项均为“1减一个分数”的形式，且减数的分母都是完全平方数，符合平方差公式的结构特征。解题时先利用平方差公式将每一项因式分解为两个分数的乘积，再观察拆分后各项分子、分母的规律，可发现相邻项存在可约分的部分，通过约分简化计算即可得到最终结果。
【解析】
解：算式中每一项可表示为$1-\frac{1}{k^2}$（$k$取值为2到11），根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，可得：
$1-\frac{1}{k^2}=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})=\frac{k-1}{k} · \frac{k+1}{k}$
将原式按上述规律拆分：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}) × (1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4}) × \dots × (1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{10}) × (1-\frac{1}{11})(1+\frac{1}{11})\\&=(\frac{1}{2} × \frac{3}{2}) × (\frac{2}{3} × \frac{4}{3}) × (\frac{3}{4} × \frac{5}{4}) × \dots × (\frac{9}{10} × \frac{11}{10}) × (\frac{10}{11} × \frac{12}{11})\end{aligned}$
把拆分后的前半部分分数、后半部分分数分别归类相乘：
$=(\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \dots × \frac{10}{11}) × (\frac{3}{2} × \frac{4}{3} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{12}{11})$
对两部分分别约分：
第一部分约分后剩余$\frac{1}{11}$，第二部分约分后剩余$\frac{12}{2}=6$
因此$原式=\frac{1}{11} × 6 = \frac{6}{11}$
【答案】
$\dfrac{6}{11}$
【知识点】
平方差公式，分数约分，有理数乘法
【点评】
本题是因式分解简化运算的典型题型，解题核心是识别出每一项的平方差结构，拆分后通过交叉约分大幅降低计算量，避免直接逐项计算的繁琐，掌握该类规律可快速求解同类连乘问题。
【难度系数】
0.7
