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探究3: 已知关于$x$的分式方程$\frac{3}{x-3}+\frac{ax}{x^2-9}=\frac{4}{x+3}$
(1)若方程有增根，求$a$的值；
(2)若方程无解，求$a$的值。
(1)若方程有增根，求$a$的值；
(2)若方程无解，求$a$的值。
答案
探究3 解：(1)$a$的值为$-6$或$8$。
(2)分式方程去分母，得$3x+9+ax=4x-12$，整理，得$(a-1)x=-21$，
①分式方程有增根，由(1)，得$a$的值为$-6$或$8$。
②$a=1$时，整式方程无解，则原方程无解。
综上所述，$a$的值为$1$或$8$或$-6$。
(2)分式方程去分母，得$3x+9+ax=4x-12$，整理，得$(a-1)x=-21$，
①分式方程有增根，由(1)，得$a$的值为$-6$或$8$。
②$a=1$时，整式方程无解，则原方程无解。
综上所述，$a$的值为$1$或$8$或$-6$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确分式方程增根和无解的核心概念，解题分为两步走：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步针对问题分类讨论：(1)增根是使分式分母为0的未知数的值，先求出所有可能的增根，再将增根代入整式方程即可求出对应a的值；(2)分式方程无解分两种情况，一是整式方程求解后得到的根是增根，二是整式方程本身无解，分两类讨论即可求出所有符合条件的a值，避免漏解。
【解析】
解：先对原分式方程去分母，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$得：
$3(x+3) + ax = 4(x-3)$
展开整理得：$3x + 9 + ax = 4x - 12$
移项合并同类项得：$(a-1)x = -21$
(1) 若方程有增根，则最简公分母$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$：
① 将$x=3$代入整式方程$(a-1)x=-21$，得$3(a-1) = -21$，解得$a=-6$；
② 将$x=-3$代入整式方程$(a-1)x=-21$，得$-3(a-1) = -21$，解得$a=8$。
(2) 若方程无解，分两种情况讨论：
① 方程产生增根，由(1)可知此时$a=-6$或$a=8$；
② 整式方程本身无解，当一次项系数$a-1=0$即$a=1$时，整式方程变为$0·x=-21$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程也无解。
【答案】
(1) $a$的值为$-6$或$8$；
(2) $a$的值为$1$或$-6$或$8$。
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根与无解的区别，解题的关键是全面梳理无解的所有情况，避免因遗漏整式方程本身无解的情况出现漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确分式方程增根和无解的核心概念，解题分为两步走：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步针对问题分类讨论：(1)增根是使分式分母为0的未知数的值，先求出所有可能的增根，再将增根代入整式方程即可求出对应a的值；(2)分式方程无解分两种情况，一是整式方程求解后得到的根是增根，二是整式方程本身无解，分两类讨论即可求出所有符合条件的a值，避免漏解。
【解析】
解：先对原分式方程去分母，最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$得：
$3(x+3) + ax = 4(x-3)$
展开整理得：$3x + 9 + ax = 4x - 12$
移项合并同类项得：$(a-1)x = -21$
(1) 若方程有增根，则最简公分母$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$：
① 将$x=3$代入整式方程$(a-1)x=-21$，得$3(a-1) = -21$，解得$a=-6$；
② 将$x=-3$代入整式方程$(a-1)x=-21$，得$-3(a-1) = -21$，解得$a=8$。
(2) 若方程无解，分两种情况讨论：
① 方程产生增根，由(1)可知此时$a=-6$或$a=8$；
② 整式方程本身无解，当一次项系数$a-1=0$即$a=1$时，整式方程变为$0·x=-21$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程也无解。
【答案】
(1) $a$的值为$-6$或$8$；
(2) $a$的值为$1$或$-6$或$8$。
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
3. 解一元一次方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根与无解的区别，解题的关键是全面梳理无解的所有情况，避免因遗漏整式方程本身无解的情况出现漏解。
【难度系数】
0.6
1. 关于$x$的分式方程$\frac{3x+m}{x-1}+1=\frac{5}{x-1}$有增根，则增根是（
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=-1$
A
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=-1$
答案
1. A
解析
【分析】
要确定分式方程的增根，首先回忆增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程的分母为0的根。解题思路分两步：第一步先找原分式方程的最简公分母，令最简公分母为0，求出可能的增根；第二步验证这个根是不是去分母后整式方程的根，即可确定最终增根。本题中分式方程的两个分母都是x-1，所以最简公分母为x-1，先令x-1=0得到x=1，再验证即可。
【解析】
解：分式方程的增根满足两个条件：①使原分式方程的最简公分母为0；②是去分母后所得整式方程的根。
首先确定原方程的最简公分母为$x-1$，令$x-1=0$，解得$x=1$，即x=1是可能的增根。
将原方程两边同时乘最简公分母$x-1$（$x≠1$）去分母得：
$3x + m + (x - 1) = 5$
整理得：$4x + m = 6$
把$x=1$代入上述整式方程，得$4×1 + m =6$，解得$m=2$，存在符合条件的m值，说明$x=1$是原分式方程的增根。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，解题核心是牢记增根的两个判定条件，先通过最简公分母为0锁定可能的增根，再代入整式方程验证即可，掌握定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定分式方程的增根，首先回忆增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后，产生的使原分式方程的分母为0的根。解题思路分两步：第一步先找原分式方程的最简公分母，令最简公分母为0，求出可能的增根；第二步验证这个根是不是去分母后整式方程的根，即可确定最终增根。本题中分式方程的两个分母都是x-1，所以最简公分母为x-1，先令x-1=0得到x=1，再验证即可。
【解析】
解：分式方程的增根满足两个条件：①使原分式方程的最简公分母为0；②是去分母后所得整式方程的根。
首先确定原方程的最简公分母为$x-1$，令$x-1=0$，解得$x=1$，即x=1是可能的增根。
将原方程两边同时乘最简公分母$x-1$（$x≠1$）去分母得：
$3x + m + (x - 1) = 5$
整理得：$4x + m = 6$
把$x=1$代入上述整式方程，得$4×1 + m =6$，解得$m=2$，存在符合条件的m值，说明$x=1$是原分式方程的增根。
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，解题核心是牢记增根的两个判定条件，先通过最简公分母为0锁定可能的增根，再代入整式方程验证即可，掌握定义就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x$的分式方程$\frac{3}{x-4}+\frac{x+n}{4-x}=2$有增根，求$n$的值。
答案
$n=-1$。
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，解题思路如下：第一步，明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化成的整式方程的根，但同时会使原分式方程的分母为0，因此先确定原方程的增根可能的取值，即令最简公分母为0，解得x的值；第二步，将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出参数n的值。
【解析】
首先确定增根：
∵ 原分式方程有增根，
∴ 最简公分母$x-4=0$，解得增根为$x=4$。
接下来将分式方程去分母化为整式方程：
方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，得：
$3 - (x + n) = 2(x - 4)$
将增根$x=4$代入上述整式方程：
$3 - (4 + n) = 2×(4 - 4)$
化简得：$3 - 4 - n = 0$
解得：$n = -1$
【答案】
$n=-1$
【知识点】
分式方程增根、分式方程去分母、一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题的核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练掌握这两个特征即可快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，解题思路如下：第一步，明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化成的整式方程的根，但同时会使原分式方程的分母为0，因此先确定原方程的增根可能的取值，即令最简公分母为0，解得x的值；第二步，将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出参数n的值。
【解析】
首先确定增根：
∵ 原分式方程有增根，
∴ 最简公分母$x-4=0$，解得增根为$x=4$。
接下来将分式方程去分母化为整式方程：
方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，得：
$3 - (x + n) = 2(x - 4)$
将增根$x=4$代入上述整式方程：
$3 - (4 + n) = 2×(4 - 4)$
化简得：$3 - 4 - n = 0$
解得：$n = -1$
【答案】
$n=-1$
【知识点】
分式方程增根、分式方程去分母、一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程增根应用的典型题型，解题的核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练掌握这两个特征即可快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
整式 最简公分母 整式 整式 零
解析
【分析】
本题考查分式方程解法及增根的相关基础概念，解题思路如下：1. 回忆解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，去分母时需要给方程两边同乘合适的整式，这个整式一般取各分式的最简公分母，去分母后原方程就转化为整式方程，后续只需解这个整式方程再检验即可；2. 回忆增根的定义：增根是在去分母过程中产生的、使原分式方程的分母为0的根，不符合原分式方程的要求。对应上述知识点即可填出所有空缺。
【解析】
依次对每个空缺分析填写：
1. 解分式方程去分母时，需给方程两边同乘适当的整式，故第一空填“整式”；
2. 去分母时所乘的整式通常是各分式的最简公分母，故第二空填“最简公分母”；
3. 约去分母后，分式方程就转化为整式方程，故第三空填“整式”；
4. 去分母后需要求解得到的整式方程，故第四空填“整式”；
5. 根据增根的定义，使分式方程中分式的分母值为0的根是原方程的增根，故第五空填“零”。
【答案】
整式 最简公分母 整式 整式 零
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的概念
3. 最简公分母
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对分式方程解法步骤和增根定义的记忆与理解，是学习分式方程求解的必备基础，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程解法及增根的相关基础概念，解题思路如下：1. 回忆解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，去分母时需要给方程两边同乘合适的整式，这个整式一般取各分式的最简公分母，去分母后原方程就转化为整式方程，后续只需解这个整式方程再检验即可；2. 回忆增根的定义：增根是在去分母过程中产生的、使原分式方程的分母为0的根，不符合原分式方程的要求。对应上述知识点即可填出所有空缺。
【解析】
依次对每个空缺分析填写：
1. 解分式方程去分母时，需给方程两边同乘适当的整式，故第一空填“整式”；
2. 去分母时所乘的整式通常是各分式的最简公分母，故第二空填“最简公分母”；
3. 约去分母后，分式方程就转化为整式方程，故第三空填“整式”；
4. 去分母后需要求解得到的整式方程，故第四空填“整式”；
5. 根据增根的定义，使分式方程中分式的分母值为0的根是原方程的增根，故第五空填“零”。
【答案】
整式 最简公分母 整式 整式 零
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的概念
3. 最简公分母
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对分式方程解法步骤和增根定义的记忆与理解，是学习分式方程求解的必备基础，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 某化工厂承接了一个生产600 t化肥的任务，计划由甲、乙两个车间承担，已知甲车间单独生产这批化肥比乙车间单独生产这批化肥多用10天，乙车间每天生产的化肥量是甲车间的1.5倍。
(1)找出问题中的等量关系。
(2)根据这一情境你能提出什么问题？
(3)解答你所提出的问题。
(1)找出问题中的等量关系。
(2)根据这一情境你能提出什么问题？
(3)解答你所提出的问题。
答案
(1) 等量关系为乙车间单独生产这批化肥的天数＋10＝甲车间单独生产这批化肥的天数；乙车间每天生产的化肥量＝1.5×甲车间每天生产的化肥量
(2) 问题：甲车间每天生产化肥多少吨？(答案不唯一)
(3) 甲车间每天生产化肥20 t。
(2) 问题：甲车间每天生产化肥多少吨？(答案不唯一)
(3) 甲车间每天生产化肥20 t。
解析
【分析】
解决第(1)问时，逐句梳理题目条件即可：“甲单独生产比乙多用10天”对应时间类等量关系，“乙日产量是甲的1.5倍”对应工作效率类等量关系。第(2)问可结合两个等量关系提出求未知量的问题，比如求甲、乙的日产量或单独生产时长均可，此处我们以“求甲车间每天生产化肥的吨数”为例解答。第(3)问遵循分式方程应用的常规步骤：先设甲的日产量为未知数，用含未知数的式子表示乙的日产量，再结合时间等量关系列分式方程，求解后检验解是否满足方程要求、是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 从题目描述中可直接提取两个等量关系：
① 甲车间单独生产这批化肥的天数 = 乙车间单独生产这批化肥的天数 + 10
② 乙车间每天生产的化肥量 = 1.5 × 甲车间每天生产的化肥量
(2) 提出问题：甲车间每天生产化肥多少吨？（答案不唯一）
(3) 解：设甲车间每天生产化肥$x$ t，则乙车间每天生产化肥$1.5x$ t。
甲单独生产600t化肥需要$\frac{600}{x}$天，乙单独生产600t化肥需要$\frac{600}{1.5x}$天。
根据时间类等量关系列方程：
$\frac{600}{x}-\frac{600}{1.5x}=10$
方程两边同乘$1.5x$消去分母得：
$600×1.5 - 600 = 10×1.5x$
化简得：$300=15x$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$1.5x=30≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
(1) 等量关系为乙车间单独生产这批化肥的天数＋10＝甲车间单独生产这批化肥的天数；乙车间每天生产的化肥量＝1.5×甲车间每天生产的化肥量
(2) 问题：甲车间每天生产化肥多少吨？(答案不唯一)
(3) 甲车间每天生产化肥20 t。
【知识点】
分式方程的应用；等量关系提取；分式方程求解
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，重点考察从文字信息中提取数量关系、合理设未知数列方程的能力，需要注意分式方程求解后必须检验，确保解既满足方程又符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，逐句梳理题目条件即可：“甲单独生产比乙多用10天”对应时间类等量关系，“乙日产量是甲的1.5倍”对应工作效率类等量关系。第(2)问可结合两个等量关系提出求未知量的问题，比如求甲、乙的日产量或单独生产时长均可，此处我们以“求甲车间每天生产化肥的吨数”为例解答。第(3)问遵循分式方程应用的常规步骤：先设甲的日产量为未知数，用含未知数的式子表示乙的日产量，再结合时间等量关系列分式方程，求解后检验解是否满足方程要求、是否符合实际意义即可。
【解析】
(1) 从题目描述中可直接提取两个等量关系：
① 甲车间单独生产这批化肥的天数 = 乙车间单独生产这批化肥的天数 + 10
② 乙车间每天生产的化肥量 = 1.5 × 甲车间每天生产的化肥量
(2) 提出问题：甲车间每天生产化肥多少吨？（答案不唯一）
(3) 解：设甲车间每天生产化肥$x$ t，则乙车间每天生产化肥$1.5x$ t。
甲单独生产600t化肥需要$\frac{600}{x}$天，乙单独生产600t化肥需要$\frac{600}{1.5x}$天。
根据时间类等量关系列方程：
$\frac{600}{x}-\frac{600}{1.5x}=10$
方程两边同乘$1.5x$消去分母得：
$600×1.5 - 600 = 10×1.5x$
化简得：$300=15x$
解得：$x=20$
检验：当$x=20$时，$1.5x=30≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
(1) 等量关系为乙车间单独生产这批化肥的天数＋10＝甲车间单独生产这批化肥的天数；乙车间每天生产的化肥量＝1.5×甲车间每天生产的化肥量
(2) 问题：甲车间每天生产化肥多少吨？(答案不唯一)
(3) 甲车间每天生产化肥20 t。
【知识点】
分式方程的应用；等量关系提取；分式方程求解
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，重点考察从文字信息中提取数量关系、合理设未知数列方程的能力，需要注意分式方程求解后必须检验，确保解既满足方程又符合实际意义。
【难度系数】
0.7
