探究1：解方程$\frac{36}{1-x}=\frac{18}{x}$。

探究2：小明解方程$\frac{1}{x}-\frac{x-2}{x}=1$的过程如下：
去分母，得。
去括号，得。
移项，得$-x - x = -1 -2$。
合并同类项，得。
方程的两边都，得$x=\frac{3}{2}$。
经检验，$x=\frac{3}{2}$原方程的根。

探究1 方程两边同乘$x(1-x)$，得$36x=18(1-x)$，解得$x=\frac{1}{3}$，将$x=\frac{1}{3}$代入原方程，得左边=54，右边=54，左边=右边，$x=\frac{1}{3}$是原方程的解。
1. $1-(x-2)=x$
2. $1-x+2=x$
3. $-2x=-3$
4. 除以$-2$
5. 是

【分析】
本题考查分式方程的求解，解题按照分式方程的标准步骤思考：1. 先确定各分式的分母，找到最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，将分式方程转化为整式方程；2. 按照解整式方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解整式方程；3. 检验得到的根：将根代入原方程，若左右两边相等，且最简公分母不为0，则根是原分式方程的解，否则是增根。探究1中分母为$1-x$和$x$，最简公分母为$x(1-x)$；探究2中两个分式分母都是$x$，最简公分母为$x$，按对应步骤填空即可。
【解析】
探究1
1. 去分母：观察分式的分母为$1-x$和$x$，最简公分母为$x(1-x)$，方程两边同时乘$x(1-x)$，可得$36x=18(1-x)$。
2. 解整式方程：展开等式右边得$36x=18-18x$，移项合并同类项得$54x=18$，系数化为1得$x=\frac{1}{3}$。
3. 检验：把$x=\frac{1}{3}$代入原方程，左边$=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=54$，右边$=\frac{18}{\frac{1}{3}}=54$，左边=右边，且最简公分母$x(1-x)≠0$，说明$x=\frac{1}{3}$是原方程的解。
探究2
1. 去分母：方程两边同乘最简公分母$x$，可得$1-(x-2)=x$。
2. 去括号：根据去括号法则，括号前为负号时括号内各项变号，得$1-x+2=x$。
3. 合并同类项：移项得$-x-x=-1-2$，合并后为$-2x=-3$。
4. 系数化为1：方程两边同时除以$-2$，得到$x=\frac{3}{2}$。
5. 验根：将$x=\frac{3}{2}$代入原方程，左右两边相等，故$x=\frac{3}{2}$是原方程的根。
【答案】
探究1：$x(1-x)$；$36x=18(1-x)$；$x=\frac{1}{3}$；把$x=\frac{1}{3}$代入原方程，左边$=54$，右边$=54$，左边=右边，最简公分母不为0；$x=\frac{1}{3}$
探究2：$1-(x-2)=x$；$1-x+2=x$；$-2x=-3$；除以$-2$；是
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查分式方程的解题流程，解题时要注意找准最简公分母，去分母时不要漏乘不含分母的项，且求解后必须验根，排除增根的情况。
【难度系数】
0.8

1. 解分式方程$\frac{1}{3x} - \frac{2x+1}{x}=1$，去分母后得到的方程是（）

A.$1 - 3(2x +1)=x$
B.$1 -3(2x+1)=3x$
C.$1 -3(2x+1)=1$
D.$1 -6x +3=3x$

1. B

【分析】
要确定分式方程去分母后的方程，首先需找到方程中各分式分母的最简公分母，再将方程两边的每一项都乘这个最简公分母，约去分母即可得到整式方程。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，若分子是多项式，去分母时要给分子整体加括号，避免出现符号错误。本题中两个分式的分母分别为3x和x，因此最简公分母是3x，按上述规则计算即可。
【解析】
解：分式方程$\frac{1}{3x} - \frac{2x+1}{x}=1$的最简公分母为$3x$，
给方程左右两边的每一项同时乘$3x$，得：
$\frac{1}{3x} × 3x - \frac{2x+1}{x} × 3x = 1 × 3x$，
约分后整理得：$1 - 3(2x+1) = 3x$，
与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程去分母
2. 最简公分母确定
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考查去分母的操作规范，易错点有两个：一是漏乘不含分母的常数项，二是分子为多项式时漏加括号导致符号错误，做题时需注意逐项相乘，规范书写。
【难度系数】
0.8

2. 解分式方程：
(1) $\frac{5}{x} = \frac{7}{x - 2}$；
(2) $\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3x + 3} + 1$。

2. 解：(1)方程的两边都乘$x(x-2)$，得$5(x-2)=7x$，解得$x=-5$。
经检验，$x=-5$是原分式方程的根。
所以分式方程的根为$x=-5$。
(2)方程的两边都乘$3(x+1)$，得$3x=2x+3x+3$，解得$x=-1.5$。
经检验，$x=-1.5$是原分式方程的根。
所以分式方程的根为$x=-1.5$。

【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将其转化为已学的整式方程求解，通用步骤为：①找最简公分母：先将可因式分解的分母分解因式，再确定所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，则该解是原分式方程的根，若为0则是增根需舍去。
第(1)题两个分母为x和x-2，最简公分母为x(x-2)；第(2)题先将3x+3分解为3(x+1)，可得最简公分母为3(x+1)，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$x(x-2)$，去分母得：
$5(x-2)=7x$
去括号得：$5x-10=7x$
移项、合并同类项得：$-2x=10$
系数化为1得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)=(-5)×(-5-2)=35≠0$，因此$x=-5$是原分式方程的根。
所以该分式方程的根为$x=-5$。
(2) 先将分母$3x+3$因式分解为$3(x+1)$，方程两边同时乘最简公分母$3(x+1)$，去分母得：
$3x=2x + 3(x+1)$
去括号得：$3x=2x+3x+3$
移项、合并同类项得：$-2x=3$
系数化为1得：$x=-1.5$
检验：当$x=-1.5$时，$3(x+1)=3×(-1.5+1)=-1.5≠0$，因此$x=-1.5$是原分式方程的根。
所以该分式方程的根为$x=-1.5$。
【答案】
(1) $x=-5$；(2) $x=-1.5$
【知识点】
分式方程的解法、一元一次方程的解法、分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，主要考查最简公分母的确定、去分母的运算，以及分式方程必须验根的核心注意点，熟练掌握分式方程的求解步骤即可快速准确解答。
【难度系数】
0.8

探究1：解方程：$\frac{1}{x-5}=\frac{10}{x^2-25}$。
解：方程的两边都乘最简公分母$(x-5)(x+5)$，得，
解得。
检验：将$x=5$代入原方程，分母$x-5=$，$x^2-25=$，相应的分式。因此，$x=5$不是原方程的解，即此分式方程无解。
探究2：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母的值为0，因此应如下检验：
(1)将整式方程的解代入，若的值不为零，则整式方程的解是的解；
(2)将整式方程的解代入，若的值为零，则整式方程的解不是的解，此时原分式方程无解。
新知生成：在分式方程变形中产生的使分式方程中分式的分母的值为的根，叫作原方程的增根。

探究1 $x+5=10$ $x=5$ $0$ $0$ 无意义
探究2 (1)最简公分母 最简公分母 原分式方程 (2)最简公分母 最简公分母 原分式方程
新知生成 零

【分析】
本题围绕分式方程的求解、检验规则及增根的定义设置问题，解题思路如下：首先处理探究1的分式方程，按照分式方程求解步骤，先去分母，给方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后再代入原方程检验分母是否为0；再结合探究1的检验过程，理解分式方程检验的逻辑，对应填写探究2的检验方法；最后根据增根的特征完成新知生成的概念填写。
【解析】
探究1
给方程$\frac{1}{x-5}=\frac{10}{x^2-25}$两边同乘最简公分母$(x-5)(x+5)$，左边约分后得$x+5$，右边得$10$，因此得到方程$x+5=10$；
解该整式方程，移项计算得$x=10-5=5$；
检验：将$x=5$代入原方程，分母$x-5=5-5=0$，$x^2-25=5^2-25=0$，分母为0时分式无意义，因此$x=5$不是原方程的解，原分式方程无解。
探究2
解分式方程检验的规则为：
(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，说明该解不会使原方程的分母为0，因此是原分式方程的解；
(2)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值为0，说明该解会使原方程的分母为0，因此不是原分式方程的解，此时原分式方程无解。
新知生成
根据增根的定义，在分式方程变形中产生的使分式方程中分式的分母的值为零的根，叫作原方程的增根。
【答案】
探究1 $x+5=10$ $x=5$ $0$ $0$ 无意义
探究2 (1)最简公分母 最简公分母 原分式方程 (2)最简公分母 最简公分母 原分式方程
新知生成 零
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的检验，增根的定义
【点评】
本题是分式方程的基础题型，通过具体解方程的实例引导学生逐步掌握分式方程的求解步骤，理解检验的必要性，同时明确增根的核心概念，为后续复杂分式方程的学习奠定基础。
【难度系数】
0.85