16.已知二次函数$y=x^2 -2x -1$，当$0≤ x≤3$时，函数的最大值为（）。

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$

D

【分析】
本题要求二次函数在限定自变量范围0≤x≤3内的最大值，解题思路如下：第一步先判断二次函数的开口方向，求出对称轴；第二步，由于开口向上的抛物线顶点是最小值点，因此限定区间内的最大值一定出现在区间的两个端点处，只需计算两个端点对应的函数值，比较大小即可得到最大值。
【解析】
首先将二次函数配方变形：
$y=x^2 - 2x - 1=(x^2-2x+1)-2=(x-1)^2-2$
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点$(1,-2)$是函数的最小值点。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-1=-1$；
当$x=3$时，$y=3^2-2×3-1=9-6-1=2$。
比较两个值的大小：$2＞-1$，因此函数在$0≤x≤3$范围内的最大值为2。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数最值的常考基础题，解题关键是结合抛物线的开口方向、对称轴与自变量取值范围的位置关系确定最值点，熟练掌握二次函数的图象性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

17.若二次函数$y=(x-m)^2 + m -3$的图象的对称轴是直线$x=2$，则它的图象的顶点坐标是。

$(2,-1)$

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：第一步，先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的结构特征，明确该形式下对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；第二步，将题干给出的函数式与顶点式对照，可得出对应参数$h=m$，顶点纵坐标$k=m-3$；第三步，结合已知对称轴为直线$x=2$，先求出$m$的值，再代入计算顶点的纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：$\because$ 二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$
已知二次函数解析式为$y=(x-m)^2 + m -3$，对应顶点式可得$h=m$，$k=m-3$
又$\because$ 该函数图象的对称轴是直线$x=2$
$\therefore$ $m=2$
将$m=2$代入$k=m-3$，得$k=2-3=-1$
$\therefore$ 该二次函数图象的顶点坐标为$(2,-1)$
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数对称轴
3.二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数顶点式中各参数意义的理解与应用，熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9

18.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D。
(1)求点A,B,C,D的坐标,并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象;
(2)说出二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象可由二次函数$y=x^2$的图象如何平移得到;
(3)求四边形OCDB的面积。

解:(1)当$y=0$时,$x^2-2x-3=0$。
解得$x_1=-1,x_2=3$。
$\because$点$A$在点$B$的左侧，
$\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$。
当$x=0$时,$y=-3$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-3)$。
又$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(1,-4)$。
二次函数的大致图象如图所示。
(2)$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
$\therefore$二次函数$y=x^2$的图象先向右平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度,可得到二次函数$y=x^2-2x-3$的图象。
(3)如图,连接$OD$,过点$D$作$DE⊥ y$轴于点$E$,作$DF⊥ x$轴于点$F$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OCDB}=S_{△ OCD}+S_{△ ODB}=\frac{1}{2}OC· DE+\frac{1}{2}OB· DF=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×4=\frac{15}{2}$。

【分析】
(1) 求二次函数与x轴交点时，令y=0解一元二次方程，结合点A在点B左侧的条件即可确定A、B坐标；求与y轴交点C时，令x=0代入解析式即可得到C点坐标；求顶点D时，将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式，可直接得到顶点坐标，再通过描点法即可画出函数大致图象。
(2) 二次函数图象平移遵循“左加右减、上加下减”的规律，将给定函数化为顶点式后，对比$y=x^2$的顶点坐标变化，即可得到平移方式。
(3) 四边形OCDB是不规则图形，可通过连接OD将其分割为$△ OCD$和$△ ODB$两个规则三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 求A、B坐标：令$y=0$，得$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，$\because$点A在点B左侧，$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$。
求C坐标：令$x=0$，得$y=-3$，$\therefore C(0,-3)$。
求D坐标：将解析式配方得$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，$\therefore$顶点$D(1,-4)$。
二次函数大致图象如图所示：
(2) 由$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，根据二次函数平移规律，可知将$y=x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到$y=x^2-2x-3$的图象（或先向下平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度）。
(3) 连接$OD$，过点$D$作$DE⊥y$轴于点$E$，作$DF⊥x$轴于点$F$：
$S_{四边形OCDB}=S_{△ OCD}+S_{△ ODB}$
$=\frac{1}{2}·OC·DE+\frac{1}{2}·OB·DF$
$=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×4$
$=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}$
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$，$D(1,-4)$，图象见；
(2) 将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度（或先向下平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度）；
(3) 四边形OCDB的面积为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数图象平移
3. 割补法求面积
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，覆盖了坐标求解、图象平移、不规则图形面积计算等常见考点，侧重对基础方法的应用，熟练掌握二次函数的基本性质和割补法的使用是解题的关键。
【难度系数】
0.7

19.在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示。

(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，当$0≤ x≤3$时，图象对应的函数最大值与最小值的差为5，求$n$的值。

解:(1)综合表格数据可得二次函数图象的对称轴是直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
$\therefore$可设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。
又$\because$图象过点$(0,-2),(1,1)$,
$\therefore\begin{cases}-2=a(0+1)^2+k,\\1=a(1+1)^2+k,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a=1,\\k=-3。\end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-3$,即$y=x^2+2x-2$。
(2)由(1)可得二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
作图如图所示。
(3)由题意,知将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后,得到的图象对应的函数表达式为$y=(x+1-n)^2-3$。
$\therefore$此时图象的对称轴是直线$x=n-1$,函数图象开口向上。
①当$3≤ n-1$,即$n≥4$时,
当$x=0$时,$y$取最大值,为$(1-n)^2-3$;
当$x=3$时,$y$取最小值,为$(4-n)^2-3$。
$\because$最大值与最小值的差为5,
$\therefore(1-n)^2-3-(4-n)^2+3=5$。
$\therefore n=\frac{10}{3}＜4$,不合题意。
②当$0＜n-1＜3$,即$1＜n＜4$时,
当$x=0$或$x=3$时,$y$取最大值,为$(1-n)^2-3$或$(4-n)^2-3$;当$x=n-1$时,$y$取最小值,为$-3$。
$\because$最大值与最小值的差为5,
$\therefore(1-n)^2-3+3=5$或$(4-n)^2-3+3=5$。
$\therefore n=1+\sqrt{5}$或$n=1-\sqrt{5}$(不合题意,舍去)或$n=4+\sqrt{5}$(不合题意,舍去)或$n=4-\sqrt{5}$。
③当$n-1≤0$,即$n≤1$时,
当$x=0$时,$y$取最小值,为$(1-n)^2-3$;
当$x=3$时,$y$取最大值,为$(4-n)^2-3$。
$\because$最大值与最小值的差为5。
$\therefore(4-n)^2-3-(1-n)^2+3=5$。
$\therefore n=\frac{5}{3}＞1$,不合题意。
综上,$n=1+\sqrt{5}$或$n=4-\sqrt{5}$。

【分析】
(1)求二次函数表达式时，先观察图象特征确定对称轴为直线$x=-1$，因此选择顶点式设解析式，再代入两个已知点坐标求解参数，即可得到二次函数表达式。
(2)顶点式可直接读出顶点坐标，画图时选取顶点、与坐标轴交点等特殊点，描点连线即可得到二次函数图象。
(3)二次函数图象向右平移遵循“左加右减”的规则，得到新函数解析式后，因新函数开口向上，在区间$0≤x≤3$内的最值与对称轴和区间的位置关系有关，因此分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论，分别求出对应最值后根据最值差为5列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的范围，舍去不合题意的解即可。
【解析】
(1)由图象可知二次函数图象的对称轴是直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$，
$\therefore$可设二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+k$。
$\because$图象过点$(0,-2),(1,1)$，
$\therefore$代入得$\begin{cases}-2=a(0+1)^2+k\\1=a(1+1)^2+k\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=1\\k=-3\end{cases}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=(x+1)^2-3$，即$y=x^2+2x-2$。
(2)由顶点式$y=(x+1)^2-3$可得，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
作图如图所示。
(3)将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，根据“左加右减”的平移规则，得到的图象对应的函数表达式为$y=(x+1-n)^2-3$，
$\therefore$新函数图象的对称轴是直线$x=n-1$，且函数图象开口向上。
分三种情况讨论：
①当$3≤ n-1$，即$n≥4$时：
区间$0≤x≤3$在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x=0$时，$y$取最大值，为$(1-n)^2-3$；当$x=3$时，$y$取最小值，为$(4-n)^2-3$。
由最大值与最小值的差为5，列方程：
$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，
解得$n=\frac{10}{3}＜4$，不符合$n≥4$的前提，舍去。
②当$0＜n-1＜3$，即$1＜n＜4$时：
对称轴在区间$0≤x≤3$内，
$\therefore$当$x=n-1$时，$y$取最小值，为$-3$；最大值在区间端点处取得，即当$x=0$时$y=(1-n)^2-3$，或当$x=3$时$y=(4-n)^2-3$。
由最值差为5列方程：
若$(1-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$不符合$1＜n＜4$，舍去）；
若$(4-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$不符合$1＜n＜4$，舍去）。
两个解均符合$1＜n＜4$的范围，保留。
③当$n-1≤0$，即$n≤1$时：
区间$0≤x≤3$在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=0$时，$y$取最小值，为$(1-n)^2-3$；当$x=3$时，$y$取最大值，为$(4-n)^2-3$。
由最值差为5列方程：
$(4-n)^2-3 - [(1-n)^2-3]=5$，
解得$n=\frac{5}{3}＞1$，不符合$n≤1$的前提，舍去。
综上，$n$的值为$1+\sqrt{5}$或$4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$y=x^2+2x-2$；
(2)顶点坐标为$(-1,-3)$，作图见；
(3)$n=1+\sqrt{5}$或$n=4-\sqrt{5}$。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数图象与性质；二次函数平移与最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关知识，解题时要灵活选择解析式的形式简化计算，在处理区间最值问题时，要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系分类讨论，同时要注意对所求结果进行验证，舍去不符合题意的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5