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20.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成。已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的表达式。
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)变化满足的函数关系为$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$。当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多长时间禁止船只通行?
(1)求抛物线的表达式。
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)变化满足的函数关系为$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$。当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁止船只通行。请通过计算说明:在这一时段内,需多长时间禁止船只通行?
答案
解:(1)根据题意,得顶点$C$的坐标为$(0,11)$,点$B$的坐标为$(8,8)$。
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+c$,
则$\begin{cases}a×0+c=11,\\a×8^2+c=8,\end{cases}$
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$。
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
(2)令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=11-5$,
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$的图象变化可知,当$3≤ t≤35$时,水面到顶点$C$的距离不大于5 m,需禁止船只通行,禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
$\therefore$在这一时段内,需32 h禁止船只通行。
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+c$,
则$\begin{cases}a×0+c=11,\\a×8^2+c=8,\end{cases}$
解得$a=-\frac{3}{64},c=11$。
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{64}x^2+11$。
(2)令$-\frac{1}{128}(t-19)^2+8=11-5$,
解得$t_1=3,t_2=35$。
由二次函数$h=-\frac{1}{128}(t-19)^2+8(0≤ t≤40)$的图象变化可知,当$3≤ t≤35$时,水面到顶点$C$的距离不大于5 m,需禁止船只通行,禁止船只通行的时间为$35-3=32(\mathrm{h})$。
$\therefore$在这一时段内,需32 h禁止船只通行。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式首先要确定解析式形式：本题抛物线对称轴为y轴，无一次项，因此设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。接下来找已知点坐标：顶点C到ED（x轴）距离为11，故C(0,11)；ED长16m，BD=AE=8m，故B点坐标为(8,8)。将两点代入解析式解二元一次方程组，即可求出a、c的值得到表达式。
(2) 先转化实际条件：水面到C的距离不大于5m，即水面高度$h≥11-5=6m$。令h的函数表达式等于6求出对应的t值，结合h的函数开口向下的性质，可知h≥6对应的t范围在两个解之间，两解的差值就是禁止通行的时长。
【解析】
(1) 由题意得顶点C坐标为(0,11)，点B坐标为(8,8)。
设抛物线表达式为$y=ax^2+c(a≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}a×0^2+c=11\\a×8^2+c=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{64}\\c=11\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$。
(2) 水面到顶点C的距离不大于5m时，水面高度h满足$h≥11-5=6$。
令$-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8=6$，
整理得$(t-19)^2=256$，
解得$t_1=3$，$t_2=35$。
$\because$二次函数$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$开口向下，
$\therefore$当$3≤t≤35$时，$h≥6$，满足禁止通行条件，
禁止通行时长为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$
(2) $\mathrm{32\ h}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，第一问考查待定系数法求解析式，关键是准确提取图中点的坐标；第二问考查实际问题向数学问题的转化能力，结合二次函数图象性质求解取值区间，侧重对基础知识和转化思维的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线表达式首先要确定解析式形式：本题抛物线对称轴为y轴，无一次项，因此设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。接下来找已知点坐标：顶点C到ED（x轴）距离为11，故C(0,11)；ED长16m，BD=AE=8m，故B点坐标为(8,8)。将两点代入解析式解二元一次方程组，即可求出a、c的值得到表达式。
(2) 先转化实际条件：水面到C的距离不大于5m，即水面高度$h≥11-5=6m$。令h的函数表达式等于6求出对应的t值，结合h的函数开口向下的性质，可知h≥6对应的t范围在两个解之间，两解的差值就是禁止通行的时长。
【解析】
(1) 由题意得顶点C坐标为(0,11)，点B坐标为(8,8)。
设抛物线表达式为$y=ax^2+c(a≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}a×0^2+c=11\\a×8^2+c=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{64}\\c=11\end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$。
(2) 水面到顶点C的距离不大于5m时，水面高度h满足$h≥11-5=6$。
令$-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8=6$，
整理得$(t-19)^2=256$，
解得$t_1=3$，$t_2=35$。
$\because$二次函数$h=-\dfrac{1}{128}(t-19)^2+8$开口向下，
$\therefore$当$3≤t≤35$时，$h≥6$，满足禁止通行条件，
禁止通行时长为$35-3=32(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{64}x^2+11$
(2) $\mathrm{32\ h}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，第一问考查待定系数法求解析式，关键是准确提取图中点的坐标；第二问考查实际问题向数学问题的转化能力，结合二次函数图象性质求解取值区间，侧重对基础知识和转化思维的考查。
【难度系数】
0.7
21.已知抛物线 $y=x^2 - ax +5$（$a$ 为常数）经过点$(1,0)$。
(1)求$a$的值；
(2)若过点$A(0,t)$且与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值；
(3)设$m＜3＜n$，抛物线的一段 $y=x^2 - ax +5$（$m≤x≤n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间，若直线$l_1,l_2$之间的距离为16，求$n-m$的最大值。
(1)求$a$的值；
(2)若过点$A(0,t)$且与$x$轴平行的直线交抛物线于$B,C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值；
(3)设$m＜3＜n$，抛物线的一段 $y=x^2 - ax +5$（$m≤x≤n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_1,l_2$之间，若直线$l_1,l_2$之间的距离为16，求$n-m$的最大值。
答案
解:(1)把点$(1,0)$的坐标代入,得$1-a+5=0$,解得$a=6$。
(2)由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$,
$\therefore$其对称轴为直线$x=3$。
$\because$点$A$的坐标为$(0,t)$,且点$B$为线段$AC$的中点,
$\therefore$设点$B(s,t)$,则点$C(2s,t)$。
如图①,由对称性可得$\frac{s+2s}{2}=3$,解得$s=2$。当$s=2$时,$t=-3$。
(3)设$l_1$在$l_2$的下方,如图②所示。
$\because y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$,
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$。
$\because$抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤ x≤ n)$夹在平行线$l_1,l_2$之间,且$m＜3＜n$,
$\therefore l_1$不能在顶点$(3,-4)$上方。
$\because$直线$l_1,l_2$之间的距离为16,
$\therefore$要使$n-m$最大,$l_1$经过顶点$(3,-4)$,此时$l_2$为直线$y=12$,
$\therefore$当$y=12$时,$(x-3)^2-4=12$,
解得$x_1=-1,x_2=7$。
$\therefore n-m$的最大值为$7-(-1)=8$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过定点，将点的坐标直接代入抛物线解析式，即可得到关于参数a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 先由(1)的结果得到完整的抛物线解析式，求出抛物线的对称轴。过A的直线与x轴平行，因此B、C两点的纵坐标均为t，且两点关于抛物线的对称轴对称。结合B是AC中点的条件，设出B、C的坐标，利用对称轴是两点横坐标的中点这一性质列方程求解，得到B点横坐标后代入解析式即可求出t的值。
(3) 先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，可知抛物线的最小值为-4。要使n-m最大，需让区间[m,n]包含的抛物线段尽可能长，因此让下方直线$l_1$经过抛物线的顶点（对应y=-4），则上方直线$l_2$对应的y值为$-4+16=12$，再求解y=12时对应的x值，两个x的差就是n-m的最大值。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入$y=x^2 - ax +5$，得：
$1 - a + 5 = 0$
解得$a=6$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2 - 6x + 5$，其对称轴为直线$x=\frac{6}{2}=3$。
设点$B(s,t)$，因为B是线段AC的中点，A点坐标为$(0,t)$，所以C点坐标为$(2s,t)$。
由于B、C是平行于x轴的直线与抛物线的交点，两点关于对称轴对称，因此$\frac{s+2s}{2}=3$，解得$s=2$。
将$x=2$代入$y=x^2 - 6x + 5$，得$t=2^2 - 6×2 + 5 = -3$。
(3) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2 - 6x + 5=(x-3)^2 - 4$，因此抛物线顶点坐标为$(3,-4)$，即抛物线的最小值为-4。
要使$n-m$最大，需让$l_1$经过顶点$(3,-4)$，此时$l_2$对应的函数值为$-4+16=12$。
令$y=12$，则$(x-3)^2 - 4 = 12$，即$(x-3)^2=16$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
因此$n-m$的最大值为$7 - (-1)=8$。
【答案】
解:(1)把点$(1,0)$的坐标代入,得$1-a+5=0$,解得$a=6$。
(2)由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$,
$\therefore$其对称轴为直线$x=3$。
$\because$点$A$的坐标为$(0,t)$,且点$B$为线段$AC$的中点,
$\therefore$设点$B(s,t)$,则点$C(2s,t)$。
如图①,由对称性可得$\frac{s+2s}{2}=3$,解得$s=2$。当$s=2$时,$t=-3$。
(3)设$l_1$在$l_2$的下方,如图②所示。
$\because y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$,
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$。
$\because$抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤ x≤ n)$夹在平行线$l_1,l_2$之间,且$m＜3＜n$,
$\therefore l_1$不能在顶点$(3,-4)$上方。
$\because$直线$l_1,l_2$之间的距离为16,
$\therefore$要使$n-m$最大,$l_1$经过顶点$(3,-4)$,此时$l_2$为直线$y=12$,
$\therefore$当$y=12$时,$(x-3)^2-4=12$,
解得$x_1=-1,x_2=7$。
$\therefore n-m$的最大值为$7-(-1)=8$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题围绕二次函数核心性质展开，从基础参数求解到对称性应用，再到区间最值分析，层层递进，需要结合数形结合思想分析图象特点，能够有效检验对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
(1) 已知抛物线经过定点，将点的坐标直接代入抛物线解析式，即可得到关于参数a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 先由(1)的结果得到完整的抛物线解析式，求出抛物线的对称轴。过A的直线与x轴平行，因此B、C两点的纵坐标均为t，且两点关于抛物线的对称轴对称。结合B是AC中点的条件，设出B、C的坐标，利用对称轴是两点横坐标的中点这一性质列方程求解，得到B点横坐标后代入解析式即可求出t的值。
(3) 先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，可知抛物线的最小值为-4。要使n-m最大，需让区间[m,n]包含的抛物线段尽可能长，因此让下方直线$l_1$经过抛物线的顶点（对应y=-4），则上方直线$l_2$对应的y值为$-4+16=12$，再求解y=12时对应的x值，两个x的差就是n-m的最大值。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入$y=x^2 - ax +5$，得：
$1 - a + 5 = 0$
解得$a=6$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=x^2 - 6x + 5$，其对称轴为直线$x=\frac{6}{2}=3$。
设点$B(s,t)$，因为B是线段AC的中点，A点坐标为$(0,t)$，所以C点坐标为$(2s,t)$。
由于B、C是平行于x轴的直线与抛物线的交点，两点关于对称轴对称，因此$\frac{s+2s}{2}=3$，解得$s=2$。
将$x=2$代入$y=x^2 - 6x + 5$，得$t=2^2 - 6×2 + 5 = -3$。
(3) 将抛物线解析式化为顶点式：$y=x^2 - 6x + 5=(x-3)^2 - 4$，因此抛物线顶点坐标为$(3,-4)$，即抛物线的最小值为-4。
要使$n-m$最大，需让$l_1$经过顶点$(3,-4)$，此时$l_2$对应的函数值为$-4+16=12$。
令$y=12$，则$(x-3)^2 - 4 = 12$，即$(x-3)^2=16$，解得$x_1=-1$，$x_2=7$。
因此$n-m$的最大值为$7 - (-1)=8$。
【答案】
解:(1)把点$(1,0)$的坐标代入,得$1-a+5=0$,解得$a=6$。
(2)由(1)知抛物线的表达式为$y=x^2-6x+5$,
$\therefore$其对称轴为直线$x=3$。
$\because$点$A$的坐标为$(0,t)$,且点$B$为线段$AC$的中点,
$\therefore$设点$B(s,t)$,则点$C(2s,t)$。
如图①,由对称性可得$\frac{s+2s}{2}=3$,解得$s=2$。当$s=2$时,$t=-3$。
(3)设$l_1$在$l_2$的下方,如图②所示。
$\because y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$,
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(3,-4)$。
$\because$抛物线的一段$y=x^2-ax+5(m≤ x≤ n)$夹在平行线$l_1,l_2$之间,且$m＜3＜n$,
$\therefore l_1$不能在顶点$(3,-4)$上方。
$\because$直线$l_1,l_2$之间的距离为16,
$\therefore$要使$n-m$最大,$l_1$经过顶点$(3,-4)$,此时$l_2$为直线$y=12$,
$\therefore$当$y=12$时,$(x-3)^2-4=12$,
解得$x_1=-1,x_2=7$。
$\therefore n-m$的最大值为$7-(-1)=8$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题围绕二次函数核心性质展开，从基础参数求解到对称性应用，再到区间最值分析，层层递进，需要结合数形结合思想分析图象特点，能够有效检验对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
