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1. 一元二次方程的求根公式:一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$,当$b^2 - 4ac ≥ 0$时,它的实数根为
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
。答案
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的识记，解题思路如下：首先明确一元二次方程的定义要求二次项系数$a≠0$，当判别式$b^2-4ac≥0$时方程存在两个实数根，我们既可以通过配方法推导得到根的表达式，也可以直接调用已学的求根公式结论直接作答。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$b^2-4ac≥0$时，推导过程如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$；
4. 整理得完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
5. 开平方：因为$b^2-4ac≥0$，等号两边开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
6. 移项整理得根的表达式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考查核心公式的记忆与推导逻辑，熟练掌握求根公式是求解一元二次方程及后续研究根的相关性质的必备基础，需要准确记忆公式的形式与适用条件。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程求根公式的识记，解题思路如下：首先明确一元二次方程的定义要求二次项系数$a≠0$，当判别式$b^2-4ac≥0$时方程存在两个实数根，我们既可以通过配方法推导得到根的表达式，也可以直接调用已学的求根公式结论直接作答。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$b^2-4ac≥0$时，推导过程如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$；
4. 整理得完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
5. 开平方：因为$b^2-4ac≥0$，等号两边开平方得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
6. 移项整理得根的表达式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
【答案】
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考查核心公式的记忆与推导逻辑，熟练掌握求根公式是求解一元二次方程及后续研究根的相关性质的必备基础，需要准确记忆公式的形式与适用条件。
【难度系数】
0.9
2.一元二次方程的根与系数的关系：
如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根$x_1,x_2$,
么$x_1+x_2=$
说明：一元二次方程的根与系数的关系是由16世纪的法国数学家韦达发现的，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是$\Delta≥0$。
如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根$x_1,x_2$,
么$x_1+x_2=$$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2=$$\frac{c}{a}$
。说明：一元二次方程的根与系数的关系是由16世纪的法国数学家韦达发现的，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是$\Delta≥0$。
答案
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
解析
【分析】
要推导一元二次方程两根之和与两根之积的结果，我们可以借助已经学过的一元二次方程求根公式计算：先写出两个实数根的表达式，再分别计算两根的和与积，化简后就能得到对应结论。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）在$\Delta=b^2-4ac≥0$时的两个实数根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
2. 计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\end{aligned}$
分子符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，因此：
分子$=(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2=b^2-(b^2-4ac)=4ac$
分母$=2a×2a=4a^2$
因此$x_1x_2=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察对一元二次方程根与系数关系的掌握，既可以直接识记结论作答，也可通过求根公式推导得出，该结论是解决一元二次方程相关综合题的常用基础公式。
【难度系数】
0.9
要推导一元二次方程两根之和与两根之积的结果，我们可以借助已经学过的一元二次方程求根公式计算：先写出两个实数根的表达式，再分别计算两根的和与积，化简后就能得到对应结论。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）在$\Delta=b^2-4ac≥0$时的两个实数根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
2. 计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\end{aligned}$
分子符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，因此：
分子$=(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2=b^2-(b^2-4ac)=4ac$
分母$=2a×2a=4a^2$
因此$x_1x_2=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察对一元二次方程根与系数关系的掌握，既可以直接识记结论作答，也可通过求根公式推导得出，该结论是解决一元二次方程相关综合题的常用基础公式。
【难度系数】
0.9
1.若一元二次方程$x^2 - x -6=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2$的值为(
A.1
B.$-1$
C.$0$
D.$-6$
A
)。A.1
B.$-1$
C.$0$
D.$-6$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。解题时先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算即可，无需解方程求根，可简化计算过程。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 -x -6=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入系数计算得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$
故选A。
（若通过解方程验证：因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，则$x_1+x_2=3+(-2)=1$，结果一致。）
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础题，直接考察根与系数关系的基础应用，解题关键是准确提取一元二次方程的各项系数，牢记两根之和的计算公式，熟练掌握该知识点可快速得出结果，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。解题时先确定给定方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算即可，无需解方程求根，可简化计算过程。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 -x -6=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入系数计算得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$
故选A。
（若通过解方程验证：因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$，则$x_1+x_2=3+(-2)=1$，结果一致。）
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础题，直接考察根与系数关系的基础应用，解题关键是准确提取一元二次方程的各项系数，牢记两根之和的计算公式，熟练掌握该知识点可快速得出结果，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
2.若方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，则$x_1x_2 = (\quad)$。
A.$-2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$2$
D.$-\frac{4}{3}$
A.$-2$
B.$\frac{4}{3}$
C.$2$
D.$-\frac{4}{3}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则两根之积的计算公式为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来只需从给定方程中准确找出$a、c$的取值（注意要带系数本身的符号），代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$，其中二次项系数$a=3$，常数项$c=-4$，代入上述公式得：
$x_1x_2=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础考点，考查韦达定理的直接应用，解题核心是准确识别一元二次方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免因看错符号出现计算失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则两根之积的计算公式为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。接下来只需从给定方程中准确找出$a、c$的取值（注意要带系数本身的符号），代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$3x^2 + 6x - 4 = 0$，其中二次项系数$a=3$，常数项$c=-4$，代入上述公式得：
$x_1x_2=\frac{-4}{3}=-\frac{4}{3}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础考点，考查韦达定理的直接应用，解题核心是准确识别一元二次方程各项的系数，尤其要注意常数项的符号，避免因看错符号出现计算失误。
【难度系数】
0.8
3.已知实数$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=-12$，则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是（$\quad\quad$）。
A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 +7x +12=0$
A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 +7x +12=0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 先回忆二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程的构造规则：方程的一次项系数为两根之和的相反数，常数项为两根之积，即方程形式为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$；2. 提取题目给出的两根之和与两根之积的数值，直接代入上述公式，整理后匹配选项即可得出答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程可表示为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将已知条件$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=-12$代入上式：
$x^2 - 7x + (-12) = 0$
整理可得：$x^2 -7x -12=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，只要熟练掌握二次项系数为1时一元二次方程的构造规则，代入数值即可快速得到答案，是该知识点的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：1. 先回忆二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程的构造规则：方程的一次项系数为两根之和的相反数，常数项为两根之积，即方程形式为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$；2. 提取题目给出的两根之和与两根之积的数值，直接代入上述公式，整理后匹配选项即可得出答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，当二次项系数为1时，以$x_1$、$x_2$为根的一元二次方程可表示为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将已知条件$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=-12$代入上式：
$x^2 - 7x + (-12) = 0$
整理可得：$x^2 -7x -12=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，只要熟练掌握二次项系数为1时一元二次方程的构造规则，代入数值即可快速得到答案，是该知识点的常考基础题。
【难度系数】
0.9
4.若$x_1,x_2$是方程$x^2+x-1=0$的两个实数根，则$(x_1-2)(x_2-2)$的值为(
A.2
B.4
C.5
D.−2
C
)。A.2
B.4
C.5
D.−2
答案
C
解析
【分析】
题目给出一元二次方程的两个实根，求关于两根的代数式的值，若直接求解方程的根再代入计算会比较繁琐，因此优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步根据方程的系数求出两根之和、两根之积；第二步利用多项式乘法法则将所求代数式展开，整理为只含两根之和、两根之积的形式；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2+x-1=0$的两个实数根，该方程中$a=1,b=1,c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$。
将待求式展开整理：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2x_1-2x_2+4=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
代入$x_1+x_2=-1$、$x_1x_2=-1$计算：
原式$=-1 -2×(-1)+4=-1+2+4=5$
【答案】
C
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 多项式乘多项式
3. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，可大幅简化计算，避免求解方程根的复杂运算，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
题目给出一元二次方程的两个实根，求关于两根的代数式的值，若直接求解方程的根再代入计算会比较繁琐，因此优先考虑用根与系数的关系（韦达定理）求解。解题思路如下：第一步根据方程的系数求出两根之和、两根之积；第二步利用多项式乘法法则将所求代数式展开，整理为只含两根之和、两根之积的形式；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2+x-1=0$的两个实数根，该方程中$a=1,b=1,c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$。
将待求式展开整理：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2x_1-2x_2+4=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
代入$x_1+x_2=-1$、$x_1x_2=-1$计算：
原式$=-1 -2×(-1)+4=-1+2+4=5$
【答案】
C
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 多项式乘多项式
3. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和与两根之积的组合形式，可大幅简化计算，避免求解方程根的复杂运算，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5.若一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$为
0
。答案
0
解析
【分析】
求解本题有两种常用思路：思路一，先通过因式分解法解出一元二次方程的两个实数根，再直接计算两根的乘积；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程，只需确定方程标准形式下的二次项系数a和常数项c，根据“两根之积等于$\frac{c}{a}$”直接计算，更为便捷。
【解析】
方法1：先解方程求根计算
对原方程因式分解可得：$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1x_2=0×2=0$。
方法2：利用根与系数的关系计算
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
原方程$x^2-2x=0$符合标准形式，其中$a=1$，$c=0$，
代入得$x_1x_2=\frac{0}{1}=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以通过直接解方程求根计算，也可以利用根与系数的关系快速求解，核心考查对基础公式和一元二次方程解法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
求解本题有两种常用思路：思路一，先通过因式分解法解出一元二次方程的两个实数根，再直接计算两根的乘积；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需解方程，只需确定方程标准形式下的二次项系数a和常数项c，根据“两根之积等于$\frac{c}{a}$”直接计算，更为便捷。
【解析】
方法1：先解方程求根计算
对原方程因式分解可得：$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1x_2=0×2=0$。
方法2：利用根与系数的关系计算
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
原方程$x^2-2x=0$符合标准形式，其中$a=1$，$c=0$，
代入得$x_1x_2=\frac{0}{1}=0$。
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，既可以通过直接解方程求根计算，也可以利用根与系数的关系快速求解，核心考查对基础公式和一元二次方程解法的掌握程度。
【难度系数】
0.9
6.已知－3是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个实数根，则方程的另一个实数根是
7
。答案
7
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需计算常数项c即可快速求出另一根，是本题最优解法。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和等于$-\frac{b}{a}$，本题已知方程的一个根，设出另一根后代入两根和的公式即可求解；思路二：先将已知根代入原方程求出常数c，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个实数根为$m$，
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，
根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}=4$，
因此有$m + (-3) = 4$，
解得$m=4+3=7$。
方法二（代入求参法）：
把$x=-3$代入方程$x^2 -4x +c=0$，得：
$(-3)^2 -4×(-3) + c = 0$
计算得$9+12+c=0$，解得$c=-21$，
则原方程为$x^2 -4x -21=0$，
因式分解得$(x-7)(x+3)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-3$，
因此方程的另一个实数根为7。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都可以得到正确结果，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.85
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需计算常数项c即可快速求出另一根，是本题最优解法。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和等于$-\frac{b}{a}$，本题已知方程的一个根，设出另一根后代入两根和的公式即可求解；思路二：先将已知根代入原方程求出常数c，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个实数根为$m$，
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，
根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}=4$，
因此有$m + (-3) = 4$，
解得$m=4+3=7$。
方法二（代入求参法）：
把$x=-3$代入方程$x^2 -4x +c=0$，得：
$(-3)^2 -4×(-3) + c = 0$
计算得$9+12+c=0$，解得$c=-21$，
则原方程为$x^2 -4x -21=0$，
因式分解得$(x-7)(x+3)=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-3$，
因此方程的另一个实数根为7。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解法都可以得到正确结果，熟练运用根与系数的关系可以简化计算步骤，提高解题速度。
【难度系数】
0.85
7.已知$x_1,x_2$是方程$3x^2 - 2x -7=0$的两个实数根，不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2)$(x_1 - x_2)^2$；
(3)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})$；
(4)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。
(1)$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2)$(x_1 - x_2)^2$；
(3)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})$；
(4)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。
答案
易得$x_1+x_2=\frac{2}{3},x_1x_2=-\frac{7}{3}$。
(1)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac{14}{9}$。
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{4}{9}-4×(-\frac{7}{3})=\frac{88}{9}$。
(3)原式$=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{16}{21}$。
(4)原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{46}{21}$。
(1)原式$=x_1x_2(x_1+x_2)=-\frac{14}{9}$。
(2)原式$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{4}{9}-4×(-\frac{7}{3})=\frac{88}{9}$。
(3)原式$=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{16}{21}$。
(4)原式$=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{46}{21}$。
解析
【分析】
解题首先要回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们先根据给定方程求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再通过因式分解、完全平方公式、通分等方法，将每个待求代数式变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可，无需解方程求根，可大幅简化计算。
【解析】
对于方程$3x^2 - 2x -7=0$，$a=3$，$b=-2$，$c=-7$，根据韦达定理得：
$x_1+x_2=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=-\frac{7}{3}$
(1) 对原式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：
原式$=(-\frac{7}{3})×\frac{2}{3}=-\frac{14}{9}$
(2) 根据完全平方公式变形：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{2}{3})^2-4×(-\frac{7}{3})=\frac{4}{9}+\frac{28}{3}=\frac{88}{9}$
(3) 先展开原式化简：
$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})=x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2$
代入数值计算：
原式$=-\frac{7}{3}+(-\frac{3}{7})+2=-\frac{16}{21}$
(4) 先通分变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(\frac{2}{3})^2-2×(-\frac{7}{3})}{-\frac{7}{3}}=\frac{\frac{46}{9}}{-\frac{7}{3}}=-\frac{46}{21}$
【答案】
$x_1+x_2=\frac{2}{3},x_1x_2=-\frac{7}{3}$；(1)$-\frac{14}{9}$；(2)$\frac{88}{9}$；(3)$-\frac{16}{21}$；(4)$-\frac{46}{21}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式恒等变形 3.整体代入求值
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是掌握常见代数式的变形技巧，将待求式转化为仅含两根和、两根积的形式，计算过程中要特别注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。我们先根据给定方程求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，再通过因式分解、完全平方公式、通分等方法，将每个待求代数式变形为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后整体代入计算即可，无需解方程求根，可大幅简化计算。
【解析】
对于方程$3x^2 - 2x -7=0$，$a=3$，$b=-2$，$c=-7$，根据韦达定理得：
$x_1+x_2=\frac{2}{3}$，$x_1x_2=-\frac{7}{3}$
(1) 对原式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
代入数值计算：
原式$=(-\frac{7}{3})×\frac{2}{3}=-\frac{14}{9}$
(2) 根据完全平方公式变形：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：
原式$=(\frac{2}{3})^2-4×(-\frac{7}{3})=\frac{4}{9}+\frac{28}{3}=\frac{88}{9}$
(3) 先展开原式化简：
$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})=x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2$
代入数值计算：
原式$=-\frac{7}{3}+(-\frac{3}{7})+2=-\frac{16}{21}$
(4) 先通分变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：
原式$=\frac{(\frac{2}{3})^2-2×(-\frac{7}{3})}{-\frac{7}{3}}=\frac{\frac{46}{9}}{-\frac{7}{3}}=-\frac{46}{21}$
【答案】
$x_1+x_2=\frac{2}{3},x_1x_2=-\frac{7}{3}$；(1)$-\frac{14}{9}$；(2)$\frac{88}{9}$；(3)$-\frac{16}{21}$；(4)$-\frac{46}{21}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.代数式恒等变形 3.整体代入求值
【点评】
本题核心考查韦达定理的应用，解题关键是掌握常见代数式的变形技巧，将待求式转化为仅含两根和、两根积的形式，计算过程中要特别注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的方程$x^2 + 2x + a - 2 = 0$。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数$a$的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求$a$的值及该方程的另一个实数根。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数$a$的取值范围；
(2)若该方程的一个实数根为1，求$a$的值及该方程的另一个实数根。
答案
(1)根据题意，得$\Delta=2^2-4(a-2)=12-4a＞0$。
解得$a＜3$。
(2)$a$的值是$-1$，该方程的另一个根为$-3$。
解得$a＜3$。
(2)$a$的值是$-1$，该方程的另一个根为$-3$。
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程，其根的数量和判别式$\Delta$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们只需先确定给定方程的各项系数，代入判别式公式，再结合已知条件列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
（2）解题可以选用两种思路：思路1，将已知的根代入原方程，即可得到关于$a$的一元一次方程，求出$a$后再代入原方程求解就能得到另一个根；思路2，利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之和、两根之积的公式直接计算另一个根和$a$的值，计算更简便。
【解析】
（1）方程$x^2 + 2x + a - 2 = 0$中，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a-2$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(a-2) = 4 - 4a + 8 = 12 - 4a ＞ 0$
解不等式：$4a ＜ 12$，得$a ＜ 3$。
（2）设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和：$1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$，解得$x_2 = -3$
两根之积：$1× x_2 = a - 2$，将$x_2=-3$代入得：$-3 = a - 2$，解得$a=-1$。
（或用代入法：把$x=1$代入原方程得$1+2+a-2=0$，解得$a=-1$，代入原方程得$x^2+2x-3=0$，解得另一根为$-3$）
【答案】
(1)$a ＜ 3$；
(2)$a$的值是$-1$，该方程的另一个根为$-3$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察根的判别式、根与系数关系的应用，熟练掌握相关性质可以快速解题，也为后续解决更复杂的一元二次方程问题打好基础。
【难度系数】
0.8
（1）对于一元二次方程，其根的数量和判别式$\Delta$的取值直接相关：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们只需先确定给定方程的各项系数，代入判别式公式，再结合已知条件列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
（2）解题可以选用两种思路：思路1，将已知的根代入原方程，即可得到关于$a$的一元一次方程，求出$a$后再代入原方程求解就能得到另一个根；思路2，利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之和、两根之积的公式直接计算另一个根和$a$的值，计算更简便。
【解析】
（1）方程$x^2 + 2x + a - 2 = 0$中，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为$a-2$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，代入系数得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(a-2) = 4 - 4a + 8 = 12 - 4a ＞ 0$
解不等式：$4a ＜ 12$，得$a ＜ 3$。
（2）设方程的另一个根为$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之和：$1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$，解得$x_2 = -3$
两根之积：$1× x_2 = a - 2$，将$x_2=-3$代入得：$-3 = a - 2$，解得$a=-1$。
（或用代入法：把$x=1$代入原方程得$1+2+a-2=0$，解得$a=-1$，代入原方程得$x^2+2x-3=0$，解得另一根为$-3$）
【答案】
(1)$a ＜ 3$；
(2)$a$的值是$-1$，该方程的另一个根为$-3$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察根的判别式、根与系数关系的应用，熟练掌握相关性质可以快速解题，也为后续解决更复杂的一元二次方程问题打好基础。
【难度系数】
0.8
