9. 一元二次方程 $x^{2}+3x-1=0$ 的两个实数根为 $x_1,x_2$, 则 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$ 的值为()。

A.$\dfrac{3}{2}$
B.$-3$
C.$3$
D.$-\dfrac{3}{2}$

C

【分析】
要计算两根的倒数和$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$，首先可以对该代数式通分变形，转化为包含两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从原方程提取系数求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，代入变形后的式子即可算出结果，无需单独求解方程的两个根，简化计算步骤。
【解析】
第一步：确定一元二次方程的系数，对于方程$x^2+3x-1=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
第二步：根据根与系数的关系，可得两根之和、两根之积分别为：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{1}=-1$。
第三步：对所求代数式变形：
$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_2+x_1}{x_1x_2}$。
第四步：代入数值计算：
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-1$代入上式，得$\dfrac{-3}{-1}=3$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理，分式化简，代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的表达形式，避免解方程的复杂计算，熟练掌握韦达定理和分式基本变形即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10.若关于x的一元二次方程$x^2 -8x + m=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则m的值为（）。

A.4
B.8
C.12
D.16

C

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题干给出的方程，先求出两根之和的数值，再利用已知的$x_1=3x_2$的倍数关系，通过代入消元求出两个根的具体值；第三步，根据两根之积的公式即可求出m的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -8x + m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 8$，$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = m$
已知$x_1 = 3x_2$，将其代入$x_1 + x_2 = 8$得：
$3x_2 + x_2 = 8$
合并同类项得$4x_2 = 8$，解得$x_2 = 2$
则$x_1 = 3x_2 = 3×2 = 6$
因此$m = x_1 · x_2 = 6×2 = 12$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 代入消元法
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，通过已知的两根数量关系求出两根后即可计算参数值，解题时也可结合求根公式验证结果。
【难度系数】
0.8

11.在解一元二次方程$x^2+bx+c=0$时，小明看错了一次项系数$b$，得到的解为$x_1=-1,x_2=3$，小刚看错了常数项$c$，得到的解为$x_1=2,x_2=5$，则正确的一元二次方程为()。

A.$x^2+3x-2=0$
B.$x^2-7x-3=0$
C.$x^2-3x-5=0$
D.$x^2+7x-3=0$

B

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于形如$x^2+bx+c=0$的一元二次方程，两根之和等于$-b$，两根之积等于$c$。小明仅看错了一次项系数$b$，说明他计算时使用的常数项$c$是正确的，因此可以用他得到的两个根求出正确的$c$；小刚仅看错了常数项$c$，说明他计算时使用的一次项系数$b$是正确的，因此可以用他得到的两个根求出正确的$b$，最后把正确的$b、c$代入原方程即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2+bx+c=0$，若两根为$x_1、x_2$，则有：$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$
1. 求正确的常数项$c$
小明仅看错一次项系数$b$，常数项$c$无误，他得到的解为$x_1=-1、x_2=3$，因此：
$c=x_1x_2=(-1)×3=-3$
2. 求正确的一次项系数$b$
小刚仅看错常数项$c$，一次项系数$b$无误，他得到的解为$x_1=2、x_2=5$，因此：
$x_1+x_2=2+5=7=-b$，解得$b=-7$
3. 写出正确的一元二次方程
将$b=-7、c=-3$代入$x^2+bx+c=0$，得正确方程为$x^2-7x-3=0$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型考法，解题核心是明确看错某一系数时，另一系数仍然有效，分别求出正确系数即可，易错点是计算一次项系数时容易混淆符号。
【难度系数】
0.7

12.已知关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$的一个实数根$x_1$是另一个实数根$x_2$的2倍，则$x_1=$，$x_2=$。

$x_1=2$，$x_2=1$

【分析】
首先，题目给出一元二次方程的两根存在倍数关系，求两根的值，我们可以优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）找到两根的和，再结合题目给出的倍数关系联立求解。具体思路为：1. 先根据方程确定二次项系数、一次项系数，利用韦达定理求出两根之和；2. 根据“x₁是x₂的2倍”列出x₁与x₂的等量关系；3. 将等量关系代入两根之和的式子，解一元一次方程即可求出两个根。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$
由题意可知，$x_1 = 2x_2$，将其代入上式得：
$2x_2 + x_2 = 3$
合并同类项得：$3x_2 = 3$
解得：$x_2 = 1$
则$x_1 = 2x_2 = 2×1 = 2$
【答案】
$x_1=2$，$x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础类题型，核心是利用根与系数的关系得到两根之和，再结合已知的两根数量关系联立求解，计算量小，只要熟练掌握韦达定理的内容就能快速解答。
【难度系数】
0.8

13.已知关于$x$的方程$x^2 + kx -1=0$。
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，并且$x_1 + x_2 = x_1x_2$，求$k$的值。

(1)证明:$\Delta=k^2+4＞0$,得证。
(2)解:$\because x_1+x_2=-k,x_1x_2=-1$，$-k=-1,\therefore k=1$。

【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路是判断根的判别式Δ的符号：先确定方程的各项系数，代入Δ=b²-4ac计算，再结合平方的非负性即可判断Δ恒大于0。
(2) 已知两根和与两根积的等量关系，需用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于k的表达式，再代入已知等式求解k即可，本题第一问已证明方程总有实根，无需额外检验。
【解析】
(1) 证明：在方程$x^2 + kx -1=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k$，常数项$c=-1$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$，
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2 ≥ 0$，
∴ $k^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -k$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -1$，
已知$x_1 + x_2 = x_1x_2$，代入上述结果得：
$-k = -1$，
解得$k=1$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根，得证；
(2) $k=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，第一问直接考察根的判别式的应用，结合平方的非负性即可快速求证；第二问为根与系数关系的直接应用，解题时需注意两根和公式的符号不要记错，是对基础公式掌握程度的考察。
【难度系数】
0.8

识别出错

(1)①5 2
②5 解析:$\because 2b^2=5b-1$，
$\therefore 2=5×\frac{1}{b}-(\frac{1}{b})^2$，
即$(\frac{1}{b})^2-5×\frac{1}{b}+2=0$。
$\because a^2=5a-2,\therefore a^2-5a+2=0$。
$\therefore a$与$\frac{1}{b}$是方程$x^2-5x+2=0$的两个不相等的实数根。
$\therefore a+\frac{1}{b}=5$。
(2)解:$\because$ 实数$s,t$满足$s^2-s-3=0$，$t^2-t-3=0$，且$s≠ t$，
$\therefore s$与$t$是方程$x^2-x-3=0$的两个不相等的实数根。
$\therefore s+t=1,st=-3$。
$\therefore \frac{s}{t}+\frac{t}{s}=\frac{s^2+t^2}{st}=\frac{(s+t)^2-2st}{st}=\frac{1-2×(-3)}{-3}=-\frac{7}{3}$。

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义和根与系数的关系（韦达定理）：若$x_1、x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实根，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于(1)：①直接套用韦达定理计算即可；②先对$2b^2=5b-1$做变形：两边同时除以$b^2$（$b$显然不为0，否则代入等式不成立），得到$(\frac{1}{b})^2 -5·\frac{1}{b}+2=0$，对比$a^2-5a+2=0$，且$a≠\frac{1}{b}$，可得$a$和$\frac{1}{b}$是方程$x^2-5x+2=0$的两个不等实根，直接用韦达定理求两根和即可。
对于(2)：观察$s$和$t$满足的方程结构完全相同，且$s≠t$，可得$s、t$是方程$x^2-x-3=0$的两个不等实根，先求出$s+t$和$st$的值，再将目标代数式$\frac{s}{t}+\frac{t}{s}$通分变形为$\frac{(s+t)^2-2st}{st}$，代入计算即可。
【解析】
(1)①根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2-5x+2=0$中，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2，因此两根和为5，两根积为2。
②$\because 2b^2=5b-1$，
$\therefore$ 两边同时除以$b^2$（$b≠0$）得：$2=5×\frac{1}{b}-(\frac{1}{b})^2$，
整理得$(\frac{1}{b})^2-5×\frac{1}{b}+2=0$。
$\because a^2=5a-2$，即$a^2-5a+2=0$，且$a≠\frac{1}{b}$，
$\therefore a$与$\frac{1}{b}$是方程$x^2-5x+2=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理可得$a+\frac{1}{b}=5$。
(2)解：$\because$ 实数$s,t$满足$s^2-s-3=0$，$t^2-t-3=0$，且$s≠ t$，
$\therefore s$与$t$是方程$x^2-x-3=0$的两个不相等的实数根，
根据韦达定理得$s+t=1,st=-3$，
$\therefore \frac{s}{t}+\frac{t}{s}=\frac{s^2+t^2}{st}=\frac{(s+t)^2-2st}{st}=\frac{1^2-2×(-3)}{-3}=-\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)①$5$，$2$；②$5$
(2)$-\dfrac{7}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式变形，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题核心考查对一元二次方程根的定义和韦达定理的灵活应用，解题关键是能识别出结构相同的两个代数式对应同一方程的两个根，再将目标代数式转化为含两根和、两根积的形式代入求解，有助于提升逻辑推理和代数式变形能力。
【难度系数】
0.6