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11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x-$ $k-2=0$ 有两个不相等的实数根。
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)给 $k$ 取一个负整数值,解这个方程。
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)给 $k$ 取一个负整数值,解这个方程。
答案
11.解:(1)根据题意,得
$\Delta=(-2)^2-4(-k-2)＞0$。
解得$k＞-3$。
(2)取$k=-2$,则方程变形为$x^2-2x=0$,
解得$x_1=0,x_2=2$。(答案不唯一)
$\Delta=(-2)^2-4(-k-2)＞0$。
解得$k＞-3$。
(2)取$k=-2$,则方程变形为$x^2-2x=0$,
解得$x_1=0,x_2=2$。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不等实根，因此可列出关于$k$的不等式，求解即可得到$k$的取值范围。
(2) 先根据第(1)问得到的$k$的取值范围，选取一个符合要求的负整数值，代入原方程后，用合适的方法求解一元二次方程即可。
【解析】
(1) 已知方程$x^2-2x-k-2=0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k-2$。
根据判别式的性质可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-k-2) ＞ 0$
计算得：$4 + 4k + 8 ＞ 0$
合并同类项化简得：$k ＞ -3$
(2) 由(1)可知$k ＞ -3$，符合要求的负整数$k$可取$-2$或$-1$，此处取$k=-2$，代入原方程得：
$x^2 - 2x = 0$
因式分解得：$x(x-2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
（注：$k$的取值符合范围即可，答案不唯一）
【答案】
(1) $k ＞ -3$；
(2) 示例：取$k=-2$时，方程的解为$x_1=0$，$x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，第二问为开放性设问，只要$k$的取值符合第一问的范围，解方程过程正确即可。解题时需注意计算判别式时的符号问题，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
(1) 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。本题已知方程有两个不等实根，因此可列出关于$k$的不等式，求解即可得到$k$的取值范围。
(2) 先根据第(1)问得到的$k$的取值范围，选取一个符合要求的负整数值，代入原方程后，用合适的方法求解一元二次方程即可。
【解析】
(1) 已知方程$x^2-2x-k-2=0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-k-2$。
根据判别式的性质可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-k-2) ＞ 0$
计算得：$4 + 4k + 8 ＞ 0$
合并同类项化简得：$k ＞ -3$
(2) 由(1)可知$k ＞ -3$，符合要求的负整数$k$可取$-2$或$-1$，此处取$k=-2$，代入原方程得：
$x^2 - 2x = 0$
因式分解得：$x(x-2)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
（注：$k$的取值符合范围即可，答案不唯一）
【答案】
(1) $k ＞ -3$；
(2) 示例：取$k=-2$时，方程的解为$x_1=0$，$x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查根的判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，第二问为开放性设问，只要$k$的取值符合第一问的范围，解方程过程正确即可。解题时需注意计算判别式时的符号问题，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
12.【发现】$x^4 -5x^2 +4=0$是一个一元四次方程。
【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设$x^2=y$，那么$x^4=$
解得$y_1=1,y_2=$
当$y=1$时，$x^2=1,\therefore x=\pm1$；
当$y=$
$\therefore$原方程有四个实数根，分别是
【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：$(x^2-2x)^2 + (x^2-2x) -6=0$。
【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：
设$x^2=y$，那么$x^4=$
$y^2$
，于是原方程可变为$y^2-5y+4=0$
。解得$y_1=1,y_2=$
4
。当$y=1$时，$x^2=1,\therefore x=\pm1$；
当$y=$
4
时，$x^2=$4
，$\therefore x=$$\pm2$
。$\therefore$原方程有四个实数根，分别是
$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$
。【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：$(x^2-2x)^2 + (x^2-2x) -6=0$。
答案
12.解:【探索】$y^2 \quad y^2-5y+4=0 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad \pm2 \quad x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$
【应用】设$y=x^2-2x$,则原方程变形为$y^2+y-6=0$,
解得$y_1=2,y_2=-3$。
可得$x^2-2x=2$或$x^2-2x=-3$,
解$x^2-2x=2$,
得$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
解$x^2-2x=-3$,
$\because\Delta=-8＜0$,
$\therefore$该方程无解。
$\therefore$原方程有两个实数根,分别是$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
【应用】设$y=x^2-2x$,则原方程变形为$y^2+y-6=0$,
解得$y_1=2,y_2=-3$。
可得$x^2-2x=2$或$x^2-2x=-3$,
解$x^2-2x=2$,
得$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
解$x^2-2x=-3$,
$\because\Delta=-8＜0$,
$\therefore$该方程无解。
$\therefore$原方程有两个实数根,分别是$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题核心是用换元法求解高次方程，解题思路是通过将高次式中重复出现的整体设为新元，把高次方程降次转化为熟悉的一元二次方程求解：①探索部分：观察到$x^4$是$x^2$的平方，因此设$x^2=y$，将四次方程转化为关于$y$的二次方程，先求$y$的值，再回代求$x$的实根；②应用部分：同理，将$(x^2-2x)$看作整体设为$y$，把原四次方程转化为关于$y$的二次方程，解出$y$后回代得到关于$x$的二次方程，还要用根的判别式判断方程是否有实根，最终得到原方程的所有实根。
【解析】
探索部分
设$x^2=y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程可变为$y^2-5y+4=0$。
因式分解得$(y-1)(y-4)=0$，解得$y_1=1,y_2=4$。
当$y=1$时，$x^2=1$，$\therefore x=\pm1$；
当$y=4$时，$x^2=4$，$\therefore x=\pm2$；
因此原方程的四个实数根为$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$。
应用部分
设$y=x^2-2x$，则原方程变形为$y^2+y-6=0$，
因式分解得$(y+3)(y-2)=0$，解得$y_1=2,y_2=-3$。
分两种情况回代求解：
1. 当$y=2$时，$x^2-2x=2$，整理得$x^2-2x-2=0$，
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-2)}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
2. 当$y=-3$时，$x^2-2x=-3$，整理得$x^2-2x+3=0$，
判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，因此该方程无实数根。
综上，原方程的实数根为$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
【答案】
【探索】$y^2$；$y^2-5y+4=0$；$4$；$4$；$4$；$\pm2$；$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$
【应用】原方程的实数根为$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，根的判别式
【点评】
本题考察了转化的数学思想，通过换元将高次方程降次为一元二次方程求解，解题时要注意回代后需判断二次方程是否有实根，避免遗漏或多算根。
【难度系数】
0.7
本题核心是用换元法求解高次方程，解题思路是通过将高次式中重复出现的整体设为新元，把高次方程降次转化为熟悉的一元二次方程求解：①探索部分：观察到$x^4$是$x^2$的平方，因此设$x^2=y$，将四次方程转化为关于$y$的二次方程，先求$y$的值，再回代求$x$的实根；②应用部分：同理，将$(x^2-2x)$看作整体设为$y$，把原四次方程转化为关于$y$的二次方程，解出$y$后回代得到关于$x$的二次方程，还要用根的判别式判断方程是否有实根，最终得到原方程的所有实根。
【解析】
探索部分
设$x^2=y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程可变为$y^2-5y+4=0$。
因式分解得$(y-1)(y-4)=0$，解得$y_1=1,y_2=4$。
当$y=1$时，$x^2=1$，$\therefore x=\pm1$；
当$y=4$时，$x^2=4$，$\therefore x=\pm2$；
因此原方程的四个实数根为$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$。
应用部分
设$y=x^2-2x$，则原方程变形为$y^2+y-6=0$，
因式分解得$(y+3)(y-2)=0$，解得$y_1=2,y_2=-3$。
分两种情况回代求解：
1. 当$y=2$时，$x^2-2x=2$，整理得$x^2-2x-2=0$，
由求根公式得$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-2)}}{2×1}=1\pm\sqrt{3}$，即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
2. 当$y=-3$时，$x^2-2x=-3$，整理得$x^2-2x+3=0$，
判别式$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，因此该方程无实数根。
综上，原方程的实数根为$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$。
【答案】
【探索】$y^2$；$y^2-5y+4=0$；$4$；$4$；$4$；$\pm2$；$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$
【应用】原方程的实数根为$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，根的判别式
【点评】
本题考察了转化的数学思想，通过换元将高次方程降次为一元二次方程求解，解题时要注意回代后需判断二次方程是否有实根，避免遗漏或多算根。
【难度系数】
0.7
