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1. 如图29－3－13，已知点A,B,C,D均在已知圆上，AD//BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，且四边形ABCD的周长为15.求：
(1)此圆的半径；
(2)图中阴影部分的面积.
图29－3－13
(1)此圆的半径；
(2)图中阴影部分的面积.
图29－3－13
答案
1.解:(1)$\because AD// BC,∠BAD=120°$,
$\therefore ∠ABC=∠BCD=60°$.
又$\because BD$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°$,
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore AB=AD=DC,∠BDC=90°$.
$\therefore BC$是圆的直径.
在$\mathrm{Rt}△BDC$中,$∠DBC=30°$,
$\therefore BC=2DC$,
$\therefore BC+\frac{3}{2}BC=15,\therefore BC=6$.
$\therefore$此圆的半径为3.
(2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为圆心,连接OA,OD,过O作$OE⊥AD$于E.
由圆周角定理可知,$∠AOD=2∠ABD=60°$.
在$\mathrm{Rt}△AOE$中,$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=30°$,
$OA=3$,
$\therefore OE=\frac{\sqrt{3}}{2}OA=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore S_{△AOD}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△AOD}=\frac{60×π×3^2}{360}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=\frac{3π}{2}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore ∠ABC=∠BCD=60°$.
又$\because BD$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°$,
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore AB=AD=DC,∠BDC=90°$.
$\therefore BC$是圆的直径.
在$\mathrm{Rt}△BDC$中,$∠DBC=30°$,
$\therefore BC=2DC$,
$\therefore BC+\frac{3}{2}BC=15,\therefore BC=6$.
$\therefore$此圆的半径为3.
(2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为圆心,连接OA,OD,过O作$OE⊥AD$于E.
由圆周角定理可知,$∠AOD=2∠ABD=60°$.
在$\mathrm{Rt}△AOE$中,$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOD=30°$,
$OA=3$,
$\therefore OE=\frac{\sqrt{3}}{2}OA=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore S_{△AOD}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△AOD}=\frac{60×π×3^2}{360}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=\frac{3π}{2}-\frac{9}{4}\sqrt{3}=\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求解圆的半径时，先结合已知的平行关系、角平分线和角度条件，推导四边形各内角的度数，再根据圆周角性质得到等弧对应等边的关系，结合直角三角形30°角的边长特征，得到直径BC与其余边的数量关系，代入周长条件即可求出直径，进而得到半径；
(2) 阴影部分为弓形，求解不规则图形面积采用割补法，即弓形面积等于对应扇形面积减去三角形面积，先确定圆心、求出扇形圆心角，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) $\because AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAD=60°$，$∠ BCD=60°$。
又$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=30°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ DBC=30°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=∠ DBC=30°$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，即$AB=AD=DC$。
在$△ BDC$中，$∠ DBC=30°$，$∠ BCD=60°$，$\therefore ∠ BDC=90°$，即$BC$为圆的直径。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=30°$，$\therefore BC=2DC$。
已知四边形$ABCD$周长为15，即$AB+AD+DC+BC=3DC+BC=15$，将$DC=\frac{1}{2}BC$代入得：
$\frac{3}{2}BC+BC=15$，解得$BC=6$，因此圆的半径为$\frac{1}{2}BC=3$。
(2) 设$BC$的中点为$O$，即该圆的圆心，连接$OA$、$OD$，过$O$作$OE⊥ AD$于$E$。
由圆周角定理得：$∠ AOD=2∠ ABD=2×30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=30°$，$OA=3$，
$\therefore OE=OA·\cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，且$AD=OA=3$。
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× AD× OE=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
$S_{扇形OAD}=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$，
因此$S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△ AOD}=\frac{3π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) 此圆的半径为$\boldsymbol{3}$；
(2) 图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}}$。
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 扇形面积计算
3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的综合应用题型，既考察了圆的相关性质的推导，也考察了不规则图形面积的计算方法，解题核心是通过角度关系推导边的数量关系，再用割补法转化不规则面积的计算，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 求解圆的半径时，先结合已知的平行关系、角平分线和角度条件，推导四边形各内角的度数，再根据圆周角性质得到等弧对应等边的关系，结合直角三角形30°角的边长特征，得到直径BC与其余边的数量关系，代入周长条件即可求出直径，进而得到半径；
(2) 阴影部分为弓形，求解不规则图形面积采用割补法，即弓形面积等于对应扇形面积减去三角形面积，先确定圆心、求出扇形圆心角，再分别计算扇形和三角形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) $\because AD// BC$，$∠ BAD=120°$，
$\therefore ∠ ABC=180°-∠ BAD=60°$，$∠ BCD=60°$。
又$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=30°$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ DBC=30°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=∠ DBC=30°$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，即$AB=AD=DC$。
在$△ BDC$中，$∠ DBC=30°$，$∠ BCD=60°$，$\therefore ∠ BDC=90°$，即$BC$为圆的直径。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ DBC=30°$，$\therefore BC=2DC$。
已知四边形$ABCD$周长为15，即$AB+AD+DC+BC=3DC+BC=15$，将$DC=\frac{1}{2}BC$代入得：
$\frac{3}{2}BC+BC=15$，解得$BC=6$，因此圆的半径为$\frac{1}{2}BC=3$。
(2) 设$BC$的中点为$O$，即该圆的圆心，连接$OA$、$OD$，过$O$作$OE⊥ AD$于$E$。
由圆周角定理得：$∠ AOD=2∠ ABD=2×30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=30°$，$OA=3$，
$\therefore OE=OA·\cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，且$AD=OA=3$。
$\therefore S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× AD× OE=\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
$S_{扇形OAD}=\frac{60π×3^2}{360}=\frac{3π}{2}$，
因此$S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△ AOD}=\frac{3π}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) 此圆的半径为$\boldsymbol{3}$；
(2) 图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{6π-9\sqrt{3}}{4}}$。
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 扇形面积计算
3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的综合应用题型，既考察了圆的相关性质的推导，也考察了不规则图形面积的计算方法，解题核心是通过角度关系推导边的数量关系，再用割补法转化不规则面积的计算，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
2. 如图29－3－14，已知$\odot A$，$\odot B$，$\odot C$，$\odot D$，$\odot E$均互不重叠，它们的半径都是1，顺次连接五个圆的圆心，得到五边形$ABCDE$，求图中阴影部分的面积。
图29－3－14
图29－3－14
答案
2.解:设五个扇形的圆心角依次为$n_1°$、$n_2°$、$n_3°$、$n_4°$、$n_5°$,面积依次为$S_A$、$S_B$、$S_C$、$S_D$、$S_E$,则$S_{阴影}=S_A+S_B+S_C+S_D+S_E=\frac{n_1π×1^2}{360}+\frac{n_2π×1^2}{360}+\frac{n_3π×1^2}{360}+\frac{n_4π×1^2}{360}+\frac{n_5π×1^2}{360}=\frac{π}{360}(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)$.
因为五边形$ABCDE$的内角和为$(5-2)×180°=540°$,
所以$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=540$,
所以$S_{阴影}=\frac{π}{360}×540=\frac{3}{2}π$.
因为五边形$ABCDE$的内角和为$(5-2)×180°=540°$,
所以$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=540$,
所以$S_{阴影}=\frac{π}{360}×540=\frac{3}{2}π$.
解析
【分析】首先观察阴影部分的特征：所有阴影部分都是半径为1的扇形，求它们的面积和无需单独计算每个扇形的面积。首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，已知所有扇形半径$r$都为1，因此只需要求出所有扇形的圆心角之和即可。五个扇形的圆心角正好对应五边形$ABCDE$的五个内角，再利用多边形内角和公式算出五边形内角和，代入扇形面积和的公式就能求出阴影总面积。
【解析】解：设五个阴影扇形的圆心角依次为$n_1°$、$n_2°$、$n_3°$、$n_4°$、$n_5°$，面积依次为$S_A$、$S_B$、$S_C$、$S_D$、$S_E$。
根据扇形面积公式可得：
$S_{阴影}=S_A+S_B+S_C+S_D+S_E=\frac{n_1π×1^2}{360}+\frac{n_2π×1^2}{360}+\frac{n_3π×1^2}{360}+\frac{n_4π×1^2}{360}+\frac{n_5π×1^2}{360}=\frac{π}{360}(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)$
根据多边形内角和公式，五边形$ABCDE$的内角和为$(5-2)×180°=540°$，即$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=540$
代入上式得：$S_{阴影}=\frac{π}{360}×540=\frac{3}{2}π$
【答案】$\frac{3}{2}π$
【知识点】多边形内角和；扇形面积计算；整体法求面积
【点评】本题不需要逐个计算扇形面积，而是通过转化思想，将多个扇形的圆心角之和转化为多边形的内角和，简化了运算，考查对知识的灵活运用和整体思维能力。
【难度系数】0.7
【解析】解：设五个阴影扇形的圆心角依次为$n_1°$、$n_2°$、$n_3°$、$n_4°$、$n_5°$，面积依次为$S_A$、$S_B$、$S_C$、$S_D$、$S_E$。
根据扇形面积公式可得：
$S_{阴影}=S_A+S_B+S_C+S_D+S_E=\frac{n_1π×1^2}{360}+\frac{n_2π×1^2}{360}+\frac{n_3π×1^2}{360}+\frac{n_4π×1^2}{360}+\frac{n_5π×1^2}{360}=\frac{π}{360}(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5)$
根据多边形内角和公式，五边形$ABCDE$的内角和为$(5-2)×180°=540°$，即$n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=540$
代入上式得：$S_{阴影}=\frac{π}{360}×540=\frac{3}{2}π$
【答案】$\frac{3}{2}π$
【知识点】多边形内角和；扇形面积计算；整体法求面积
【点评】本题不需要逐个计算扇形面积，而是通过转化思想，将多个扇形的圆心角之和转化为多边形的内角和，简化了运算，考查对知识的灵活运用和整体思维能力。
【难度系数】0.7
