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4.“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮(如图29－3－10①),共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图29－3－10②所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从最低点A出发,10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为
图29－3－10
图29－3－11
图29－3－12
40π
m.(结果保留π)图29－3－10
图29－3－11
图29－3－12
答案
4.40π
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，需用到弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$R$为圆的半径），因此解题分三步进行：第一步先求出摩天轮的半径$R$；第二步计算轿厢旋转10min对应的圆心角$n$；第三步代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
1. 求摩天轮半径$R$：
已知圆心$O$到水面平台$MN$的距离为68m，摩天轮最高点离$MN$的距离为128m，最高点到圆心的距离即为半径，因此$R=128-68=60\ \mathrm{m}$。
2. 求弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$n$：
摩天轮匀速旋转一圈（$360°$）用时30min，10min旋转的角度占整圈的$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，因此$n=360°×\frac{1}{3}=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×60}{180}=40π\ \mathrm{m}$。
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长的计算，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查弧长公式的应用，解题关键是准确提取题目信息求出圆的半径和弧对应的圆心角，牢记弧长计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，需用到弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧对应的圆心角度数，$R$为圆的半径），因此解题分三步进行：第一步先求出摩天轮的半径$R$；第二步计算轿厢旋转10min对应的圆心角$n$；第三步代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
1. 求摩天轮半径$R$：
已知圆心$O$到水面平台$MN$的距离为68m，摩天轮最高点离$MN$的距离为128m，最高点到圆心的距离即为半径，因此$R=128-68=60\ \mathrm{m}$。
2. 求弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$n$：
摩天轮匀速旋转一圈（$360°$）用时30min，10min旋转的角度占整圈的$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，因此$n=360°×\frac{1}{3}=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×60}{180}=40π\ \mathrm{m}$。
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长的计算，圆的基本性质
【点评】
本题结合生活场景考查弧长公式的应用，解题关键是准确提取题目信息求出圆的半径和弧对应的圆心角，牢记弧长计算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.如图29-3-11,在扇形OAB中,∠AOB=30°,OA=2√3,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到点D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作$□ ACDE$,则图中阴影部分的面积为
3√3−π
.(结果保留π)答案
5.$3\sqrt{3}-π$
解析
【分析】
计算不规则阴影部分面积通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差求解。本题解题思路如下：第一步，根据∠AOB=30°、OC=AC的等腰三角形性质，结合勾股定理求出AC、OC的长度；第二步，分别计算平行四边形ACDE的面积、△OAC的面积、扇形OAB的面积；第三步，用平行四边形面积减去（扇形面积减去△OAC面积），即可得到阴影部分面积。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 在Rt△AOH中，∠AOH=30°，OA=2√3：
$AH = OA·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$OH = OA·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
2. 设$OC=AC=x$，则$CH=OH-OC=3-x$，在Rt△ACH中由勾股定理：
$AH^2 + CH^2 = AC^2$，即$(\sqrt{3})^2 + (3-x)^2 = x^2$，
展开得$3 + 9 - 6x + x^2 = x^2$，解得$x=2$，故$AC=OC=2$。
3. 由$CD=CA$得$CD=2$，平行四边形ACDE的面积=底×高=$CD×AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
△OAC的面积=$\frac{1}{2}×OC×AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
扇形OAB的面积=$\frac{nπr^2}{360} = \frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360} = π$。
4. 阴影部分面积=平行四边形ACDE的面积 - (扇形OAB的面积 - △OAC的面积)
$= 2\sqrt{3} - (π - \sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是熟练运用割补法转化面积，同时需要掌握特殊直角三角形的性质、勾股定理以及常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.6
计算不规则阴影部分面积通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差求解。本题解题思路如下：第一步，根据∠AOB=30°、OC=AC的等腰三角形性质，结合勾股定理求出AC、OC的长度；第二步，分别计算平行四边形ACDE的面积、△OAC的面积、扇形OAB的面积；第三步，用平行四边形面积减去（扇形面积减去△OAC面积），即可得到阴影部分面积。
【解析】
过点A作AH⊥OB于点H。
1. 在Rt△AOH中，∠AOH=30°，OA=2√3：
$AH = OA·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$OH = OA·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
2. 设$OC=AC=x$，则$CH=OH-OC=3-x$，在Rt△ACH中由勾股定理：
$AH^2 + CH^2 = AC^2$，即$(\sqrt{3})^2 + (3-x)^2 = x^2$，
展开得$3 + 9 - 6x + x^2 = x^2$，解得$x=2$，故$AC=OC=2$。
3. 由$CD=CA$得$CD=2$，平行四边形ACDE的面积=底×高=$CD×AH=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
△OAC的面积=$\frac{1}{2}×OC×AH=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
扇形OAB的面积=$\frac{nπr^2}{360} = \frac{30π×(2\sqrt{3})^2}{360} = π$。
4. 阴影部分面积=平行四边形ACDE的面积 - (扇形OAB的面积 - △OAC的面积)
$= 2\sqrt{3} - (π - \sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - π$。
【答案】
$3\sqrt{3}-π$
【知识点】
扇形面积计算，平行四边形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是熟练运用割补法转化面积，同时需要掌握特殊直角三角形的性质、勾股定理以及常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.6
6.【规律探究】如图29－3－12，四边形ABCD是边长为$\frac{1}{2}$的正方形，曲线$DA_1B_1C_1D_1A_2···$是由多段$90°$的圆心角所对的弧组成的。其中，$\overset{\frown}{DA_1}$的圆心为A，半径为AD；$\overset{\frown}{A_1B_1}$的圆心为B，半径为$BA_1$；$\overset{\frown}{B_1C_1}$的圆心为C，半径为$CB_1$；$\overset{\frown}{C_1D_1}$的圆心为D，半径为$DC_1$；…。$\overset{\frown}{DA_1}$，$\overset{\frown}{A_1B_1}$，$\overset{\frown}{B_1C_1}$，$\overset{\frown}{C_1D_1}$，…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则$\overset{\frown}{C_{2027}D_{2027}}$的长是
2027π
。（结果保留π）答案
6.2027π
解析
【分析】解决本题首先要明确90°圆心角对应的弧长计算公式，再通过列举前几段弧的半径，总结出半径随弧的序数变化的规律，最后确定$\overset{\frown}{C_{2027}D_{2027}}$对应的半径，代入公式计算即可得到结果。
【解析】弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中每段弧的圆心角均为$90°$，因此单段弧长可简化为：
$l=\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}$
观察各段弧的半径变化：
第1段弧$\overset{\frown}{DA_1}$的半径$r_1=\frac{1}{2}$；
第2段弧$\overset{\frown}{A_1B_1}$的半径$r_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；
第3段弧$\overset{\frown}{B_1C_1}$的半径$r_3=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
第4段弧$\overset{\frown}{C_1D_1}$的半径$r_4=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$；
……
可得规律：第k段弧的半径$r_k=\frac{k}{2}$。
其中$\overset{\frown}{C_nD_n}$为第4n段弧，因此$\overset{\frown}{C_{2027}D_{2027}}$对应的段数$k=4×2027$，代入半径公式得：
$r=\frac{4×2027}{2}=2×2027$
再代入弧长公式得：
$l=\frac{π × 2×2027}{2}=2027π$
【答案】$2027π$
【知识点】弧长计算，规律探究
【点评】本题属于规律探究类的弧长计算题，解题的核心是通过前几段弧的半径推导出通用的半径变化规律，再结合所求弧的序数计算对应的弧长，既考查了基础公式的应用，也考查了归纳推理能力。
【难度系数】0.6
【解析】弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中每段弧的圆心角均为$90°$，因此单段弧长可简化为：
$l=\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}$
观察各段弧的半径变化：
第1段弧$\overset{\frown}{DA_1}$的半径$r_1=\frac{1}{2}$；
第2段弧$\overset{\frown}{A_1B_1}$的半径$r_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；
第3段弧$\overset{\frown}{B_1C_1}$的半径$r_3=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
第4段弧$\overset{\frown}{C_1D_1}$的半径$r_4=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$；
……
可得规律：第k段弧的半径$r_k=\frac{k}{2}$。
其中$\overset{\frown}{C_nD_n}$为第4n段弧，因此$\overset{\frown}{C_{2027}D_{2027}}$对应的段数$k=4×2027$，代入半径公式得：
$r=\frac{4×2027}{2}=2×2027$
再代入弧长公式得：
$l=\frac{π × 2×2027}{2}=2027π$
【答案】$2027π$
【知识点】弧长计算，规律探究
【点评】本题属于规律探究类的弧长计算题，解题的核心是通过前几段弧的半径推导出通用的半径变化规律，再结合所求弧的序数计算对应的弧长，既考查了基础公式的应用，也考查了归纳推理能力。
【难度系数】0.6
7.作图与计算：$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$.
(1)尺规作图:作$AC$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$O$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作图的基础上,以点$O$为圆心,$OA$的长为半径作$\odot O$交$AB$于点$D$.若$BC=2$,$∠ A=30°$,求扇形$OCD$的面积.(结果保留$π$)
(1)尺规作图:作$AC$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$O$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作图的基础上,以点$O$为圆心,$OA$的长为半径作$\odot O$交$AB$于点$D$.若$BC=2$,$∠ A=30°$,求扇形$OCD$的面积.(结果保留$π$)
答案
7.解:(1)分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧分别交于点E,F,作直线EF交AC于点O,如答图29－3－1所示.
答图29－3－1
(2)画出$\odot O$,连接OD.
$\because OA=OD,∠A=30°$,
$\therefore ∠ODA=∠A=30°$.
$\therefore ∠COD=∠ODA+∠A=30°+30°=60°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\because BC=2,∠A=30°$,
$\therefore AB=4$.
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
$\therefore OC=\sqrt{3}$.
$\therefore S_{扇形OCD}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{1}{2}π$.
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作线段垂直平分线，依据垂直平分线的作图规则，分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线即为所求的垂直平分线EF，EF与AC的交点就是中点O。
(2) 第二问求扇形OCD的面积，需先确定扇形的两个核心要素：圆心角和半径。①圆心角推导：同圆半径相等可得OA=OD，△OAD为等腰三角形，结合∠A=30°得∠ADO=30°，利用三角形外角性质即可求出∠COD=60°；②半径推导：在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边是斜边一半求出AB长度，再用勾股定理算出AC的长，由O是AC中点可得OC长度；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图：分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点O，EF即为AC的垂直平分线，作图如下：
(2) 按要求画出$\odot O$，连接OD：
∵ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OD
∴ ∠ODA=∠A=30°
由三角形外角性质可得：∠COD=∠ODA+∠A=30°+30°=60°
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∴ AB=2BC=4
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ O为AC中点，$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$
代入扇形面积公式：$S_{扇形OCD}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{1}{2}π$
【答案】
(1) 作图如下：
(2) 扇形$OCD$的面积为$\frac{1}{2}π$
【知识点】
垂直平分线尺规作图，直角三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题融合了尺规作图与几何计算考点，既考查基础作图操作能力，又综合考查等腰三角形性质、直角三角形边角关系、扇形面积公式的应用，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为尺规作线段垂直平分线，依据垂直平分线的作图规则，分别以A、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}AC$的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线即为所求的垂直平分线EF，EF与AC的交点就是中点O。
(2) 第二问求扇形OCD的面积，需先确定扇形的两个核心要素：圆心角和半径。①圆心角推导：同圆半径相等可得OA=OD，△OAD为等腰三角形，结合∠A=30°得∠ADO=30°，利用三角形外角性质即可求出∠COD=60°；②半径推导：在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边是斜边一半求出AB长度，再用勾股定理算出AC的长，由O是AC中点可得OC长度；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图：分别以点A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点O，EF即为AC的垂直平分线，作图如下：
(2) 按要求画出$\odot O$，连接OD：
∵ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OD
∴ ∠ODA=∠A=30°
由三角形外角性质可得：∠COD=∠ODA+∠A=30°+30°=60°
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∴ AB=2BC=4
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∵ EF是AC的垂直平分线，
∴ O为AC中点，$OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$
代入扇形面积公式：$S_{扇形OCD}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{1}{2}π$
【答案】
(1) 作图如下：
(2) 扇形$OCD$的面积为$\frac{1}{2}π$
【知识点】
垂直平分线尺规作图，直角三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题融合了尺规作图与几何计算考点，既考查基础作图操作能力，又综合考查等腰三角形性质、直角三角形边角关系、扇形面积公式的应用，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.7
