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6. 如图29－3－5①是博物馆屋顶的图片，屋顶由图29－3－5②中的瓦片构成，瓦片横截面如图29－3－5③所示，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心，18 cm为半径的弧，弦AB的长为18 cm，则$\overset{\frown}{AB}$的长是（
A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
图29－3－5
图29－3－6
图29－3－7
D
）A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
图29－3－5
图29－3－6
图29－3－7
答案
6.D
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。本题中半径$R=18\mathrm{cm}$为已知条件，因此解题核心是求出圆心角$∠ AOB$的度数。已知$OA、OB$均为半径，长度等于18cm，又已知弦$AB=18\mathrm{cm}$，可判定$△ OAB$为等边三角形，从而得到圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
根据弧长公式$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}$，代入$n=60$，$R=18$得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60×π×18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
D
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是结合半径与弦长相等的特征，判断出三角形为等边三角形，从而得到圆心角度数，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关公式和性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。本题中半径$R=18\mathrm{cm}$为已知条件，因此解题核心是求出圆心角$∠ AOB$的度数。已知$OA、OB$均为半径，长度等于18cm，又已知弦$AB=18\mathrm{cm}$，可判定$△ OAB$为等边三角形，从而得到圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because OA、OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\mathrm{cm}$，
又$\because AB=18\mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$。
根据弧长公式$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}$，代入$n=60$，$R=18$得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60×π×18}{180}=6π(\mathrm{cm})$。
【答案】
D
【知识点】
弧长的计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是结合半径与弦长相等的特征，判断出三角形为等边三角形，从而得到圆心角度数，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关公式和性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7.【跨学科综合·物理】如图29－3－6，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了
4π
cm.（结果保留π）答案
7.4π
解析
【分析】
解题的核心是建立物理现象和数学公式的关联：由于绳索与滑轮之间没有滑动，重物上升的距离恰好等于定滑轮上旋转120°角对应的弧长，因此只需代入弧长公式计算即可得到结果。弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是对应弧的圆心角度数，$r$是圆的半径。
【解析】
因为绳索与滑轮无滑动，所以重物上升的距离等于定滑轮旋转$120°$对应的弧长。
已知定滑轮半径$r=6\mathrm{cm}$，旋转的圆心角$n=120°$，代入弧长公式：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×6}{180}=4π(\mathrm{cm})$
【答案】
$4π$
【知识点】
弧长公式计算，跨学科实际应用
【点评】
本题结合定滑轮的物理常识考查弧长公式的实际应用，解题的关键是将重物上升的距离转化为对应圆心角的弧长计算，属于基础应用题，只要掌握弧长公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是建立物理现象和数学公式的关联：由于绳索与滑轮之间没有滑动，重物上升的距离恰好等于定滑轮上旋转120°角对应的弧长，因此只需代入弧长公式计算即可得到结果。弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是对应弧的圆心角度数，$r$是圆的半径。
【解析】
因为绳索与滑轮无滑动，所以重物上升的距离等于定滑轮旋转$120°$对应的弧长。
已知定滑轮半径$r=6\mathrm{cm}$，旋转的圆心角$n=120°$，代入弧长公式：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×6}{180}=4π(\mathrm{cm})$
【答案】
$4π$
【知识点】
弧长公式计算，跨学科实际应用
【点评】
本题结合定滑轮的物理常识考查弧长公式的实际应用，解题的关键是将重物上升的距离转化为对应圆心角的弧长计算，属于基础应用题，只要掌握弧长公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
8.如图29-3-7，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则BC的长为
π
.(结果保留π)答案
8.π
解析
【分析】
要求弧BC的长，需先确定该弧所对的圆心角度数和圆的半径。已知圆的半径为2，因此核心是求弧BC对应的圆心角：首先连接OB、OC构造圆心角∠BOC，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角∠BAC=45°，即可求出圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=45°，则∠BOC=2×45°=90°
又
∵ ⊙O的半径r=2，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中n为弧所对圆心角度数，r为半径）
∴ 弧BC的长为：$ \frac{90×π×2}{180}=π $
【答案】
π
【知识点】
圆周角定理，弧长公式
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是通过连接半径构造出待求弧对应的圆心角，结合圆周角定理得到圆心角度数后代入公式计算即可，侧重考查基础定理和公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
要求弧BC的长，需先确定该弧所对的圆心角度数和圆的半径。已知圆的半径为2，因此核心是求弧BC对应的圆心角：首先连接OB、OC构造圆心角∠BOC，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角∠BAC=45°，即可求出圆心角的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC
已知∠BAC=45°，则∠BOC=2×45°=90°
又
∵ ⊙O的半径r=2，根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $（其中n为弧所对圆心角度数，r为半径）
∴ 弧BC的长为：$ \frac{90×π×2}{180}=π $
【答案】
π
【知识点】
圆周角定理，弧长公式
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，解题的关键是通过连接半径构造出待求弧对应的圆心角，结合圆周角定理得到圆心角度数后代入公式计算即可，侧重考查基础定理和公式的应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 如图29－3－8所示，分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$为直径向外作半圆，设直线$AB$左边阴影部分的面积为$S_1$，右边阴影部分的面积和为$S_2$，则(
A.$S_1 = S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
图29－3－8 图29－3－9
A
)A.$S_1 = S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 ＞ S_2$
D.无法确定
图29－3－8 图29－3－9
答案
1.A 点拔:$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AB}{2})^2=\frac{πAB^2}{8}$,$S_2=\frac{1}{2}π(\frac{AC}{2})^2+\frac{1}{2}π(\frac{BC}{2})^2=\frac{πAC^2}{8}+\frac{πBC^2}{8}$.
因为△ABC是直角三角形,所以$AB^2=AC^2+BC^2$,所以$S_2=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)=\frac{π}{8}AB^2=S_1$.故选A.
因为△ABC是直角三角形,所以$AB^2=AC^2+BC^2$,所以$S_2=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)=\frac{π}{8}AB^2=S_1$.故选A.
解析
【分析】
要判断$S_1$和$S_2$的大小关系，首先需要分别用含直角三角形三边长的式子表示出两个阴影部分的面积：$S_1$是以$AB$为直径的半圆的面积，$S_2$是以$AC$、$BC$为直径的两个半圆的面积之和。再结合直角三角形三边满足的勾股定理，对两个面积表达式进行化简对比，即可得出结论。
【解析】
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
1. 计算$S_1$：$AB$为直径，对应半径为$\frac{AB}{2}$，则
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AB}{2})^2=\frac{π AB^2}{8}$
2. 计算$S_2$：$AC$、$BC$分别为两个半圆的直径，对应半径为$\frac{AC}{2}$、$\frac{BC}{2}$，则
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2+\frac{1}{2}π·(\frac{BC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)$
3. 结合勾股定理：已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AB^2=AC^2+BC^2$，代入$S_2$的表达式得：
$S_2=\frac{π}{8}·AB^2$
因此$S_1=S_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是准确写出各阴影部分的面积表达式，再结合直角三角形的勾股定理完成化简对比，只要掌握相关基础公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断$S_1$和$S_2$的大小关系，首先需要分别用含直角三角形三边长的式子表示出两个阴影部分的面积：$S_1$是以$AB$为直径的半圆的面积，$S_2$是以$AC$、$BC$为直径的两个半圆的面积之和。再结合直角三角形三边满足的勾股定理，对两个面积表达式进行化简对比，即可得出结论。
【解析】
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半圆半径）：
1. 计算$S_1$：$AB$为直径，对应半径为$\frac{AB}{2}$，则
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{AB}{2})^2=\frac{π AB^2}{8}$
2. 计算$S_2$：$AC$、$BC$分别为两个半圆的直径，对应半径为$\frac{AC}{2}$、$\frac{BC}{2}$，则
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{AC}{2})^2+\frac{1}{2}π·(\frac{BC}{2})^2=\frac{π AC^2}{8}+\frac{π BC^2}{8}=\frac{π}{8}(AC^2+BC^2)$
3. 结合勾股定理：已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AB^2=AC^2+BC^2$，代入$S_2$的表达式得：
$S_2=\frac{π}{8}·AB^2$
因此$S_1=S_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆的面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是准确写出各阴影部分的面积表达式，再结合直角三角形的勾股定理完成化简对比，只要掌握相关基础公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2.已知AB为半圆的直径，$\overset{\frown}{AB}$长为$l_1$，在半圆内作$\odot O'$使之与$\overset{\frown}{AB}$，AB都相切，$\odot O'$的周长为$l_2$，则$l_1$与$l_2$的关系是（
A.$l_1＞l_2$
B.$l_1=l_2$
C.$l_1≥ l_2$
D.$l_1＜l_2$
C
）A.$l_1＞l_2$
B.$l_1=l_2$
C.$l_1≥ l_2$
D.$l_1＜l_2$
答案
2.C
解析
【分析】
要比较$l_1$和$l_2$的大小，需先分别用参数表示两个长度，再推导二者关系。首先设大半圆的半径为$R$，先写出半圆弧长$l_1$的表达式；再设小圆$\odot O'$的半径为$r$，结合直线与圆相切、圆与圆内切的性质，推导$r$的取值范围，进而得到$l_2$的范围，最终比较二者大小。
【解析】
解：设半圆的半径为$R$，
1. 计算半圆弧长$l_1$：
半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的长$l_1=\frac{1}{2}×2π R=π R$。
2. 推导小圆半径$r$的取值范围：
设$\odot O'$的半径为$r$，以大半圆圆心$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，则大半圆满足$x^2+y^2=R^2(y≥0)$。
因为$\odot O'$与$AB$相切，所以$O'$到$AB$的距离等于$r$，即$O'$的纵坐标为$r$，设$O'(a,r)$。
又因为$\odot O'$与$\overset{\frown}{AB}$内切，所以两圆圆心距$OO'=R-r$，由两点间距离公式得：
$\sqrt{a^2 + r^2}=R-r$
两边平方化简得：$a^2=R^2-2Rr$，即$r=\frac{R^2-a^2}{2R}$。
因为$a^2≥0$，所以$R^2-a^2≤ R^2$，因此$r≤\frac{R}{2}$，当且仅当$a=0$（即$O'$在大半圆对称轴上）时取等号。
3. 比较$l_1$和$l_2$的大小：
$\odot O'$的周长$l_2=2π r≤2π×\frac{R}{2}=π R=l_1$，即$l_1≥ l_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，直线与圆相切的性质，圆与圆相切的性质
【点评】
本题易错点是只考虑小圆在大半圆中心的特殊情况，误选B，解题时要注意小圆位置不唯一，半径存在最大值，需推导普遍的取值范围再判断大小关系。
【难度系数】
0.6
要比较$l_1$和$l_2$的大小，需先分别用参数表示两个长度，再推导二者关系。首先设大半圆的半径为$R$，先写出半圆弧长$l_1$的表达式；再设小圆$\odot O'$的半径为$r$，结合直线与圆相切、圆与圆内切的性质，推导$r$的取值范围，进而得到$l_2$的范围，最终比较二者大小。
【解析】
解：设半圆的半径为$R$，
1. 计算半圆弧长$l_1$：
半圆弧$\overset{\frown}{AB}$的长$l_1=\frac{1}{2}×2π R=π R$。
2. 推导小圆半径$r$的取值范围：
设$\odot O'$的半径为$r$，以大半圆圆心$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，则大半圆满足$x^2+y^2=R^2(y≥0)$。
因为$\odot O'$与$AB$相切，所以$O'$到$AB$的距离等于$r$，即$O'$的纵坐标为$r$，设$O'(a,r)$。
又因为$\odot O'$与$\overset{\frown}{AB}$内切，所以两圆圆心距$OO'=R-r$，由两点间距离公式得：
$\sqrt{a^2 + r^2}=R-r$
两边平方化简得：$a^2=R^2-2Rr$，即$r=\frac{R^2-a^2}{2R}$。
因为$a^2≥0$，所以$R^2-a^2≤ R^2$，因此$r≤\frac{R}{2}$，当且仅当$a=0$（即$O'$在大半圆对称轴上）时取等号。
3. 比较$l_1$和$l_2$的大小：
$\odot O'$的周长$l_2=2π r≤2π×\frac{R}{2}=π R=l_1$，即$l_1≥ l_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，直线与圆相切的性质，圆与圆相切的性质
【点评】
本题易错点是只考虑小圆在大半圆中心的特殊情况，误选B，解题时要注意小圆位置不唯一，半径存在最大值，需推导普遍的取值范围再判断大小关系。
【难度系数】
0.6
3.【跨学科融合·地理】如图29－3－9，点A位于北纬$44°$(即$∠ AOC=44°$)，东经$110°$，点B位于北纬$19°$(即$∠ BOC=19°$)，东经$110°$.设地球的半径为R km，则在东经$110°$所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(
A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$\frac{1}{2}π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
C
)A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$\frac{1}{2}π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
答案
3.C
解析
【分析】
要计算同经线圈上两点的劣弧长，首先需要确定两点对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解。首先观察A、B两点的经纬度：二者经度相同，都在东经110°的经线圈上，因此它们的球心角等于两地的纬度差；再回忆弧长公式：$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为圆的半径），将圆心角和半径代入公式即可求出弧长。
【解析】
首先求A、B两点对应的圆心角：
∵ 点A为北纬44°，点B为北纬19°，两点同属东经110°经线圈
∴ 两点对应的圆心角$ n = 44° - 19° = 25° $
已知地球半径为$ R $，代入弧长公式计算劣弧长：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{25π R}{180}=\frac{5}{36}π R\ \mathrm{km} $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角确定
【点评】
本题为跨学科融合题，结合地理经纬度知识考查弧长公式的实际应用，解题的核心是根据同经度的经线圈特征，正确求出两点对应的圆心角度数，侧重考查学生结合不同学科知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算同经线圈上两点的劣弧长，首先需要确定两点对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解。首先观察A、B两点的经纬度：二者经度相同，都在东经110°的经线圈上，因此它们的球心角等于两地的纬度差；再回忆弧长公式：$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为圆的半径），将圆心角和半径代入公式即可求出弧长。
【解析】
首先求A、B两点对应的圆心角：
∵ 点A为北纬44°，点B为北纬19°，两点同属东经110°经线圈
∴ 两点对应的圆心角$ n = 44° - 19° = 25° $
已知地球半径为$ R $，代入弧长公式计算劣弧长：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{25π R}{180}=\frac{5}{36}π R\ \mathrm{km} $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角确定
【点评】
本题为跨学科融合题，结合地理经纬度知识考查弧长公式的实际应用，解题的核心是根据同经度的经线圈特征，正确求出两点对应的圆心角度数，侧重考查学生结合不同学科知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
