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1.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为（
A.2.5
B.5
C.10
D.15
C
）A.2.5
B.5
C.10
D.15
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是找到圆锥与侧面展开半圆之间的等量关系：圆锥底面圆的周长等于侧面展开半圆的弧长。首先分别用公式表示出底面周长和半圆弧长，再列等式求解母线长即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：根据圆的周长公式$ C=2π r $，已知底面半径$ r=5 $，可得底面周长$ C_{\mathrm{底}}=2π×5=10π $。
2. 计算侧面展开半圆的弧长：侧面展开半圆的半径等于圆锥的母线长$ l $，半圆的弧长为对应整圆周长的一半，即$ C_{\mathrm{半弧}}=\frac{1}{2}×2π l=π l $。
3. 列等式求解：根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得$ π l=10π $，两边同时除以$ π $，解得$ l=10 $。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题关键是抓住“侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长”这一不变量，只要掌握这个核心等量关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是找到圆锥与侧面展开半圆之间的等量关系：圆锥底面圆的周长等于侧面展开半圆的弧长。首先分别用公式表示出底面周长和半圆弧长，再列等式求解母线长即可。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：根据圆的周长公式$ C=2π r $，已知底面半径$ r=5 $，可得底面周长$ C_{\mathrm{底}}=2π×5=10π $。
2. 计算侧面展开半圆的弧长：侧面展开半圆的半径等于圆锥的母线长$ l $，半圆的弧长为对应整圆周长的一半，即$ C_{\mathrm{半弧}}=\frac{1}{2}×2π l=π l $。
3. 列等式求解：根据圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，可得$ π l=10π $，两边同时除以$ π $，解得$ l=10 $。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题关键是抓住“侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长”这一不变量，只要掌握这个核心等量关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2.已知圆锥的底面半径为2 cm，母线长为5 cm，则圆锥的侧面积是（
A.$20\ \mathrm{cm}^2$
B.$20π\ \mathrm{cm}^2$
C.$10π\ \mathrm{cm}^2$
D.$5π\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$20\ \mathrm{cm}^2$
B.$20π\ \mathrm{cm}^2$
C.$10π\ \mathrm{cm}^2$
D.$5π\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的推导逻辑和计算公式：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由此可推出圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$是底面半径，$l$是母线长）。接下来只需将题干给出的数值代入公式计算，匹配对应选项即可。
【解析】
解：圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长。
根据题意，$r=2\ \mathrm{cm}$，$l=5\ \mathrm{cm}$，代入公式可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 2 × 5=10π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，只要牢记公式、准确代入数值计算即可得分，解题时注意不要混淆侧面积和全面积的计算公式。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆圆锥侧面积的推导逻辑和计算公式：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由此可推出圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（$r$是底面半径，$l$是母线长）。接下来只需将题干给出的数值代入公式计算，匹配对应选项即可。
【解析】
解：圆锥侧面积的计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$为圆锥底面半径，$l$为圆锥母线长。
根据题意，$r=2\ \mathrm{cm}$，$l=5\ \mathrm{cm}$，代入公式可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 2 × 5=10π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，只要牢记公式、准确代入数值计算即可得分，解题时注意不要混淆侧面积和全面积的计算公式。
【难度系数】
0.9
3.如图29－3－15，已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是(
A.30°
B.60°
C.90°
D.180°
图29－3－15
图29－3－16
D
)A.30°
B.60°
C.90°
D.180°
图29－3－15
图29－3－16
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开后是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以利用“底面周长=展开扇形的弧长”这一等量关系，结合扇形弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设此圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3\mathrm{cm}$，可得底面周长$C=2π×3=6π\mathrm{cm}$。
2. 圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长$6\mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，结合弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
3. 解方程：两边同时约去$π$，化简得$\frac{n}{30}=6$，解得$n=180$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，圆的周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握圆锥与其侧面展开扇形的对应等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆锥侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开后是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以利用“底面周长=展开扇形的弧长”这一等量关系，结合扇形弧长公式列方程，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设此圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3\mathrm{cm}$，可得底面周长$C=2π×3=6π\mathrm{cm}$。
2. 圆锥侧面展开扇形的半径等于母线长$6\mathrm{cm}$，根据扇形弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，结合弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ×6}{180}=6π$
3. 解方程：两边同时约去$π$，化简得$\frac{n}{30}=6$，解得$n=180$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式，圆的周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握圆锥与其侧面展开扇形的对应等量关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图29－3－16，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为$60°$的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
B
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
4.B
解析
【分析】要解决这道题，我们可以按两步思路推导：首先需先求出扇形ABC的半径长度，再利用“扇形弧长等于围成圆锥的底面周长”的等量关系计算底面半径。已知原圆形铁皮直径为2，可先得原圆半径为1，结合扇形圆心角为60°的条件，通过三角函数或垂径定理算出扇形的半径AB；再代入弧长公式计算扇形弧长，最后根据弧长与底面周长的等量关系列方程求解即可。
【解析】解：设原圆形铁皮的圆心为O，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于点D。
∵原圆形铁皮直径为2，
∴原圆半径OA=OB=1。
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴AO平分∠BAC，即∠OAD=30°。
在Rt△AOD中，$ AD=OA·\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} $。
∵OD⊥AB，由垂径定理得AB=2AD=√3，即扇形ABC的半径为√3。
根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=60°，R=√3得：
$ l=\frac{60π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3} $。
设圆锥底面圆半径为r，
∵扇形弧长等于圆锥底面周长，
∴$ 2π r=\frac{\sqrt{3}π}{3} $，化简得$ r=\frac{\sqrt{3}}{6} $。
【答案】B
【知识点】扇形弧长计算；圆锥展开图性质；直角三角形性质
【点评】本题是圆锥展开图的典型基础题，核心考查扇形与圆锥的对应关系，易错点是容易误将原圆形的半径当作扇形的半径计算，解题时要注意区分两个不同半径的含义。
【难度系数】0.6
【解析】解：设原圆形铁皮的圆心为O，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于点D。
∵原圆形铁皮直径为2，
∴原圆半径OA=OB=1。
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴AO平分∠BAC，即∠OAD=30°。
在Rt△AOD中，$ AD=OA·\cos30°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} $。
∵OD⊥AB，由垂径定理得AB=2AD=√3，即扇形ABC的半径为√3。
根据扇形弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（n为圆心角度数，R为扇形半径），代入n=60°，R=√3得：
$ l=\frac{60π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3} $。
设圆锥底面圆半径为r，
∵扇形弧长等于圆锥底面周长，
∴$ 2π r=\frac{\sqrt{3}π}{3} $，化简得$ r=\frac{\sqrt{3}}{6} $。
【答案】B
【知识点】扇形弧长计算；圆锥展开图性质；直角三角形性质
【点评】本题是圆锥展开图的典型基础题，核心考查扇形与圆锥的对应关系，易错点是容易误将原圆形的半径当作扇形的半径计算，解题时要注意区分两个不同半径的含义。
【难度系数】0.6
5.已知一个圆锥形的零件的母线长为3 cm，底面半径为2 cm，则这个圆锥形零件的侧面积为
6π
cm².(用含π的式子表示)答案
5.6π
解析
【分析】
要计算圆锥形零件的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的相关知识：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由此推导得到圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长）。接下来从题干中找到对应的已知量：底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=3\mathrm{cm}$，将数值代入公式即可算出结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：
$S_{侧}=π rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）
已知$r=2\mathrm{cm}$，$l=3\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{侧}=π×2×3=6π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$6π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥与展开扇形的对应关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥侧面积公式的应用，只要熟记公式并准确对应题干给出的已知量，即可快速求解，是圆锥相关计算的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要计算圆锥形零件的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的相关知识：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由此推导得到圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是圆锥底面半径，$l$是圆锥的母线长）。接下来从题干中找到对应的已知量：底面半径$r=2\mathrm{cm}$，母线长$l=3\mathrm{cm}$，将数值代入公式即可算出结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：
$S_{侧}=π rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）
已知$r=2\mathrm{cm}$，$l=3\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{侧}=π×2×3=6π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$6π$
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥与展开扇形的对应关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥侧面积公式的应用，只要熟记公式并准确对应题干给出的已知量，即可快速求解，是圆锥相关计算的典型基础题。
【难度系数】
0.9
6. 图29－3－17是一纸杯，将它的各条母线延长后，这些线会交于一点，围成的立体图形是圆锥.该圆锥的侧面展开图是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径为6 cm，下底面直径为4 cm，母线长EF=8 cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积.（面积计算结果用含π的式子表示）
答案
6. 解:由题意可知:$\overset{\frown}{BA}=6π,\overset{\frown}{CD}=4π$,
设$∠AOB=n°,AO=R$,则$CO=R-8$.
由弧长公式得$\frac{nπR}{180}=6π,\frac{nπ(R-8)}{180}=4π$.
解方程组$\begin{cases}6×180=nR,\\4×180=nR-8n,\end{cases}$得$\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
故扇形OAB的圆心角是$45°$.
$\because R=24\ \mathrm{cm},R-8=16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{纸杯侧面积}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{\mathrm{扇形}OCD}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$,
$S_{\mathrm{纸杯底面积}}=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{纸杯表面积}}=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$.
设$∠AOB=n°,AO=R$,则$CO=R-8$.
由弧长公式得$\frac{nπR}{180}=6π,\frac{nπ(R-8)}{180}=4π$.
解方程组$\begin{cases}6×180=nR,\\4×180=nR-8n,\end{cases}$得$\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
故扇形OAB的圆心角是$45°$.
$\because R=24\ \mathrm{cm},R-8=16\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{纸杯侧面积}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{\mathrm{扇形}OCD}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$,
$S_{\mathrm{纸杯底面积}}=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{纸杯表面积}}=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要解决本题可分为两步：第一步求扇形圆心角，第二步求纸杯表面积。首先，纸杯上下底的周长分别对应侧面展开图中两段弧的长度，可先根据直径求出两段弧长。接下来设圆心角为$n°$，大扇形$OAB$半径为$R$，则小扇形$OCD$的半径为$R-8$（母线长为8cm），结合弧长公式列两个关于$n$和$R$的方程，联立求解即可得到圆心角和半径。计算表面积时，纸杯侧面积为大、小扇形的面积差，再加上纸杯下底面的圆面积（上开口无底面，无需计算），即可得到总表面积。
【解析】
解：由题意得，纸杯上开口圆周长对应$\overset{\frown}{BA}$的长，下底面圆周长对应$\overset{\frown}{CD}$的长，因此：
$\overset{\frown}{BA}=6π$，$\overset{\frown}{CD}=4π$
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-8\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}6×180=nR\\4×180=nR-8n\end{cases}$
将$nR=1080$代入第二个方程，解得$\begin{cases}n=45\\R=24\end{cases}$，即扇形$OAB$的圆心角为$45°$。
再计算面积：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$
$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$
纸杯侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$
纸杯下底面积：$S_{\mathrm{底}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π(\mathrm{cm}^2)$
因此纸杯表面积：$S_{\mathrm{表}}=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
扇形OAB的圆心角为$45°$，纸杯的表面积为$44π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查弧长、扇形面积公式的综合应用，解题核心是找准圆台侧面展开图的弧长与原几何体上下底周长的对应关系，通过建立方程组求解未知参数，计算表面积时注意仅需加下底面积，不要多加上开口的面积。
【难度系数】
0.6
要解决本题可分为两步：第一步求扇形圆心角，第二步求纸杯表面积。首先，纸杯上下底的周长分别对应侧面展开图中两段弧的长度，可先根据直径求出两段弧长。接下来设圆心角为$n°$，大扇形$OAB$半径为$R$，则小扇形$OCD$的半径为$R-8$（母线长为8cm），结合弧长公式列两个关于$n$和$R$的方程，联立求解即可得到圆心角和半径。计算表面积时，纸杯侧面积为大、小扇形的面积差，再加上纸杯下底面的圆面积（上开口无底面，无需计算），即可得到总表面积。
【解析】
解：由题意得，纸杯上开口圆周长对应$\overset{\frown}{BA}$的长，下底面圆周长对应$\overset{\frown}{CD}$的长，因此：
$\overset{\frown}{BA}=6π$，$\overset{\frown}{CD}=4π$
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-8\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}6×180=nR\\4×180=nR-8n\end{cases}$
将$nR=1080$代入第二个方程，解得$\begin{cases}n=45\\R=24\end{cases}$，即扇形$OAB$的圆心角为$45°$。
再计算面积：
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π(\mathrm{cm}^2)$
$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π(\mathrm{cm}^2)$
纸杯侧面积：$S_{\mathrm{侧}}=72π-32π=40π(\mathrm{cm}^2)$
纸杯下底面积：$S_{\mathrm{底}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π(\mathrm{cm}^2)$
因此纸杯表面积：$S_{\mathrm{表}}=40π+4π=44π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
扇形OAB的圆心角为$45°$，纸杯的表面积为$44π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，扇形面积计算，几何体表面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查弧长、扇形面积公式的综合应用，解题核心是找准圆台侧面展开图的弧长与原几何体上下底周长的对应关系，通过建立方程组求解未知参数，计算表面积时注意仅需加下底面积，不要多加上开口的面积。
【难度系数】
0.6
