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【例1】如图27－1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线$y=x$上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是()
A.$1＜k＜2$
B.$1≤k≤3$
C.$1≤k≤4$
D.$1≤k＜4$
思路分析：要使反比例函数的图象与△ABC有交点，则向下刚好过A点，向上刚好过BC的中点，只要求出BC中点的坐标，代入解析式即可求得k的取值范围。
答案：C
A.$1＜k＜2$
B.$1≤k≤3$
C.$1≤k≤4$
D.$1≤k＜4$
思路分析：要使反比例函数的图象与△ABC有交点，则向下刚好过A点，向上刚好过BC的中点，只要求出BC中点的坐标，代入解析式即可求得k的取值范围。
答案：C
答案
C
解析
【分析】
解题时首先确定△ABC三个顶点的坐标：先由A在直线y=x上、横坐标为1，得A点坐标；再结合AB平行x轴、AC平行y轴，AB=AC=2，求出B、C两点坐标。接下来分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义是图象上点的横、纵坐标的乘积，要让反比例函数与△ABC有交点：当函数过A点时k取最小值，当函数与线段BC相切时k取最大值，联立BC的直线解析式与反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式求出k的最大值，验证交点在线段BC上即可确定k的取值范围。
【解析】
步骤1：求各点坐标
∵点A在直线$y=x$上，横坐标为1，
∴将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，即$A(1,1)$。
∵$AB// x$轴，$AC// y$轴，$AB=AC=2$，
∴B点横坐标为$1+2=3$，纵坐标与A相同为1，即$B(3,1)$；
C点纵坐标为$1+2=3$，横坐标与A相同为1，即$C(1,3)$。
步骤2：求k的最小值
当反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点A时，k取最小值，将$A(1,1)$代入解析式得：
$k=1×1=1$。
步骤3：求k的最大值
先求线段BC的解析式：设BC的解析式为$y=ax+b$，代入$B(3,1)$、$C(1,3)$得：
$\begin{cases}3a+b=1 \\a+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=4 \end{cases}$，即BC的解析式为$y=-x+4$（$1≤ x≤3$）。
联立反比例函数与BC的解析式：$\begin{cases}y=\frac{k}{x} \\y=-x+4 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2 -4x +k=0$
当反比例函数与BC有交点时，上述方程在$1≤ x≤3$范围内有实根，判别式$\Delta = (-4)^2 -4×1× k = 16-4k≥0$，解得$k≤4$。
此时方程的解为$x=2$，代入得$y=2$，点$(2,2)$在线段BC上，符合条件，即k的最大值为4。
综上，k的取值范围是$1≤ k≤4$。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.一次函数解析式求解
3.一元二次方程判别式的应用
【点评】
本题属于函数与几何结合的综合题，解题核心是先明确几何图形的顶点坐标，再找到反比例函数与图形有交点时的临界情况，既考查了函数的基本性质，也锻炼了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先确定△ABC三个顶点的坐标：先由A在直线y=x上、横坐标为1，得A点坐标；再结合AB平行x轴、AC平行y轴，AB=AC=2，求出B、C两点坐标。接下来分析反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义是图象上点的横、纵坐标的乘积，要让反比例函数与△ABC有交点：当函数过A点时k取最小值，当函数与线段BC相切时k取最大值，联立BC的直线解析式与反比例函数解析式，利用一元二次方程判别式求出k的最大值，验证交点在线段BC上即可确定k的取值范围。
【解析】
步骤1：求各点坐标
∵点A在直线$y=x$上，横坐标为1，
∴将$x=1$代入$y=x$得$y=1$，即$A(1,1)$。
∵$AB// x$轴，$AC// y$轴，$AB=AC=2$，
∴B点横坐标为$1+2=3$，纵坐标与A相同为1，即$B(3,1)$；
C点纵坐标为$1+2=3$，横坐标与A相同为1，即$C(1,3)$。
步骤2：求k的最小值
当反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点A时，k取最小值，将$A(1,1)$代入解析式得：
$k=1×1=1$。
步骤3：求k的最大值
先求线段BC的解析式：设BC的解析式为$y=ax+b$，代入$B(3,1)$、$C(1,3)$得：
$\begin{cases}3a+b=1 \\a+b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=4 \end{cases}$，即BC的解析式为$y=-x+4$（$1≤ x≤3$）。
联立反比例函数与BC的解析式：$\begin{cases}y=\frac{k}{x} \\y=-x+4 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2 -4x +k=0$
当反比例函数与BC有交点时，上述方程在$1≤ x≤3$范围内有实根，判别式$\Delta = (-4)^2 -4×1× k = 16-4k≥0$，解得$k≤4$。
此时方程的解为$x=2$，代入得$y=2$，点$(2,2)$在线段BC上，符合条件，即k的最大值为4。
综上，k的取值范围是$1≤ k≤4$。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.一次函数解析式求解
3.一元二次方程判别式的应用
【点评】
本题属于函数与几何结合的综合题，解题核心是先明确几何图形的顶点坐标，再找到反比例函数与图形有交点时的临界情况，既考查了函数的基本性质，也锻炼了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
【例2】如图27－2，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$的图象与直线$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$的一个交点的横坐标为2，那么当$x=3$时，$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。
思路分析:当$x=3$时,要比较$y_1$与$y_2$的大小,由于未告诉双曲线与直线具体对应的函数解析式,只能根据函数的图象解答.观察函数的图象可知:当$x=3$时,双曲线$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$上对应的点低于直线$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$上对应的点.
答案:＜
思路分析:当$x=3$时,要比较$y_1$与$y_2$的大小,由于未告诉双曲线与直线具体对应的函数解析式,只能根据函数的图象解答.观察函数的图象可知:当$x=3$时,双曲线$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$上对应的点低于直线$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$上对应的点.
答案:＜
答案
$＜$
解析
【分析】
要比较x=3时y₁和y₂的大小，题目未给出两个函数的具体参数，无法直接代入计算，因此采用数形结合的方法分析：首先明确两个函数的交点横坐标为2，即x=2时两个函数值相等；再结合两个函数的增减性，判断x＞2时两个函数值的变化趋势，即可得出x=3时的大小关系。
【解析】
解：由函数图象可得，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$与直线$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$的交点横坐标为2，即当$x=2$时，$y_1=y_2$。
根据函数性质：
1. 反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=3＞2$时，$y_1$小于$x=2$时的函数值；
2. 一次函数$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=3＞2$时，$y_2$大于$x=2$时的函数值。
由此可得，当$x=3$时，$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，数形结合比较函数值
【点评】
本题无需计算函数的具体解析式，只需结合函数图象与增减性即可判断函数值的大小，重点考查数形结合思想的应用，解题时要注意结合函数的增减性分析交点两侧的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
要比较x=3时y₁和y₂的大小，题目未给出两个函数的具体参数，无法直接代入计算，因此采用数形结合的方法分析：首先明确两个函数的交点横坐标为2，即x=2时两个函数值相等；再结合两个函数的增减性，判断x＞2时两个函数值的变化趋势，即可得出x=3时的大小关系。
【解析】
解：由函数图象可得，反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$与直线$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$的交点横坐标为2，即当$x=2$时，$y_1=y_2$。
根据函数性质：
1. 反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1＞0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=3＞2$时，$y_1$小于$x=2$时的函数值；
2. 一次函数$y_2=k_2x+b(k_2＞0)$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=3＞2$时，$y_2$大于$x=2$时的函数值。
由此可得，当$x=3$时，$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，数形结合比较函数值
【点评】
本题无需计算函数的具体解析式，只需结合函数图象与增减性即可判断函数值的大小，重点考查数形结合思想的应用，解题时要注意结合函数的增减性分析交点两侧的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
【例3】“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动. 如图27－3，某化工厂2025年1月的利润为200万元，设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元，由于排污超标，该厂决定从2025年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，使得月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完成，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元.
(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y关于x的函数解析式；
(2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，那么该厂资金紧张期共有几个月？
思路分析:本题考查反比例函数、一次函数在实际问题中的综合应用.
解:(1)当$1≤x≤5$时，设$y=\frac{k}{x}$，由图知图象过$(1,200)$，
∴$200=\frac{k}{1}$，∴$k=200$，即$y=\frac{200}{x}$.
当$x=5$时，$y=40$.
∴当$x＞5$时，$y=40+20(x-5)=20x-60$.
(2)当$y=200$时，$20x-60=200$，解得$x=13$，$13-5=8$(个).
∴治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平.
(3)对于$y=\frac{200}{x}$，当$y=100$时，$x=2$，
对于$y=20x-60$，当$y=100$时，$x=8$，$8-2=6$(个)，
∴资金紧张期为6个月.
点拨:本题中(1)问实际是一个分段函数问题，需结合图象及自变量的取值范围解答.
(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y关于x的函数解析式；
(2)治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平？
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，那么该厂资金紧张期共有几个月？
思路分析:本题考查反比例函数、一次函数在实际问题中的综合应用.
解:(1)当$1≤x≤5$时，设$y=\frac{k}{x}$，由图知图象过$(1,200)$，
∴$200=\frac{k}{1}$，∴$k=200$，即$y=\frac{200}{x}$.
当$x=5$时，$y=40$.
∴当$x＞5$时，$y=40+20(x-5)=20x-60$.
(2)当$y=200$时，$20x-60=200$，解得$x=13$，$13-5=8$(个).
∴治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平.
(3)对于$y=\frac{200}{x}$，当$y=100$时，$x=2$，
对于$y=20x-60$，当$y=100$时，$x=8$，$8-2=6$(个)，
∴资金紧张期为6个月.
点拨:本题中(1)问实际是一个分段函数问题，需结合图象及自变量的取值范围解答.
答案
解：(1) 当$1≤ x≤5$时，设治污期间的函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$(1,200)$代入解析式，得$200=\frac{k}{1}$，解得$k=200$，
因此治污期间y关于x的函数解析式为$y=\frac{200}{x} \quad (1≤ x≤5)$。
当$x=5$时，代入$y=\frac{200}{x}$，得$y=\frac{200}{5}=40$。
根据题意，治污改造工程完工后每月利润比前一个月增加20万元，
因此当$x＞5$时，$y=40+20(x-5)=20x-60$，
即治污改造工程完工后y关于x的函数解析式为$y=20x-60 \quad (x＞5)$。
(2) 令$y=200$，代入$y=20x-60$，得
$20x-60=200$，
解得$x=13$，
$13-5=8$（个）。
答：治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平。
(3) 对于反比例函数$y=\frac{200}{x}$，令$y=100$，得$\frac{200}{x}=100$，解得$x=2$，
在$1≤ x≤5$范围内，y随x的增大而减小，因此当$y＜100$时，$x＞2$。
对于一次函数$y=20x-60$，令$y=100$，得$20x-60=100$，解得$x=8$，
在$x＞5$范围内，y随x的增大而增大，因此当$y＜100$时，$x＜8$。
结合x为正整数，满足$2＜x＜8$的正整数为3、4、5、6、7，共5个。
答：该厂资金紧张期共有5个月。
将点$(1,200)$代入解析式，得$200=\frac{k}{1}$，解得$k=200$，
因此治污期间y关于x的函数解析式为$y=\frac{200}{x} \quad (1≤ x≤5)$。
当$x=5$时，代入$y=\frac{200}{x}$，得$y=\frac{200}{5}=40$。
根据题意，治污改造工程完工后每月利润比前一个月增加20万元，
因此当$x＞5$时，$y=40+20(x-5)=20x-60$，
即治污改造工程完工后y关于x的函数解析式为$y=20x-60 \quad (x＞5)$。
(2) 令$y=200$，代入$y=20x-60$，得
$20x-60=200$，
解得$x=13$，
$13-5=8$（个）。
答：治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2025年1月的水平。
(3) 对于反比例函数$y=\frac{200}{x}$，令$y=100$，得$\frac{200}{x}=100$，解得$x=2$，
在$1≤ x≤5$范围内，y随x的增大而减小，因此当$y＜100$时，$x＞2$。
对于一次函数$y=20x-60$，令$y=100$，得$20x-60=100$，解得$x=8$，
在$x＞5$范围内，y随x的增大而增大，因此当$y＜100$时，$x＜8$。
结合x为正整数，满足$2＜x＜8$的正整数为3、4、5、6、7，共5个。
答：该厂资金紧张期共有5个月。
解析
【分析】
本题是分段函数在实际问题中的应用，按以下思路求解：1. 求分段函数解析式：首先$1\le x\le5$时y与x成反比例，已知函数过点$(1,200)$，用待定系数法即可求出反比例函数解析式；再计算$x=5$时的利润值，$x＞5$时每月利润递增20万元，属于一次函数关系，结合$x=5$时的利润即可求出该段函数解析式。2. 求利润回到200万元的时间：将$y=200$代入$x＞5$对应的一次函数解析式，求出对应的x值，减去完工月份5，就是所需的月数。3. 求资金紧张期时长：分别在两个函数段中令$y=100$，求出对应的x值，结合两段函数的增减性得到$y＜100$时x的取值范围，再取范围内的正整数计数即可，注意x代表月份，是正整数。
【解析】
(1) ① 治污期间（$1\le x\le5$）：设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$(1,200)$代入解析式得：$200=\frac{k}{1}$，解得$k=200$，
因此治污期间y关于x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}\ (1\le x\le5)$。
② 治污改造完工后（$x＞5$）：先计算$x=5$时的利润，将$x=5$代入$y=\frac{200}{x}$，得$y=\frac{200}{5}=40$，
根据题意每月利润比前一个月增加20万元，因此$y=40+20(x-5)=20x-60$，
即完工后y关于x的函数解析式为$y=20x-60\ (x＞5)$。
(2) 2025年1月利润为200万元，令$y=200$，代入$y=20x-60$得：
$20x-60=200$，
解得$x=13$，
完工月份为5月，因此所需时间为$13-5=8$（个）。
(3) 分别求两段函数中$y=100$时的x值：
① 在$y=\frac{200}{x}$中，令$y=100$，得$\frac{200}{x}=100$，解得$x=2$，
因为$1\le x\le5$时y随x增大而减小，因此当$y＜100$时，$x＞2$；
② 在$y=20x-60$中，令$y=100$，得$20x-60=100$，解得$x=8$，
因为$x＞5$时y随x增大而增大，因此当$y＜100$时，$x＜8$；
综上，$y＜100$时x的取值范围为$2＜x＜8$，x为正整数，即x=3、4、5、6、7，共5个。
【答案】
(1) 治污期间：$\boldsymbol{y=\frac{200}{x}\ (1\le x\le5)}$；治污改造完工后：$\boldsymbol{y=20x-60\ (x＞5)}$
(2) 8个
(3) 5个
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，分段函数的实际应用
【点评】
本题结合环保治污的实际背景，考查分段函数的求解与应用，解题时要注意不同自变量区间对应的函数类型，结合函数的增减性确定取值范围，同时不要忽略x为正整数（月份）这个隐含条件，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数在实际问题中的应用，按以下思路求解：1. 求分段函数解析式：首先$1\le x\le5$时y与x成反比例，已知函数过点$(1,200)$，用待定系数法即可求出反比例函数解析式；再计算$x=5$时的利润值，$x＞5$时每月利润递增20万元，属于一次函数关系，结合$x=5$时的利润即可求出该段函数解析式。2. 求利润回到200万元的时间：将$y=200$代入$x＞5$对应的一次函数解析式，求出对应的x值，减去完工月份5，就是所需的月数。3. 求资金紧张期时长：分别在两个函数段中令$y=100$，求出对应的x值，结合两段函数的增减性得到$y＜100$时x的取值范围，再取范围内的正整数计数即可，注意x代表月份，是正整数。
【解析】
(1) ① 治污期间（$1\le x\le5$）：设函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，
将点$(1,200)$代入解析式得：$200=\frac{k}{1}$，解得$k=200$，
因此治污期间y关于x的函数解析式为$y=\frac{200}{x}\ (1\le x\le5)$。
② 治污改造完工后（$x＞5$）：先计算$x=5$时的利润，将$x=5$代入$y=\frac{200}{x}$，得$y=\frac{200}{5}=40$，
根据题意每月利润比前一个月增加20万元，因此$y=40+20(x-5)=20x-60$，
即完工后y关于x的函数解析式为$y=20x-60\ (x＞5)$。
(2) 2025年1月利润为200万元，令$y=200$，代入$y=20x-60$得：
$20x-60=200$，
解得$x=13$，
完工月份为5月，因此所需时间为$13-5=8$（个）。
(3) 分别求两段函数中$y=100$时的x值：
① 在$y=\frac{200}{x}$中，令$y=100$，得$\frac{200}{x}=100$，解得$x=2$，
因为$1\le x\le5$时y随x增大而减小，因此当$y＜100$时，$x＞2$；
② 在$y=20x-60$中，令$y=100$，得$20x-60=100$，解得$x=8$，
因为$x＞5$时y随x增大而增大，因此当$y＜100$时，$x＜8$；
综上，$y＜100$时x的取值范围为$2＜x＜8$，x为正整数，即x=3、4、5、6、7，共5个。
【答案】
(1) 治污期间：$\boldsymbol{y=\frac{200}{x}\ (1\le x\le5)}$；治污改造完工后：$\boldsymbol{y=20x-60\ (x＞5)}$
(2) 8个
(3) 5个
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，分段函数的实际应用
【点评】
本题结合环保治污的实际背景，考查分段函数的求解与应用，解题时要注意不同自变量区间对应的函数类型，结合函数的增减性确定取值范围，同时不要忽略x为正整数（月份）这个隐含条件，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
