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1. 如图27－4是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（
A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$y=\dfrac{1}{3}x$
B
）A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{x}$
D.$y=\dfrac{1}{3}x$
答案
1.B 点拨:反比例函数的图象位于第一、第三象限,说明$k＞0$,故本题答案是 B.
解析
【分析】
解题第一步先明确题干给出的是反比例函数图象，所以先根据函数类型排除不符合的选项：首先回忆各类基本函数的图象特征，二次函数图象是抛物线，正比例函数图象是过原点的直线，均可直接排除。第二步再结合反比例函数的性质判断：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，$k$的符号决定图象所在象限，图象在一、三象限说明$k＞0$，据此筛选剩下的选项即可得到答案。
【解析】
解：首先根据函数类型排除错误选项：
1. 选项A：$y=x^2$是二次函数，图象为开口向上的抛物线，不符合题意，排除；
2. 选项D：$y=\dfrac{1}{3}x$是正比例函数，图象为过原点的直线，不符合题意，排除；
已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$的性质：当$k＞0$时，图象位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、第四象限。
题中图象在第一、第三象限，故反比例函数的$k＞0$：
3. 选项B：$y=\dfrac{4}{x}$中$k=4＞0$，符合图象特征；
4. 选项C：$y=-\dfrac{3}{x}$中$k=-3＜0$，图象应在第二、第四象限，不符合题意，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的识别；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题，主要考查不同类型函数的图象区分，以及反比例函数中$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握基础函数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题第一步先明确题干给出的是反比例函数图象，所以先根据函数类型排除不符合的选项：首先回忆各类基本函数的图象特征，二次函数图象是抛物线，正比例函数图象是过原点的直线，均可直接排除。第二步再结合反比例函数的性质判断：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，$k$的符号决定图象所在象限，图象在一、三象限说明$k＞0$，据此筛选剩下的选项即可得到答案。
【解析】
解：首先根据函数类型排除错误选项：
1. 选项A：$y=x^2$是二次函数，图象为开口向上的抛物线，不符合题意，排除；
2. 选项D：$y=\dfrac{1}{3}x$是正比例函数，图象为过原点的直线，不符合题意，排除；
已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$的性质：当$k＞0$时，图象位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、第四象限。
题中图象在第一、第三象限，故反比例函数的$k＞0$：
3. 选项B：$y=\dfrac{4}{x}$中$k=4＞0$，符合图象特征；
4. 选项C：$y=-\dfrac{3}{x}$中$k=-3＜0$，图象应在第二、第四象限，不符合题意，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的识别；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题，主要考查不同类型函数的图象区分，以及反比例函数中$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握基础函数的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.85
2.已知$A(1,y_1),B(2,y_2)$两点在双曲线$y=\frac{5+3m}{x}$上，且$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是（
A.$m＜0$
B.$m＞0$
C.$m＞-\frac{5}{3}$
D.$m＜-\frac{5}{3}$
C
）A.$m＜0$
B.$m＞0$
C.$m＞-\frac{5}{3}$
D.$m＜-\frac{5}{3}$
答案
2.C 点拨:由 $A(1, y_1), B(2, y_2)$ 两点在双曲线 $y=\frac{5+3m}{x}$ 上, 且 $y_1＞y_2$, 知双曲线位于第一、第三象限, 故有 $5+3m＞0$, 解得$m＞-\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的性质应用，解题思路如下：第一步，先观察已知两点的横坐标，可知1＜2，结合给出的$y_1＞y_2$，可判断出在x＞0的范围内，y随x的增大而减小；第二步，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的增减性规律，当函数在同一象限内y随x增大而减小时，比例系数k＞0，由此得到关于m的不等式；第三步，解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
已知$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$两点都在双曲线$y=\frac{5+3m}{x}$上，两点横坐标1＞0、2＞0，说明两点位于同一象限。
因为$1＜2$，且$y_1＞y_2$，即当x增大时，对应的y值减小，根据反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的比例系数$k＞0$时，在每个象限内y随x的增大而减小，可得：
$5+3m＞0$
解这个不等式：
$3m＞-5$
$m＞-\frac{5}{3}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题核心是通过两点横、纵坐标的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，熟记反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
本题考查反比例函数的性质应用，解题思路如下：第一步，先观察已知两点的横坐标，可知1＜2，结合给出的$y_1＞y_2$，可判断出在x＞0的范围内，y随x的增大而减小；第二步，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$的增减性规律，当函数在同一象限内y随x增大而减小时，比例系数k＞0，由此得到关于m的不等式；第三步，解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
已知$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$两点都在双曲线$y=\frac{5+3m}{x}$上，两点横坐标1＞0、2＞0，说明两点位于同一象限。
因为$1＜2$，且$y_1＞y_2$，即当x增大时，对应的y值减小，根据反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的比例系数$k＞0$时，在每个象限内y随x的增大而减小，可得：
$5+3m＞0$
解这个不等式：
$3m＞-5$
$m＞-\frac{5}{3}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题核心是通过两点横、纵坐标的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，熟记反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.75
3.下列选项中，阴影部分的面积为1的是（
D
）答案
3.D
解析
【分析】
要判断哪个选项的阴影部分面积为1，我们只需逐一计算四个选项中阴影图形的面积，再和1对比即可。计算时先判断阴影图形的形状，再结合对应图形的面积公式、函数表达式求出对应边长/高，代入计算即可。
【解析】
我们逐个计算各选项阴影面积：
选项A：阴影为梯形，上底长1，下底长2，高为1，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，得$S_A=\frac{(1+2)×1}{2}=1.5$，不符合要求。
选项B：当$x=1$时，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{3}{2}$，阴影为直角三角形，底为1，高为$\frac{3}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{底×高}{2}$，得$S_B=\frac{1×\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$，不符合要求。
选项C：当$x=1$时，代入$y=\frac{1}{x}$得$y=1$，阴影为直角三角形，底为1，高为1，得$S_C=\frac{1×1}{2}=0.5$，不符合要求。
选项D：阴影为三角形，底边长为$1-(-1)=2$，高为1，得$S_D=\frac{2×1}{2}=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面图形面积计算
2. 一次函数图象性质
3. 反比例函数几何意义
【点评】
本题属于基础题，结合函数图象考查面积计算，只要熟练掌握常见平面图形的面积公式，以及一次函数、反比例函数的基本性质，逐一计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项的阴影部分面积为1，我们只需逐一计算四个选项中阴影图形的面积，再和1对比即可。计算时先判断阴影图形的形状，再结合对应图形的面积公式、函数表达式求出对应边长/高，代入计算即可。
【解析】
我们逐个计算各选项阴影面积：
选项A：阴影为梯形，上底长1，下底长2，高为1，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，得$S_A=\frac{(1+2)×1}{2}=1.5$，不符合要求。
选项B：当$x=1$时，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{3}{2}$，阴影为直角三角形，底为1，高为$\frac{3}{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{底×高}{2}$，得$S_B=\frac{1×\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$，不符合要求。
选项C：当$x=1$时，代入$y=\frac{1}{x}$得$y=1$，阴影为直角三角形，底为1，高为1，得$S_C=\frac{1×1}{2}=0.5$，不符合要求。
选项D：阴影为三角形，底边长为$1-(-1)=2$，高为1，得$S_D=\frac{2×1}{2}=1$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平面图形面积计算
2. 一次函数图象性质
3. 反比例函数几何意义
【点评】
本题属于基础题，结合函数图象考查面积计算，只要熟练掌握常见平面图形的面积公式，以及一次函数、反比例函数的基本性质，逐一计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4.【跨学科融合·物理】同温同压下，当相同气体的质量一定时，气体的体积与密度是
反比例
函数关系。答案
4.反比例
解析
【分析】
解题时首先结合物理学科中质量、密度、体积三者的关系式，明确题目中的常量与变量，再根据反比例函数的定义判断两个变量的函数关系。第一步先写出三者的基本公式：质量=密度×体积，第二步结合题目中“质量一定”的条件确定常量，第三步将公式变形，对照反比例函数的特征进行判定即可。
【解析】
根据物理中质量、体积、密度的关系可得：$ m = \rho V $（其中$ m $为气体质量，$ \rho $为气体密度，$ V $为气体体积）。
已知同温同压下相同气体的质量一定，即$ m $是不为0的定值，对公式变形可得$ V = \frac{m}{\rho} $，符合反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的形式，因此气体的体积与密度是反比例函数关系。
【答案】反比例
【知识点】反比例函数的判定；密度与质量体积的关系
【点评】本题是跨学科融合题型，将数学的函数知识与物理的基本公式结合考查，核心是掌握反比例函数的判定特征和基础的物理公式。
【难度系数】0.8
解题时首先结合物理学科中质量、密度、体积三者的关系式，明确题目中的常量与变量，再根据反比例函数的定义判断两个变量的函数关系。第一步先写出三者的基本公式：质量=密度×体积，第二步结合题目中“质量一定”的条件确定常量，第三步将公式变形，对照反比例函数的特征进行判定即可。
【解析】
根据物理中质量、体积、密度的关系可得：$ m = \rho V $（其中$ m $为气体质量，$ \rho $为气体密度，$ V $为气体体积）。
已知同温同压下相同气体的质量一定，即$ m $是不为0的定值，对公式变形可得$ V = \frac{m}{\rho} $，符合反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $）的形式，因此气体的体积与密度是反比例函数关系。
【答案】反比例
【知识点】反比例函数的判定；密度与质量体积的关系
【点评】本题是跨学科融合题型，将数学的函数知识与物理的基本公式结合考查，核心是掌握反比例函数的判定特征和基础的物理公式。
【难度系数】0.8
5.已知反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$，则$a=$
-3
。答案
5.$-3$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标都满足函数的解析式。因此本题只需将点P的横坐标$x=a+1$、纵坐标$y=4$代入已知的反比例函数解析式，即可得到关于$a$的方程，解出方程后检验分母不为0，就能得到$a$的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$
∴ 将$x=a+1$，$y=4$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得：
$4=-\dfrac{8}{a+1}$
方程两边同乘$(a+1)$，得：
$4(a+1)=-8$
两边同时除以4，得：
$a+1=-2$
移项计算得：
$a=-3$
检验：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，符合题意。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 解分式方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题思路清晰直接，仅需代入坐标解方程即可，计算时注意符号问题即可避免失分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数图象上的所有点的横、纵坐标都满足函数的解析式。因此本题只需将点P的横坐标$x=a+1$、纵坐标$y=4$代入已知的反比例函数解析式，即可得到关于$a$的方程，解出方程后检验分母不为0，就能得到$a$的值。
【解析】
∵ 反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象经过点$P(a+1,4)$
∴ 将$x=a+1$，$y=4$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得：
$4=-\dfrac{8}{a+1}$
方程两边同乘$(a+1)$，得：
$4(a+1)=-8$
两边同时除以4，得：
$a+1=-2$
移项计算得：
$a=-3$
检验：当$a=-3$时，$a+1=-2≠0$，符合题意。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 解分式方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，解题思路清晰直接，仅需代入坐标解方程即可，计算时注意符号问题即可避免失分。
【难度系数】
0.9
6.【跨学科融合·物理】二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在相同张力下，琴弦的共振频率$f$(赫兹)与有效振动长度$l$(米)近似为反比例函数关系，即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数，$k＞0$)。若某一琴弦的共振频率$f$为260赫兹，有效振动长度$l$为0.5米，则$k$的值为
130
。答案
6.130
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：题目已经给出共振频率$f$与有效振动长度$l$的反比例函数关系式$f=\frac{k}{l}$，已知$f$和$l$的对应取值，只需将两个数值代入函数式，通过简单计算即可求出常数$k$的值。
【解析】
已知反比例函数解析式为$f=\frac{k}{l}$（$k＞0$），将$f=260$赫兹，$l=0.5$米代入解析式可得：
$260=\frac{k}{0.5}$
等式两边同时乘0.5，解得：
$k=260×0.5=130$
【答案】
130
【知识点】
反比例函数概念，代入求值
【点评】
本题结合物理学科背景和我国传统乐器二胡的相关知识考查数学知识的应用，属于基础题，既检验了学生对反比例函数基础内容的掌握，也体现了跨学科知识融合的特点。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路清晰：题目已经给出共振频率$f$与有效振动长度$l$的反比例函数关系式$f=\frac{k}{l}$，已知$f$和$l$的对应取值，只需将两个数值代入函数式，通过简单计算即可求出常数$k$的值。
【解析】
已知反比例函数解析式为$f=\frac{k}{l}$（$k＞0$），将$f=260$赫兹，$l=0.5$米代入解析式可得：
$260=\frac{k}{0.5}$
等式两边同时乘0.5，解得：
$k=260×0.5=130$
【答案】
130
【知识点】
反比例函数概念，代入求值
【点评】
本题结合物理学科背景和我国传统乐器二胡的相关知识考查数学知识的应用，属于基础题，既检验了学生对反比例函数基础内容的掌握，也体现了跨学科知识融合的特点。
【难度系数】
0.9
