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7. 如图27－5，在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,常数k＞0)$的图象经过点A(1,2)，B(m,n)(m＞1)，过点B作y轴的垂线，垂足为C。若△ABC的面积为2，则点B的坐标为
$(3,\frac{2}{3})$
。答案
7.$(3,\frac{2}{3})$
解析
【分析】
解题时第一步先利用已知点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到B点横纵坐标的数量关系；第二步分析△ABC的底和高：BC是点B到y轴的垂线段，长度等于B点的横坐标m，BC边上的高等于A、B两点纵坐标的差(2-n)；第三步结合三角形面积为2的条件建立方程，将B点横纵坐标的关系代入方程求解即可得到m、n的值，进而得到B点坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$A(1,2)$，将$x=1,y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
∵ 点$B(m,n)$在该函数图象上，
∴ $n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$。
2. 结合三角形面积列方程求解：
过点B作y轴垂线，垂足为C，故C点坐标为$(0,n)$，
∴ 线段$BC$的长度为$m$（水平线段长度等于横坐标差），BC边上的高为$2-n$（A、B两点纵坐标的差）。
已知$△ ABC$的面积为2，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×m×(2-n)=2$，
展开得：$\frac{1}{2}(2m - mn)=2$，
将$mn=2$代入上式：
$\frac{1}{2}(2m - 2)=2$，
化简得：$m - 1 = 2$，解得$m=3$，
将$m=3$代入$n=\frac{2}{m}$得$n=\frac{2}{3}$。
【答案】
$(3,\frac{2}{3})$
【知识点】
反比例函数图象与性质，三角形面积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题，解题核心是先确定反比例函数的参数k，得到点坐标的隐含关系，再结合面积公式列方程求解，考查了学生的数形结合能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时第一步先利用已知点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到B点横纵坐标的数量关系；第二步分析△ABC的底和高：BC是点B到y轴的垂线段，长度等于B点的横坐标m，BC边上的高等于A、B两点纵坐标的差(2-n)；第三步结合三角形面积为2的条件建立方程，将B点横纵坐标的关系代入方程求解即可得到m、n的值，进而得到B点坐标。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
∵ 函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$A(1,2)$，将$x=1,y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
∵ 点$B(m,n)$在该函数图象上，
∴ $n=\frac{2}{m}$，即$mn=2$。
2. 结合三角形面积列方程求解：
过点B作y轴垂线，垂足为C，故C点坐标为$(0,n)$，
∴ 线段$BC$的长度为$m$（水平线段长度等于横坐标差），BC边上的高为$2-n$（A、B两点纵坐标的差）。
已知$△ ABC$的面积为2，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$得：
$\frac{1}{2}×m×(2-n)=2$，
展开得：$\frac{1}{2}(2m - mn)=2$，
将$mn=2$代入上式：
$\frac{1}{2}(2m - 2)=2$，
化简得：$m - 1 = 2$，解得$m=3$，
将$m=3$代入$n=\frac{2}{m}$得$n=\frac{2}{3}$。
【答案】
$(3,\frac{2}{3})$
【知识点】
反比例函数图象与性质，三角形面积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的基础题，解题核心是先确定反比例函数的参数k，得到点坐标的隐含关系，再结合面积公式列方程求解，考查了学生的数形结合能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
8.【跨学科融合·物理】某一电路中，保持电压不变，电流$ I $(安培)与电阻$ R $(欧姆)成反比例，当电阻$ R $为5欧姆时，电流$ I $为2安培.
(1)求$ I $关于$ R $的函数解析式；
(2)当电路电阻在4～10欧姆之间变化时，求电流$ I $的变化范围.
(1)求$ I $关于$ R $的函数解析式；
(2)当电路电阻在4～10欧姆之间变化时，求电流$ I $的变化范围.
答案
8. 解:(1)由题意,设 $I=\frac{k}{R}, \therefore 2=\frac{k}{5}$,
解得 $k=10$.
$\therefore I$ 关于 $R$ 的函数解析式为 $I=\frac{10}{R}$.
(2) 当 $R=4$ 时, $I=\frac{10}{4}=2.5$;
当 $R=10$ 时, $I=\frac{10}{10}=1$,
$\therefore$ 电流 $I$ 的变化范围是 1 安培$≤ I≤ 2.5$ 安培.
解得 $k=10$.
$\therefore I$ 关于 $R$ 的函数解析式为 $I=\frac{10}{R}$.
(2) 当 $R=4$ 时, $I=\frac{10}{4}=2.5$;
当 $R=10$ 时, $I=\frac{10}{10}=1$,
$\therefore$ 电流 $I$ 的变化范围是 1 安培$≤ I≤ 2.5$ 安培.
解析
【分析】
(1) 题目明确电流$I$与电阻$R$成反比例，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此先设出$I$关于$R$的反比例函数解析式，再将已知的$R=5$、$I=2$代入解析式，解方程求出常数$k$即可得到函数解析式。
(2) 求电阻在4~10欧姆之间时电流的变化范围，可先将$R$的两个端点值代入已求出的函数解析式，计算对应的$I$值；再结合反比例函数的性质：当$k＞0$时，在$R＞0$范围内$I$随$R$的增大而减小，即可确定$I$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，设$I$关于$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k\ne0$）。
将$R=5$，$I=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{5}$
解得$k=10$。
因此$I$关于$R$的函数解析式为$I=\frac{10}{R}$。
(2) 分别计算$R$取端点值时的电流：
当$R=4$时，$I=\frac{10}{4}=2.5$；
当$R=10$时，$I=\frac{10}{10}=1$。
因为$k=10＞0$，在$R＞0$时$I$随$R$的增大而减小，因此当$4\le R\le10$时，电流$I$的变化范围是$1\le I\le2.5$。
【答案】
(1) $I=\frac{10}{R}$；
(2) $1$安培$\le I\le 2.5$安培
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；反比例函数性质
【点评】
本题是数学与物理的跨学科融合题，结合电学常识考察反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，同时能灵活运用函数性质求变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
(1) 题目明确电流$I$与电阻$R$成反比例，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此先设出$I$关于$R$的反比例函数解析式，再将已知的$R=5$、$I=2$代入解析式，解方程求出常数$k$即可得到函数解析式。
(2) 求电阻在4~10欧姆之间时电流的变化范围，可先将$R$的两个端点值代入已求出的函数解析式，计算对应的$I$值；再结合反比例函数的性质：当$k＞0$时，在$R＞0$范围内$I$随$R$的增大而减小，即可确定$I$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意，设$I$关于$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k\ne0$）。
将$R=5$，$I=2$代入解析式，得：
$2=\frac{k}{5}$
解得$k=10$。
因此$I$关于$R$的函数解析式为$I=\frac{10}{R}$。
(2) 分别计算$R$取端点值时的电流：
当$R=4$时，$I=\frac{10}{4}=2.5$；
当$R=10$时，$I=\frac{10}{10}=1$。
因为$k=10＞0$，在$R＞0$时$I$随$R$的增大而减小，因此当$4\le R\le10$时，电流$I$的变化范围是$1\le I\le2.5$。
【答案】
(1) $I=\frac{10}{R}$；
(2) $1$安培$\le I\le 2.5$安培
【知识点】
反比例函数应用；待定系数法；反比例函数性质
【点评】
本题是数学与物理的跨学科融合题，结合电学常识考察反比例函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，同时能灵活运用函数性质求变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
9.如图27－6，正方形OACB的边长为2，D，E分别为AC，BC的中点.
（1）求直线DE对应的函数解析式；
（2）若反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0,m＞0)$的图象过点D，请通过计算判断点E是否在该反比例函数的图象上.
图27－6
（1）求直线DE对应的函数解析式；
（2）若反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0,m＞0)$的图象过点D，请通过计算判断点E是否在该反比例函数的图象上.
图27－6
答案
9. 解:(1)根据题意,得点 $D, E$ 的坐标分别为
$(1,2),(2,1)$.
设直线 $DE$ 对应的函数解析式为 $y = kx+b$,
则$\begin{cases} k+b=2,\\2k+b=1.\end{cases}$ 所以$\begin{cases} k=-1,\\b=3.\end{cases}$
所以直线 $DE$ 对应的函数解析式为 $y = -x+3$.
(2)因为反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象过点 $D$,
所以 $m=2$,所以 $y=\frac{2}{x}$.
当 $x=2$ 时, $y=1$,
所以点 $E(2,1)$ 在该反比例函数的图象上.
$(1,2),(2,1)$.
设直线 $DE$ 对应的函数解析式为 $y = kx+b$,
则$\begin{cases} k+b=2,\\2k+b=1.\end{cases}$ 所以$\begin{cases} k=-1,\\b=3.\end{cases}$
所以直线 $DE$ 对应的函数解析式为 $y = -x+3$.
(2)因为反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象过点 $D$,
所以 $m=2$,所以 $y=\frac{2}{x}$.
当 $x=2$ 时, $y=1$,
所以点 $E(2,1)$ 在该反比例函数的图象上.
解析
【分析】
（1）求直线DE的函数解析式，首先要确定D、E两点的坐标：结合正方形边长为2的条件，先得到正方形各顶点坐标，再根据中点的定义求出D、E的坐标；之后用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线DE的解析式。
（2）判断点E是否在反比例函数图象上，首先将点D的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，得到反比例函数的具体表达式；再将点E的横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的y值如果和点E的纵坐标相等，就说明点E在该反比例函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 已知正方形OACB边长为2，可得正方形各顶点坐标为$O(0,0)$，$A(0,2)$，$C(2,2)$，$B(2,0)$。
因为D是AC的中点，所以D点坐标为$(1,2)$；E是BC的中点，所以E点坐标为$(2,1)$。
设直线DE对应的函数解析式为$y = kx+b$，将$D(1,2)$、$E(2,1)$代入解析式得：
$\begin{cases} k+b=2\\2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\b=3 \end{cases}$
因此直线DE对应的函数解析式为$y = -x+3$。
(2) 因为反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0,m＞0)$的图象过点$D(1,2)$，将D点坐标代入得：
$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，即反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
将点E的横坐标$x=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{2}=1$，与点E的纵坐标相等，因此点E在该反比例函数的图象上。
【答案】
(1) $y = -x+3$；(2) 点E在该反比例函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【点评】
本题是函数基础类题目，解题核心是先结合正方形性质和中点定义得到对应点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式，验证点是否在函数图象上只需代入点的坐标判断是否满足解析式即可，解题逻辑清晰，运算难度低。
【难度系数】
0.8
（1）求直线DE的函数解析式，首先要确定D、E两点的坐标：结合正方形边长为2的条件，先得到正方形各顶点坐标，再根据中点的定义求出D、E的坐标；之后用待定系数法，设一次函数解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线DE的解析式。
（2）判断点E是否在反比例函数图象上，首先将点D的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，得到反比例函数的具体表达式；再将点E的横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的y值如果和点E的纵坐标相等，就说明点E在该反比例函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 已知正方形OACB边长为2，可得正方形各顶点坐标为$O(0,0)$，$A(0,2)$，$C(2,2)$，$B(2,0)$。
因为D是AC的中点，所以D点坐标为$(1,2)$；E是BC的中点，所以E点坐标为$(2,1)$。
设直线DE对应的函数解析式为$y = kx+b$，将$D(1,2)$、$E(2,1)$代入解析式得：
$\begin{cases} k+b=2\\2k+b=1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\b=3 \end{cases}$
因此直线DE对应的函数解析式为$y = -x+3$。
(2) 因为反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0,m＞0)$的图象过点$D(1,2)$，将D点坐标代入得：
$2=\frac{m}{1}$，解得$m=2$，即反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
将点E的横坐标$x=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{2}=1$，与点E的纵坐标相等，因此点E在该反比例函数的图象上。
【答案】
(1) $y = -x+3$；(2) 点E在该反比例函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质
【点评】
本题是函数基础类题目，解题核心是先结合正方形性质和中点定义得到对应点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式，验证点是否在函数图象上只需代入点的坐标判断是否满足解析式即可，解题逻辑清晰，运算难度低。
【难度系数】
0.8
10.如图27-7,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(-1,n)$,$B(2,-1)$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及$△ AOB$的面积;
(3)直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时$x$的取值范围.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及$△ AOB$的面积;
(3)直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时$x$的取值范围.
答案
10. 解:(1)将 $B(2,-1)$ 的坐标代入 $y=\frac{m}{x}$,
得 $m=-2$.
所以反比例函数的解析式为 $y=-\frac{2}{x}$.
将 $x=-1$ 代入 $y=-\frac{2}{x}$,得 $y=2$,
所以 $A(-1,2)$.
将 $A(-1,2), B(2,-1)$ 的坐标分别代入
$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=2,\\2k+b=-1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}$
所以一次函数的解析式是 $y=-x+1$.
(2)把 $y=0$ 代入 $y=-x+1$,可得 $x=1$,
所以 $C(1,0)$.
所以 $S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×1×1=1.5$.
(3)$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$.
得 $m=-2$.
所以反比例函数的解析式为 $y=-\frac{2}{x}$.
将 $x=-1$ 代入 $y=-\frac{2}{x}$,得 $y=2$,
所以 $A(-1,2)$.
将 $A(-1,2), B(2,-1)$ 的坐标分别代入
$y=kx+b$,得$\begin{cases}-k+b=2,\\2k+b=-1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\b=1.\end{cases}$
所以一次函数的解析式是 $y=-x+1$.
(2)把 $y=0$ 代入 $y=-x+1$,可得 $x=1$,
所以 $C(1,0)$.
所以 $S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×1×1=1.5$.
(3)$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$.
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式采用待定系数法：先将已知点B的坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将A点横坐标代入反比例解析式求出n，得到A点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求出一次函数的系数，得到一次函数解析式。
(2) 求直线与x轴交点C，只需令一次函数中y=0，解出对应x值即可得到C点坐标；计算△AOB面积时采用割补法，将其拆分为△AOC和△COB的面积和，两个三角形均以OC为底，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别求和即可得到总面积。
(3) 一次函数值大于反比例函数值，对应图像上一次函数图像在反比例函数图像上方的部分，结合两个交点的横坐标以及反比例函数x≠0的限制，分区间确定x的取值范围即可。
【解析】
(1) 将$B(2,-1)$代入$y=\frac{m}{x}$，得：
$-1=\frac{m}{2}$，解得$m=-2$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$x=-1$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$n=-\frac{2}{-1}=2$，即$A(-1,2)$。
将$A(-1,2)$、$B(2,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=2\\2k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，
∴一次函数的解析式是$y=-x+1$。
(2) 对于$y=-x+1$，令$y=0$，得：
$-x+1=0$，解得$x=1$，
∴点C的坐标为$(1,0)$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×1×1=1.5$。
(3) 观察图像可得，一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+1$；
(2) 点C坐标为$(1,0)$，$△ AOB$的面积为$1.5$（或$\frac{3}{2}$）；
(3) $x＜-1$或$0＜x＜2$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 割补法求三角形面积
3. 函数图像解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重考查数形结合思想的应用，解题时熟练掌握待定系数法的步骤，合理使用割补法计算坐标系内三角形面积，结合图像判断函数值大小关系时要注意反比例函数自变量不为0的限制。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式采用待定系数法：先将已知点B的坐标代入反比例函数表达式求出m，得到反比例函数解析式；再将A点横坐标代入反比例解析式求出n，得到A点完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可求出一次函数的系数，得到一次函数解析式。
(2) 求直线与x轴交点C，只需令一次函数中y=0，解出对应x值即可得到C点坐标；计算△AOB面积时采用割补法，将其拆分为△AOC和△COB的面积和，两个三角形均以OC为底，高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别求和即可得到总面积。
(3) 一次函数值大于反比例函数值，对应图像上一次函数图像在反比例函数图像上方的部分，结合两个交点的横坐标以及反比例函数x≠0的限制，分区间确定x的取值范围即可。
【解析】
(1) 将$B(2,-1)$代入$y=\frac{m}{x}$，得：
$-1=\frac{m}{2}$，解得$m=-2$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
将$x=-1$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$n=-\frac{2}{-1}=2$，即$A(-1,2)$。
将$A(-1,2)$、$B(2,-1)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=2\\2k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=1\end{cases}$，
∴一次函数的解析式是$y=-x+1$。
(2) 对于$y=-x+1$，令$y=0$，得：
$-x+1=0$，解得$x=1$，
∴点C的坐标为$(1,0)$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×1×1=1.5$。
(3) 观察图像可得，一次函数图像在反比例函数图像上方时，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$，一次函数解析式为$y=-x+1$；
(2) 点C坐标为$(1,0)$，$△ AOB$的面积为$1.5$（或$\frac{3}{2}$）；
(3) $x＜-1$或$0＜x＜2$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 割补法求三角形面积
3. 函数图像解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，侧重考查数形结合思想的应用，解题时熟练掌握待定系数法的步骤，合理使用割补法计算坐标系内三角形面积，结合图像判断函数值大小关系时要注意反比例函数自变量不为0的限制。
【难度系数】
0.7
