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11.【遵纪守法】实验数据显示，一般成人喝完50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量$y$(毫克/百毫升)与时间$x$(h)变化的图象如图27－8所示(图象由线段OA与部分双曲线AB组成).国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.
(1)求部分双曲线AB对应的函数解析式，并写出相应的自变量的取值范围.
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天8:00能否驾车去上班？请说明理由.
(1)求部分双曲线AB对应的函数解析式，并写出相应的自变量的取值范围.
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天8:00能否驾车去上班？请说明理由.
答案
11. 解:(1)设直线 $OA$ 对应的函数解析式为
$y=mx$.
$\because$ 直线 $OA$ 过 $(\frac{1}{4},20)$,
$\therefore \frac{1}{4}m=20,\therefore m=80$.
$\therefore$ 直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=80x$.
当 $x=\frac{3}{2}$ 时, $y=120,\therefore A(\frac{3}{2},120)$.
设部分双曲线 $AB$ 对应的函数解析式为
$y=\frac{k}{x}(x≥\frac{3}{2})$,
将点 $A(\frac{3}{2},120)$ 的坐标代入上式,得 $k=180$. $\therefore y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$.
(2)能驾车去上班. 理由如下: 从 $22:00$ 到第二天 $8:00$ 时间间隔为 10 小时, 对于 $y=\frac{180}{x}$, 当 $x=10$ 时, $y=18$.
$\because 18＜20$,
$\therefore$ 第二天 $8:00$ 能驾车去上班.
$y=mx$.
$\because$ 直线 $OA$ 过 $(\frac{1}{4},20)$,
$\therefore \frac{1}{4}m=20,\therefore m=80$.
$\therefore$ 直线 $OA$ 对应的函数解析式为 $y=80x$.
当 $x=\frac{3}{2}$ 时, $y=120,\therefore A(\frac{3}{2},120)$.
设部分双曲线 $AB$ 对应的函数解析式为
$y=\frac{k}{x}(x≥\frac{3}{2})$,
将点 $A(\frac{3}{2},120)$ 的坐标代入上式,得 $k=180$. $\therefore y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$.
(2)能驾车去上班. 理由如下: 从 $22:00$ 到第二天 $8:00$ 时间间隔为 10 小时, 对于 $y=\frac{180}{x}$, 当 $x=10$ 时, $y=18$.
$\because 18＜20$,
$\therefore$ 第二天 $8:00$ 能驾车去上班.
解析
【分析】
(1) 首先观察图象可知，线段OA是过原点的正比例函数图象，已知OA经过点$(\frac{1}{4},20)$，因此先设正比例函数解析式为$y=mx$，代入点坐标即可求出m的值，得到OA的函数解析式；再将A点的横坐标$x=\frac{3}{2}$代入OA的解析式，求出A点的纵坐标，得到A点坐标。AB段为反比例函数图象，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将A点坐标代入求出k的值，即可得到AB段的函数解析式，自变量x的取值范围从A点的横坐标开始，即$x≥\frac{3}{2}$。
(2) 先计算22:00到第二天8:00的时间间隔，将时间间隔作为x的值代入AB段的反比例函数解析式，求出对应的血液酒精含量y，将y和规定的20毫克/百毫升比较，若y＜20则可以驾车，反之则不能。
【解析】
(1) 设直线OA对应的函数解析式为$y=mx$，
∵ 直线OA过点$(\frac{1}{4},20)$，
∴ $\frac{1}{4}m=20$，解得$m=80$，
∴ 直线OA对应的函数解析式为$y=80x$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=80×\frac{3}{2}=120$，即点A的坐标为$(\frac{3}{2},120)$。
设双曲线AB对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x≥\frac{3}{2})$，
将点$A(\frac{3}{2},120)$代入解析式，得$120=\frac{k}{\frac{3}{2}}$，解得$k=180$，
∴ 双曲线AB对应的函数解析式为$y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$。
(2) 第二天8:00能驾车去上班，理由如下：
从22:00到第二天8:00的时间间隔为10小时，
将$x=10$代入$y=\frac{180}{x}$，得$y=\frac{180}{10}=18$，
∵ $18＜20$，此时血液中酒精含量小于酒后驾驶的标准，
∴ 第二天8:00能驾车去上班。
【答案】
(1) $y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$；
(2) 能驾车去上班。
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合酒驾判定的生活场景考查函数的综合应用，解题核心是准确求出分段函数的解析式，再代入数值计算判断，既考查了基础函数知识的掌握，也体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察图象可知，线段OA是过原点的正比例函数图象，已知OA经过点$(\frac{1}{4},20)$，因此先设正比例函数解析式为$y=mx$，代入点坐标即可求出m的值，得到OA的函数解析式；再将A点的横坐标$x=\frac{3}{2}$代入OA的解析式，求出A点的纵坐标，得到A点坐标。AB段为反比例函数图象，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将A点坐标代入求出k的值，即可得到AB段的函数解析式，自变量x的取值范围从A点的横坐标开始，即$x≥\frac{3}{2}$。
(2) 先计算22:00到第二天8:00的时间间隔，将时间间隔作为x的值代入AB段的反比例函数解析式，求出对应的血液酒精含量y，将y和规定的20毫克/百毫升比较，若y＜20则可以驾车，反之则不能。
【解析】
(1) 设直线OA对应的函数解析式为$y=mx$，
∵ 直线OA过点$(\frac{1}{4},20)$，
∴ $\frac{1}{4}m=20$，解得$m=80$，
∴ 直线OA对应的函数解析式为$y=80x$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=80×\frac{3}{2}=120$，即点A的坐标为$(\frac{3}{2},120)$。
设双曲线AB对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x≥\frac{3}{2})$，
将点$A(\frac{3}{2},120)$代入解析式，得$120=\frac{k}{\frac{3}{2}}$，解得$k=180$，
∴ 双曲线AB对应的函数解析式为$y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$。
(2) 第二天8:00能驾车去上班，理由如下：
从22:00到第二天8:00的时间间隔为10小时，
将$x=10$代入$y=\frac{180}{x}$，得$y=\frac{180}{10}=18$，
∵ $18＜20$，此时血液中酒精含量小于酒后驾驶的标准，
∴ 第二天8:00能驾车去上班。
【答案】
(1) $y=\frac{180}{x}(x≥\frac{3}{2})$；
(2) 能驾车去上班。
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，函数实际应用
【点评】
本题结合酒驾判定的生活场景考查函数的综合应用，解题核心是准确求出分段函数的解析式，再代入数值计算判断，既考查了基础函数知识的掌握，也体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
12.【跨学科融合·物理】如图27－9，取一根长100 cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起.一个物体挂在点O的左侧25 cm处，重力$G=10\ \mathrm{N}$.在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态，此时弹簧秤与点O的距离是$x(\mathrm{cm})$，弹簧秤的示数是$y(\mathrm{N})$.（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即$G· d = y· x$）
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数$y$的最小值.
图27－9
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数$y$的最小值.
图27－9
答案
12. 解:(1) $\because y· x=G· d=10×25=250$,
$\therefore y=\frac{250}{x}$.
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$.
(2) $\because$ 木杆的长为 100 cm, $O$ 为中点,
$x$ 表示弹簧秤与中点 $O$ 的距离,
$\therefore x≤50$.
在 $y=\frac{250}{x}$ 中, 当 $0＜x≤50$ 时,
$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
把 $x=50$ 代入 $y=\frac{250}{x}$, 得 $y=5$.
$\therefore$ 弹簧秤的示数 $y$ 的最小值为 5 N.
$\therefore y=\frac{250}{x}$.
$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$.
(2) $\because$ 木杆的长为 100 cm, $O$ 为中点,
$x$ 表示弹簧秤与中点 $O$ 的距离,
$\therefore x≤50$.
在 $y=\frac{250}{x}$ 中, 当 $0＜x≤50$ 时,
$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
把 $x=50$ 代入 $y=\frac{250}{x}$, 得 $y=5$.
$\therefore$ 弹簧秤的示数 $y$ 的最小值为 5 N.
解析
【分析】
(1) 题目已经给出杠杆平衡公式$G·d=y·x$，我们只需将已知的$G=10\ \mathrm{N}$、$d=25\ \mathrm{cm}$代入公式，即可得到y和x的等量关系，整理后就能得到反比例函数解析式；再结合木杆总长100cm、O是中点的条件，可确定x的取值范围是$0＜x≤50$。
(2) 对于$k＞0$的反比例函数，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小，因此要得到y的最小值，只需取x的最大值，代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡原理$G·d=y·x$，代入$G=10\ \mathrm{N}$、$d=25\ \mathrm{cm}$得：
$y· x=10×25=250$
整理得$y=\frac{250}{x}$。
∵木杆总长为100cm，O为木杆中点，弹簧秤在O点右侧，
∴x的取值范围为$0＜x≤50$，
即y关于x的函数解析式为$y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$。
(2) 在$y=\frac{250}{x}$中$k=250＞0$，因此当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
∴当x取最大值50时，y取得最小值，
将$x=50$代入解析式得：$y=\frac{250}{50}=5$，
即弹簧秤示数y的最小值为5N。
【答案】
(1) $y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$；(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{N}}$
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数的性质；自变量取值范围
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是先根据给定等量关系建立函数模型，再结合函数性质和自变量的实际取值范围求解最值，注重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题目已经给出杠杆平衡公式$G·d=y·x$，我们只需将已知的$G=10\ \mathrm{N}$、$d=25\ \mathrm{cm}$代入公式，即可得到y和x的等量关系，整理后就能得到反比例函数解析式；再结合木杆总长100cm、O是中点的条件，可确定x的取值范围是$0＜x≤50$。
(2) 对于$k＞0$的反比例函数，在$x＞0$的区间内y随x的增大而减小，因此要得到y的最小值，只需取x的最大值，代入解析式计算即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡原理$G·d=y·x$，代入$G=10\ \mathrm{N}$、$d=25\ \mathrm{cm}$得：
$y· x=10×25=250$
整理得$y=\frac{250}{x}$。
∵木杆总长为100cm，O为木杆中点，弹簧秤在O点右侧，
∴x的取值范围为$0＜x≤50$，
即y关于x的函数解析式为$y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$。
(2) 在$y=\frac{250}{x}$中$k=250＞0$，因此当$0＜x≤50$时，y随x的增大而减小，
∴当x取最大值50时，y取得最小值，
将$x=50$代入解析式得：$y=\frac{250}{50}=5$，
即弹簧秤示数y的最小值为5N。
【答案】
(1) $y=\frac{250}{x}(0＜x≤50)$；(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{N}}$
【知识点】
反比例函数应用；反比例函数的性质；自变量取值范围
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是先根据给定等量关系建立函数模型，再结合函数性质和自变量的实际取值范围求解最值，注重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
