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探究主题
基于反比例函数分析高铁运行速度与时间的优化配置.
探究背景
我国高铁网络日益完善,某高铁线路甲站到乙站的直达运营里程固定,在实际运营中,高铁的运行速度会受线路限速、天气状况等因素影响,运行速度与全程运行时间(不含中途停靠时间)满足反比例函数关系.为了提升运营效率、保障行车安全,需结合反比例函数知识对该线路的运行方案进行分析.
探究任务
任务1:确定函数关系,夯实理论基础
经测量,甲站到乙站的高铁线路全长为1800 km.设高铁运行速度为v(单位:km/h),全程运行时间为t(单位:h),则v关于t的函数解析式为
任务2:结合实际数据,分析运营方案
该线路日常运营时有两种基础方案:
方案一:以300 km/h的速度运行;
方案二:以250 km/h的速度运行.
(1)请分别计算两种方案下的全程运行时间.
(2)某次高铁运行时,受突发天气影响,前半段路程的运行速度降至240 km/h,为了不延误后续调度计划,后半段路程需将全程总时间控制在方案二的时间内.请通过计算说明,后半段路程的运行速度至少为多少千米/时(结果保留整数).
任务3:拓展探究分析,优化运营策略
(1)假设该线路的运营成本与运行速度相关,经统计,每小时运营成本w(单位:元)与运行速度v(单位:km/h)满足函数关系$w=500v+20000$.请结合任务1中的反比例函数关系,直接写出全程运营总成本C(单位:元)与运行速度v的函数解析式.
(2)基于全程运营总成本,计算当运行速度为多少时,全程运营总成本最低,并求出最低运营总成本(结果保留整数).
(3)综合考虑行车安全、运营效率和成本控制,为该高铁线路的日常运行速度选择提出合理建议.
基于反比例函数分析高铁运行速度与时间的优化配置.
探究背景
我国高铁网络日益完善,某高铁线路甲站到乙站的直达运营里程固定,在实际运营中,高铁的运行速度会受线路限速、天气状况等因素影响,运行速度与全程运行时间(不含中途停靠时间)满足反比例函数关系.为了提升运营效率、保障行车安全,需结合反比例函数知识对该线路的运行方案进行分析.
探究任务
任务1:确定函数关系,夯实理论基础
经测量,甲站到乙站的高铁线路全长为1800 km.设高铁运行速度为v(单位:km/h),全程运行时间为t(单位:h),则v关于t的函数解析式为
$v=\dfrac{1800}{t}(\dfrac{36}{7}≤ t≤9)$
(注明自变量t的取值范围)(参考实际高铁速度:200≤v≤350).任务2:结合实际数据,分析运营方案
该线路日常运营时有两种基础方案:
方案一:以300 km/h的速度运行;
方案二:以250 km/h的速度运行.
(1)请分别计算两种方案下的全程运行时间.
(2)某次高铁运行时,受突发天气影响,前半段路程的运行速度降至240 km/h,为了不延误后续调度计划,后半段路程需将全程总时间控制在方案二的时间内.请通过计算说明,后半段路程的运行速度至少为多少千米/时(结果保留整数).
任务3:拓展探究分析,优化运营策略
(1)假设该线路的运营成本与运行速度相关,经统计,每小时运营成本w(单位:元)与运行速度v(单位:km/h)满足函数关系$w=500v+20000$.请结合任务1中的反比例函数关系,直接写出全程运营总成本C(单位:元)与运行速度v的函数解析式.
(2)基于全程运营总成本,计算当运行速度为多少时,全程运营总成本最低,并求出最低运营总成本(结果保留整数).
(3)综合考虑行车安全、运营效率和成本控制,为该高铁线路的日常运行速度选择提出合理建议.
答案
任务1:$v=\dfrac{1800}{t}(\dfrac{36}{7}≤ t≤9)$
任务2:(1)当v=300时，
$t=\dfrac{1800}{v}=\dfrac{1800}{300}=6$，
当v=250时，$t=\dfrac{1800}{v}=\dfrac{1800}{250}=7.2$。
答：方案一和方案二的全程运行时间分别为6 h，7.2 h。
(2)前半段路程为$\dfrac{1800}{2}=900(km)$，
∴所用时间为$\dfrac{900}{240}=3.75(h)$，
∴后半段路程最多可用时间为$7.2-3.75=3.45(h)$。
∵后半段路程为$\dfrac{1800}{2}=900(km)$，
∴后半段路程的运行速度至少为$\dfrac{900}{3.45}\approx261(km/h)$。
任务3:(1)$C=900000+\dfrac{36000000}{v}(200≤ v≤350)$。
(2)由$C=900000+\dfrac{36000000}{v}$可知，
C随着v的增大而减小，
∴当v取最大值350时，
C最小，$C_{最小}=900000+\dfrac{36000000}{350}\approx1002857$。
∴最低运营总成本为1002857元。
(3)建议日常运行速度控制在300~350 km/h之间。
任务2:(1)当v=300时，
$t=\dfrac{1800}{v}=\dfrac{1800}{300}=6$，
当v=250时，$t=\dfrac{1800}{v}=\dfrac{1800}{250}=7.2$。
答：方案一和方案二的全程运行时间分别为6 h，7.2 h。
(2)前半段路程为$\dfrac{1800}{2}=900(km)$，
∴所用时间为$\dfrac{900}{240}=3.75(h)$，
∴后半段路程最多可用时间为$7.2-3.75=3.45(h)$。
∵后半段路程为$\dfrac{1800}{2}=900(km)$，
∴后半段路程的运行速度至少为$\dfrac{900}{3.45}\approx261(km/h)$。
任务3:(1)$C=900000+\dfrac{36000000}{v}(200≤ v≤350)$。
(2)由$C=900000+\dfrac{36000000}{v}$可知，
C随着v的增大而减小，
∴当v取最大值350时，
C最小，$C_{最小}=900000+\dfrac{36000000}{350}\approx1002857$。
∴最低运营总成本为1002857元。
(3)建议日常运行速度控制在300~350 km/h之间。
解析
【分析】
本题围绕反比例函数的实际应用展开，分三个任务逐步解决：
1. 任务1：根据“路程=速度×时间”的关系，确定速度v与时间t的反比例函数，再结合实际速度范围推导t的取值范围；
2. 任务2：(1)直接利用“时间=路程÷速度”计算两种方案的运行时间；(2)先算前半段路程的运行时间，用方案二的总时间减去该时间得到后半段的可用时间，再计算后半段所需的最小速度；
3. 任务3：(1)总成本为每小时成本乘以总时间，将总时间用v表示后代入成本函数，化简得到总成本与v的函数；(2)分析函数增减性，结合v的取值范围找到使总成本最低的v值，计算最低成本；(3)结合时间、成本、安全等因素给出合理建议。
【解析】
任务1：
由路程=速度×时间，得$1800 = v · t$，故$v = \frac{1800}{t}$。
已知实际速度范围$200 ≤ v ≤ 350$，代入得：
当$v=200$时，$t=\frac{1800}{200}=9$；当$v=350$时，$t=\frac{1800}{350}=\frac{36}{7}$，因此$t$的取值范围为$\frac{36}{7} ≤ t ≤ 9$。
故函数解析式为$v=\frac{1800}{t}(\frac{36}{7} ≤ t ≤ 9)$。
任务2：
(1) 方案一：当$v=300\ \mathrm{km/h}$时，$t=\frac{1800}{300}=6\ \mathrm{h}$；
方案二：当$v=250\ \mathrm{km/h}$时，$t=\frac{1800}{250}=7.2\ \mathrm{h}$。
(2) 前半段路程为$\frac{1800}{2}=900\ \mathrm{km}$，前半段运行时间为$\frac{900}{240}=3.75\ \mathrm{h}$；
后半段可用时间为$7.2 - 3.75 = 3.45\ \mathrm{h}$，后半段路程为$900\ \mathrm{km}$，故后半段速度至少为$\frac{900}{3.45}\approx261\ \mathrm{km/h}$。
任务3：
(1) 全程总时间$t=\frac{1800}{v}$，每小时成本$w=500v+20000$，则总成本$C=w · t=(500v+20000) · \frac{1800}{v}=900000 + \frac{36000000}{v}$，结合$200 ≤ v ≤ 350$，得$C=900000+\frac{36000000}{v}(200 ≤ v ≤ 350)$。
(2) 由$C=900000+\frac{36000000}{v}$可知，在$200 ≤ v ≤ 350$范围内，$v$越大，$\frac{36000000}{v}$越小，故$C$随$v$增大而减小。因此当$v=350\ \mathrm{km/h}$时，$C$最小，$C_{\mathrm{最小}}=900000+\frac{36000000}{350}\approx1002857$元。
(3) 建议日常运行速度控制在$300∼350\ \mathrm{km/h}$之间，兼顾运营效率（时间较短）、成本控制（成本较低）和行车安全。
【答案】
任务1：$v=\dfrac{1800}{t}(\dfrac{36}{7} ≤ t ≤ 9)$；
任务2：(1)方案一运行时间6h，方案二运行时间7.2h；(2)后半段路程运行速度至少为261km/h；
任务3：(1)$C=900000+\dfrac{36000000}{v}(200 ≤ v ≤ 350)$；(2)运行速度为350km/h时总成本最低，最低为1002857元；(3)日常运行速度控制在300~350km/h之间。
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，函数最值
【点评】
本题是反比例函数在行程、成本问题中的综合应用，需要结合函数性质分析实际问题，考查学生的数学建模和应用能力，步骤清晰但需注意自变量范围的确定。
【难度系数】
0.6
本题围绕反比例函数的实际应用展开，分三个任务逐步解决：
1. 任务1：根据“路程=速度×时间”的关系，确定速度v与时间t的反比例函数，再结合实际速度范围推导t的取值范围；
2. 任务2：(1)直接利用“时间=路程÷速度”计算两种方案的运行时间；(2)先算前半段路程的运行时间，用方案二的总时间减去该时间得到后半段的可用时间，再计算后半段所需的最小速度；
3. 任务3：(1)总成本为每小时成本乘以总时间，将总时间用v表示后代入成本函数，化简得到总成本与v的函数；(2)分析函数增减性，结合v的取值范围找到使总成本最低的v值，计算最低成本；(3)结合时间、成本、安全等因素给出合理建议。
【解析】
任务1：
由路程=速度×时间，得$1800 = v · t$，故$v = \frac{1800}{t}$。
已知实际速度范围$200 ≤ v ≤ 350$，代入得：
当$v=200$时，$t=\frac{1800}{200}=9$；当$v=350$时，$t=\frac{1800}{350}=\frac{36}{7}$，因此$t$的取值范围为$\frac{36}{7} ≤ t ≤ 9$。
故函数解析式为$v=\frac{1800}{t}(\frac{36}{7} ≤ t ≤ 9)$。
任务2：
(1) 方案一：当$v=300\ \mathrm{km/h}$时，$t=\frac{1800}{300}=6\ \mathrm{h}$；
方案二：当$v=250\ \mathrm{km/h}$时，$t=\frac{1800}{250}=7.2\ \mathrm{h}$。
(2) 前半段路程为$\frac{1800}{2}=900\ \mathrm{km}$，前半段运行时间为$\frac{900}{240}=3.75\ \mathrm{h}$；
后半段可用时间为$7.2 - 3.75 = 3.45\ \mathrm{h}$，后半段路程为$900\ \mathrm{km}$，故后半段速度至少为$\frac{900}{3.45}\approx261\ \mathrm{km/h}$。
任务3：
(1) 全程总时间$t=\frac{1800}{v}$，每小时成本$w=500v+20000$，则总成本$C=w · t=(500v+20000) · \frac{1800}{v}=900000 + \frac{36000000}{v}$，结合$200 ≤ v ≤ 350$，得$C=900000+\frac{36000000}{v}(200 ≤ v ≤ 350)$。
(2) 由$C=900000+\frac{36000000}{v}$可知，在$200 ≤ v ≤ 350$范围内，$v$越大，$\frac{36000000}{v}$越小，故$C$随$v$增大而减小。因此当$v=350\ \mathrm{km/h}$时，$C$最小，$C_{\mathrm{最小}}=900000+\frac{36000000}{350}\approx1002857$元。
(3) 建议日常运行速度控制在$300∼350\ \mathrm{km/h}$之间，兼顾运营效率（时间较短）、成本控制（成本较低）和行车安全。
【答案】
任务1：$v=\dfrac{1800}{t}(\dfrac{36}{7} ≤ t ≤ 9)$；
任务2：(1)方案一运行时间6h，方案二运行时间7.2h；(2)后半段路程运行速度至少为261km/h；
任务3：(1)$C=900000+\dfrac{36000000}{v}(200 ≤ v ≤ 350)$；(2)运行速度为350km/h时总成本最低，最低为1002857元；(3)日常运行速度控制在300~350km/h之间。
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，函数最值
【点评】
本题是反比例函数在行程、成本问题中的综合应用，需要结合函数性质分析实际问题，考查学生的数学建模和应用能力，步骤清晰但需注意自变量范围的确定。
【难度系数】
0.6
