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活动1 用矩形“画”双曲线
模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为$x,y$.由矩形的面积为4，得$xy=4$，即$y=\frac{4}{x}$；由周长为$m$，得$2(x+y)=m$，即$y=-x+\frac{m}{2}$.则满足要求的$(x,y)$应是两个函数图象在第
(2)画出函数图象
函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象如图
所示，而函数$y=-x+\frac{m}{2}$的图象可由直线$y=-x$平移得到.请在同一平面直角坐标系中直接画出直线$y=-x$.
(3)平移直线$y=-x$，观察函数图象
①当直线平移到与函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有唯一交点$(2,2)$时，周长$m$的值为
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长$m$的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长$m$的取值范围为
模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为$x,y$.由矩形的面积为4，得$xy=4$，即$y=\frac{4}{x}$；由周长为$m$，得$2(x+y)=m$，即$y=-x+\frac{m}{2}$.则满足要求的$(x,y)$应是两个函数图象在第
一
象限内交点的坐标.(2)画出函数图象
函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象如图
所示，而函数$y=-x+\frac{m}{2}$的图象可由直线$y=-x$平移得到.请在同一平面直角坐标系中直接画出直线$y=-x$.(3)平移直线$y=-x$，观察函数图象
①当直线平移到与函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有唯一交点$(2,2)$时，周长$m$的值为
8
.②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长$m$的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长$m$的取值范围为
m≥8
.答案
(1)一
(2)如答图所示，
(3)①8
②在直线平移过程中，交点个数还有0或2两种情况.
列方程组$\begin{cases} y=-x+\frac{m}{2}, \\ y=\frac{4}{x}, \end{cases}$整理，得$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$.
(Ⅰ)有0个交点，即$\Delta=(-\frac{m}{2})^2-4×1×4=\frac{m^2}{4}-16＜0$，解得$-8＜m＜8$.
又$\because m＞0,\therefore 0＜m＜8$；
(Ⅱ)有2个交点，即$\Delta=(-\frac{m}{2})^2-4×1×4=\frac{m^2}{4}-16＞0$，解得$m＜-8$(舍去)或$m＞8$.
综上所述，当交点个数为0时，$0＜m＜8$；当交点个数为2时，$m＞8$.
(4)$m≥8$
解析
【分析】
本题通过将矩形的边长、面积、周长关系转化为函数关系，利用数形结合思想求解周长的取值范围。解题思路如下：1. 先根据矩形边长的实际意义判断交点所在象限；2. 画直线$y=-x$时利用其过原点、斜率为-1的特征作图；3. 求唯一交点对应的周长时，将交点坐标代入一次函数解析式计算即可；4. 判断交点个数时，联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用根的判别式$\Delta$与0的大小关系分类讨论，结合周长为正数的实际意义舍去不符合的解，最终得到周长的取值范围。
【解析】
(1)
∵矩形的边长$x、y$均为正数，即$x＞0，y＞0$，
∴满足要求的$(x,y)$的横、纵坐标均为正，对应第一象限内的点。
(2) 取两点$(0,0)$、$(1,-1)$，过两点作直线，即为$y=-x$的图象。
(3) ①将交点$(2,2)$代入$y=-x+\frac{m}{2}$，得$2=-2+\frac{m}{2}$，解得$\frac{m}{2}=4$，即$m=8$。
②联立两个函数的解析式得$\begin{cases} y=-x+\frac{m}{2}, \\ y=\frac{4}{x}, \end{cases}$，消去$y$整理得$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$，该一元二次方程的根的个数对应两个函数图象的交点个数：
(Ⅰ)当交点个数为0时，方程无实根，即$\Delta=(-\frac{m}{2})^2-4×1×4=\frac{m^2}{4}-16＜0$，解得$-8＜m＜8$，又
∵周长$m$为正数，即$m＞0$，
∴此时$0＜m＜8$；
(Ⅱ)当交点个数为2时，方程有两个不相等的实根，即$\Delta=\frac{m^2}{4}-16＞0$，解得$m＜-8$（舍去，不符合$m＞0$）或$m＞8$，
∴此时$m＞8$。
综上，交点个数为0时，$0＜m＜8$；交点个数为2时，$m＞8$。
(4) 能生产出面积为4的矩形模具，说明两个函数图象有交点，即方程有实根，$\Delta≥0$，解得$m≥8$。
【答案】
(1)一
(2)如答图所示，
(3)①8
②当交点个数为0时，$0＜m＜8$；当交点个数为2时，$m＞8$。
(4)$m≥8$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将实际的矩形周长问题转化为函数图象交点问题，巧妙融合了函数、方程的知识，体现了数形结合思想的应用，有助于提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
本题通过将矩形的边长、面积、周长关系转化为函数关系，利用数形结合思想求解周长的取值范围。解题思路如下：1. 先根据矩形边长的实际意义判断交点所在象限；2. 画直线$y=-x$时利用其过原点、斜率为-1的特征作图；3. 求唯一交点对应的周长时，将交点坐标代入一次函数解析式计算即可；4. 判断交点个数时，联立两个函数解析式得到一元二次方程，利用根的判别式$\Delta$与0的大小关系分类讨论，结合周长为正数的实际意义舍去不符合的解，最终得到周长的取值范围。
【解析】
(1)
∵矩形的边长$x、y$均为正数，即$x＞0，y＞0$，
∴满足要求的$(x,y)$的横、纵坐标均为正，对应第一象限内的点。
(2) 取两点$(0,0)$、$(1,-1)$，过两点作直线，即为$y=-x$的图象。
(3) ①将交点$(2,2)$代入$y=-x+\frac{m}{2}$，得$2=-2+\frac{m}{2}$，解得$\frac{m}{2}=4$，即$m=8$。
②联立两个函数的解析式得$\begin{cases} y=-x+\frac{m}{2}, \\ y=\frac{4}{x}, \end{cases}$，消去$y$整理得$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$，该一元二次方程的根的个数对应两个函数图象的交点个数：
(Ⅰ)当交点个数为0时，方程无实根，即$\Delta=(-\frac{m}{2})^2-4×1×4=\frac{m^2}{4}-16＜0$，解得$-8＜m＜8$，又
∵周长$m$为正数，即$m＞0$，
∴此时$0＜m＜8$；
(Ⅱ)当交点个数为2时，方程有两个不相等的实根，即$\Delta=\frac{m^2}{4}-16＞0$，解得$m＜-8$（舍去，不符合$m＞0$）或$m＞8$，
∴此时$m＞8$。
综上，交点个数为0时，$0＜m＜8$；交点个数为2时，$m＞8$。
(4) 能生产出面积为4的矩形模具，说明两个函数图象有交点，即方程有实根，$\Delta≥0$，解得$m≥8$。
【答案】
(1)一
(2)如答图所示，
(3)①8
②当交点个数为0时，$0＜m＜8$；当交点个数为2时，$m＞8$。
(4)$m≥8$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将实际的矩形周长问题转化为函数图象交点问题，巧妙融合了函数、方程的知识，体现了数形结合思想的应用，有助于提升将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
有一种密度计，它可以漂浮在不同液体中测量液体的密度，在酿酒、石油、化工以及农业选种等方面有广泛应用.将其放入被测液体中，它会竖立在液体中，密度计上方为细玻璃管，它的内部有刻度，测量时可以根据液面所处的位置直接读出液体的密度值.如图2是一个圆柱形简易密度计，当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm³)的函数，其函数关系的部分对应值如下表(ρ＞0)：
当液体密度ρ=12 g/cm³时，浸入液体的深度h=
当液体密度ρ=12 g/cm³时，浸入液体的深度h=
1.5
cm.答案
1.5
解析
【分析】
解题时首先结合密度计漂浮的受力特点：浮力等于自身重力，重力为定值，因此浮力大小不变。再根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，其中$V_{排}$等于密度计横截面积乘以浸入深度$h$，推导可得$\rho$与$h$的乘积为定值，即$h$是$\rho$的反比例函数。接下来用待定系数法设反比例函数解析式，代入表格中已知的$\rho$和$h$的对应值求出常数$k$，得到完整的函数解析式后，将$\rho=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$代入解析式即可求出对应的$h$值。
【解析】
∵ 密度计漂浮在液体中，
∴ 所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G$（$G$为密度计重力，是定值）。
根据阿基米德原理：$F_{浮}=\rho g V_{排}$，其中$V_{排}=S· h$（$S$为密度计横截面积，是定值），代入得：
$\rho g S h = G$，整理得 $h=\frac{G}{\rho g S}$，因此$h$与$\rho$成反比例函数关系，设函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
根据表格中已知对应值，当$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=1.8\ \mathrm{cm}$，代入解析式得：
$k=\rho h=1×1.8=1.8$，因此函数解析式为$h=\frac{1.8}{\rho}$。
当$\rho=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$时，代入得$h=\frac{1.8}{1.2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活实际与物理原理考查反比例函数的应用，需要先通过原理判断函数类型，再用待定系数法求解，能锻炼学生跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合密度计漂浮的受力特点：浮力等于自身重力，重力为定值，因此浮力大小不变。再根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，其中$V_{排}$等于密度计横截面积乘以浸入深度$h$，推导可得$\rho$与$h$的乘积为定值，即$h$是$\rho$的反比例函数。接下来用待定系数法设反比例函数解析式，代入表格中已知的$\rho$和$h$的对应值求出常数$k$，得到完整的函数解析式后，将$\rho=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$代入解析式即可求出对应的$h$值。
【解析】
∵ 密度计漂浮在液体中，
∴ 所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G$（$G$为密度计重力，是定值）。
根据阿基米德原理：$F_{浮}=\rho g V_{排}$，其中$V_{排}=S· h$（$S$为密度计横截面积，是定值），代入得：
$\rho g S h = G$，整理得 $h=\frac{G}{\rho g S}$，因此$h$与$\rho$成反比例函数关系，设函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
根据表格中已知对应值，当$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=1.8\ \mathrm{cm}$，代入解析式得：
$k=\rho h=1×1.8=1.8$，因此函数解析式为$h=\frac{1.8}{\rho}$。
当$\rho=1.2\ \mathrm{g/cm}^3$时，代入得$h=\frac{1.8}{1.2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活实际与物理原理考查反比例函数的应用，需要先通过原理判断函数类型，再用待定系数法求解，能锻炼学生跨学科知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.7
