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第3课时 建立反比例函数模型解决实际问题
【综合与实践】生物生长规律的模型研究.
如图27－3－16①，砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表：
| x/岁 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y/(μm/天) | 26.0 | 19.0 | 14.0 | 9.5 | 7.0 | 5.5 |
图27－3－16
【模型构建1】如图27－3－16②，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图27－3－16②中点的分布情况，猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物线，设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点(10,14.0),(20,7.0)，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$，猜想当x≥10时y与x符合反比例函数关系，设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差，取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$，求反比例函数的解析式.
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算.
【综合与实践】生物生长规律的模型研究.
如图27－3－16①，砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表：
| x/岁 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| y/(μm/天) | 26.0 | 19.0 | 14.0 | 9.5 | 7.0 | 5.5 |
图27－3－16
【模型构建1】如图27－3－16②，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图27－3－16②中点的分布情况，猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物线，设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点(10,14.0),(20,7.0)，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$，猜想当x≥10时y与x符合反比例函数关系，设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差，取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$，求反比例函数的解析式.
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算.
答案
(1) 将点$(10,14.0),(20,7.0)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+26$，
$\therefore\begin{cases}100a+10b+26=14.0,\\400a+20b+26=7.0,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a=\dfrac{1}{40},\\b=-\dfrac{29}{20},\end{cases}$
$\therefore y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}.$
$\therefore$ 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁.
(2) 当$x≥10$时，
$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140,$
$\therefore y=\dfrac{140}{x}.$
(3) 由模型1可知，当$x≥29$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；
又由模型2可知，当$x≥10$时，$y$随$x$的增大而减小，符合砗磲的生长规律，
$\therefore$ 选择模型2. 当$x=35$时，$y=\dfrac{140}{35}=4.$
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为$4\ μ\mathrm{m}/$天.
$\therefore\begin{cases}100a+10b+26=14.0,\\400a+20b+26=7.0,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a=\dfrac{1}{40},\\b=-\dfrac{29}{20},\end{cases}$
$\therefore y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}.$
$\therefore$ 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁.
(2) 当$x≥10$时，
$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140,$
$\therefore y=\dfrac{140}{x}.$
(3) 由模型1可知，当$x≥29$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；
又由模型2可知，当$x≥10$时，$y$随$x$的增大而减小，符合砗磲的生长规律，
$\therefore$ 选择模型2. 当$x=35$时，$y=\dfrac{140}{35}=4.$
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为$4\ μ\mathrm{m}/$天.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知解析式形式为$y=ax^2+bx+26$，直接将给出的两个点坐标代入，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数；求生长速率最小时的年龄，由于抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，通过配方法或顶点公式求出顶点横坐标即可。
(2) 求反比例函数解析式时，先按题目要求计算四个$k$值的平均数得到$k$，再代入反比例函数形式即可。
(3) 选择模型需结合“生长速率随年龄增长持续降低”的规律，分析两个模型的增减性：二次函数在$x＞29$时$y$随$x$增大而增大，不符合规律；反比例函数在$x≥10$时$y$随$x$增大而减小，符合规律，因此选择模型2，代入$x=35$计算即可。
【解析】
(1) 将点$(10,14.0),(20,7.0)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+26$，得：
$\begin{cases}100a+10b+26=14.0\\400a+20b+26=7.0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{40}\\b=-\dfrac{29}{20}\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26$，配方得$y=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}$，
$\because \dfrac{1}{40}＞0$，$\therefore x=29$时$y$取最小值，即平均日生长速率最小时的年龄为29岁。
(2) 由题意计算$k$：
$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$
$\therefore$ 当$x≥10$时，反比例函数解析式为$y=\dfrac{140}{x}$。
(3) 选择模型2，理由：
模型1的二次函数当$x≥29$时，$y$随$x$增大而增大，不符合“生长速率随年龄增长持续降低”的规律；模型2的反比例函数当$x≥10$时，$y$随$x$增大而减小，符合生长规律。
将$x=35$代入$y=\dfrac{140}{x}$，得$y=\dfrac{140}{35}=4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26}$，平均日生长速率最小时的年龄为29岁；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{140}{x}(x≥10)}$；
(3) 选择模型2，35岁时的平均日生长速率为$\boldsymbol{4\ μ m/天}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际生物生长场景考查函数建模与应用，既检验了函数解析式的基本求解方法，也引导学生结合实际需求选择合适的数学模型，体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，已知解析式形式为$y=ax^2+bx+26$，直接将给出的两个点坐标代入，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数；求生长速率最小时的年龄，由于抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，通过配方法或顶点公式求出顶点横坐标即可。
(2) 求反比例函数解析式时，先按题目要求计算四个$k$值的平均数得到$k$，再代入反比例函数形式即可。
(3) 选择模型需结合“生长速率随年龄增长持续降低”的规律，分析两个模型的增减性：二次函数在$x＞29$时$y$随$x$增大而增大，不符合规律；反比例函数在$x≥10$时$y$随$x$增大而减小，符合规律，因此选择模型2，代入$x=35$计算即可。
【解析】
(1) 将点$(10,14.0),(20,7.0)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+26$，得：
$\begin{cases}100a+10b+26=14.0\\400a+20b+26=7.0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{40}\\b=-\dfrac{29}{20}\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26$，配方得$y=\dfrac{1}{40}(x-29)^2+\dfrac{199}{40}$，
$\because \dfrac{1}{40}＞0$，$\therefore x=29$时$y$取最小值，即平均日生长速率最小时的年龄为29岁。
(2) 由题意计算$k$：
$k=\dfrac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$
$\therefore$ 当$x≥10$时，反比例函数解析式为$y=\dfrac{140}{x}$。
(3) 选择模型2，理由：
模型1的二次函数当$x≥29$时，$y$随$x$增大而增大，不符合“生长速率随年龄增长持续降低”的规律；模型2的反比例函数当$x≥10$时，$y$随$x$增大而减小，符合生长规律。
将$x=35$代入$y=\dfrac{140}{x}$，得$y=\dfrac{140}{35}=4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{1}{40}x^2-\dfrac{29}{20}x+26}$，平均日生长速率最小时的年龄为29岁；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{140}{x}(x≥10)}$；
(3) 选择模型2，35岁时的平均日生长速率为$\boldsymbol{4\ μ m/天}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；反比例函数的应用
【点评】
本题结合实际生物生长场景考查函数建模与应用，既检验了函数解析式的基本求解方法，也引导学生结合实际需求选择合适的数学模型，体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
