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2.【调查研究】通过研究发现:初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化:上课开始时学生听课兴趣激增,中间一段时间注意力指标保持平稳,随后学生注意力开始分散.学生注意力指标$y$随时间$x(\mathrm{min})$变化的函数图象如图$27－3－15$所示,当$0≤ x＜10$和$10≤ x＜20$时,图象是线段,且$BC// x$轴;当$20≤ x≤40$时,图象是双曲线的一部分,其中点$A,D$的纵坐标相等.根据函数图象回答下列问题:
(1)求注意力指标$y$关于时间$x(\mathrm{min})$的函数解析式;
(2)已知学生听数学综合题讲解时,注意力指标不低于$30$,才能充分理解和接受.张老师讲解一道数学综合题需要$8\ \mathrm{min}$,则这节课张老师至多讲解几道数学综合题,才能保持学生充分理解和接受?
图$27－3－15$
(1)求注意力指标$y$关于时间$x(\mathrm{min})$的函数解析式;
(2)已知学生听数学综合题讲解时,注意力指标不低于$30$,才能充分理解和接受.张老师讲解一道数学综合题需要$8\ \mathrm{min}$,则这节课张老师至多讲解几道数学综合题,才能保持学生充分理解和接受?
图$27－3－15$
答案
2.解:(1)当 $20≤ x≤40$ 时,图象是双曲线的一部分,图象经过点$(20,48)$,
设 $y=\dfrac{k}{x}$,则 $\dfrac{k}{20}=48$,解得 $k=960$,
$\therefore y=\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40)$.
当 $x=40$ 时,$y=\dfrac{960}{40}=24$,
$\therefore D(40,24),\therefore A(0,24)$.
当 $0≤ x＜10$ 时,图象是线段 $AB$,
设直线 $AB$ 的解析式为 $y=mx+n$,
将 $A(0,24),B(10,48)$ 的坐标分别代入上式,
得 $\begin{cases}n=24,\\10m+n=48,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2.4,\\n=24,\end{cases}$
$\therefore y=2.4x+24(0≤ x＜10)$.
当 $10≤ x＜20$ 时,$y=48$.
$\therefore$ 注意力指标 $y$ 关于时间 $x(\min)$ 的函数解析式为 $y=\begin{cases}2.4x+24(0≤ x＜10)\\48(10≤ x＜20),\\\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40).\end{cases}$
(2)对于 $y=2.4x+24$,当 $y=30$ 时,$30=2.4x+24$,解得 $x=2.5$.
对于 $y=\dfrac{960}{x}$,当 $y=30$ 时,$30=\dfrac{960}{x}$,
解得 $x=32$.
根据题中图象可知,注意力指标不低于 30 的时间为 $32-2.5=29.5(\min)$,
$\because 29.5÷8=3.6875$(道),
$\therefore$ 这节课张老师至多讲解 3 道数学综合题,才能保证学生充分理解和接受.
设 $y=\dfrac{k}{x}$,则 $\dfrac{k}{20}=48$,解得 $k=960$,
$\therefore y=\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40)$.
当 $x=40$ 时,$y=\dfrac{960}{40}=24$,
$\therefore D(40,24),\therefore A(0,24)$.
当 $0≤ x＜10$ 时,图象是线段 $AB$,
设直线 $AB$ 的解析式为 $y=mx+n$,
将 $A(0,24),B(10,48)$ 的坐标分别代入上式,
得 $\begin{cases}n=24,\\10m+n=48,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2.4,\\n=24,\end{cases}$
$\therefore y=2.4x+24(0≤ x＜10)$.
当 $10≤ x＜20$ 时,$y=48$.
$\therefore$ 注意力指标 $y$ 关于时间 $x(\min)$ 的函数解析式为 $y=\begin{cases}2.4x+24(0≤ x＜10)\\48(10≤ x＜20),\\\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40).\end{cases}$
(2)对于 $y=2.4x+24$,当 $y=30$ 时,$30=2.4x+24$,解得 $x=2.5$.
对于 $y=\dfrac{960}{x}$,当 $y=30$ 时,$30=\dfrac{960}{x}$,
解得 $x=32$.
根据题中图象可知,注意力指标不低于 30 的时间为 $32-2.5=29.5(\min)$,
$\because 29.5÷8=3.6875$(道),
$\therefore$ 这节课张老师至多讲解 3 道数学综合题,才能保证学生充分理解和接受.
解析
【分析】
(1) 本题是分段函数求解问题，图象共分三段：优先求解20≤x≤40段的反比例函数，已知该段过点(20,48)，代入反比例函数通式即可求出解析式，进而得到D点坐标；由A、D纵坐标相等可得A点坐标，再结合B点坐标就能求出0≤x＜10段的一次函数解析式；10≤x＜20段BC平行于x轴，y值恒为48，可直接写出该段解析式。
(2) 要找注意力指标不低于30的总时长，分别在0≤x＜10段和20≤x≤40段求解y=30对应的x值，两个x值的差就是符合要求的总时长，用总时长除以单题需要的8分钟，向下取整即可得到最多可讲解的题数。
【解析】
(1) ①当$20≤ x≤40$时，设反比例函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$，将点$(20,48)$代入得：
$\dfrac{k}{20}=48$，解得 $k=960$，
$\therefore y=\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40)$。
将$x=40$代入上式得$y=\dfrac{960}{40}=24$，即$D(40,24)$，
∵点A、D纵坐标相等，
∴$A(0,24)$。
②当 $0≤ x＜10$ 时，设直线$AB$的解析式为 $y=mx+n$，
将 $A(0,24),B(10,48)$ 代入得：
$\begin{cases}n=24\\10m+n=48\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=2.4\\n=24\end{cases}$，
$\therefore y=2.4x+24(0≤ x＜10)$。
③当 $10≤ x＜20$ 时，$BC// x$轴，$y$值恒为48，即$y=48$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}2.4x+24&(0≤ x＜10)\\48&(10≤ x＜20)\\\dfrac{960}{x}&(20≤ x≤40)\end{cases}$
(2) 当$0≤x＜10$时，令$y=30$，则$30=2.4x+24$，解得$x=2.5$；
当$20≤x≤40$时，令$y=30$，则$30=\dfrac{960}{x}$，解得$x=32$。
结合图象可知，注意力指标不低于30的时长为$32-2.5=29.5(\mathrm{min})$。
单题讲解需要8min，$29.5÷8=3.6875$，题数需取正整数，故至多讲解3道。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2.4x+24&(0≤ x＜10)\\48&(10≤ x＜20)\\\dfrac{960}{x}&(20≤ x≤40)\end{cases}$
(2) 至多讲解3道
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 一次函数的应用
3. 分段函数的应用
【点评】
本题结合学生上课注意力变化的实际场景，考查了分段函数解析式的求解及实际应用，既要求学生熟练掌握一次函数、反比例函数的解析式求解方法，也需要学生结合图象分析变量的取值范围，提升从图象提取有效信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分段函数求解问题，图象共分三段：优先求解20≤x≤40段的反比例函数，已知该段过点(20,48)，代入反比例函数通式即可求出解析式，进而得到D点坐标；由A、D纵坐标相等可得A点坐标，再结合B点坐标就能求出0≤x＜10段的一次函数解析式；10≤x＜20段BC平行于x轴，y值恒为48，可直接写出该段解析式。
(2) 要找注意力指标不低于30的总时长，分别在0≤x＜10段和20≤x≤40段求解y=30对应的x值，两个x值的差就是符合要求的总时长，用总时长除以单题需要的8分钟，向下取整即可得到最多可讲解的题数。
【解析】
(1) ①当$20≤ x≤40$时，设反比例函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$，将点$(20,48)$代入得：
$\dfrac{k}{20}=48$，解得 $k=960$，
$\therefore y=\dfrac{960}{x}(20≤ x≤40)$。
将$x=40$代入上式得$y=\dfrac{960}{40}=24$，即$D(40,24)$，
∵点A、D纵坐标相等，
∴$A(0,24)$。
②当 $0≤ x＜10$ 时，设直线$AB$的解析式为 $y=mx+n$，
将 $A(0,24),B(10,48)$ 代入得：
$\begin{cases}n=24\\10m+n=48\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m=2.4\\n=24\end{cases}$，
$\therefore y=2.4x+24(0≤ x＜10)$。
③当 $10≤ x＜20$ 时，$BC// x$轴，$y$值恒为48，即$y=48$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为：
$y=\begin{cases}2.4x+24&(0≤ x＜10)\\48&(10≤ x＜20)\\\dfrac{960}{x}&(20≤ x≤40)\end{cases}$
(2) 当$0≤x＜10$时，令$y=30$，则$30=2.4x+24$，解得$x=2.5$；
当$20≤x≤40$时，令$y=30$，则$30=\dfrac{960}{x}$，解得$x=32$。
结合图象可知，注意力指标不低于30的时长为$32-2.5=29.5(\mathrm{min})$。
单题讲解需要8min，$29.5÷8=3.6875$，题数需取正整数，故至多讲解3道。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}2.4x+24&(0≤ x＜10)\\48&(10≤ x＜20)\\\dfrac{960}{x}&(20≤ x≤40)\end{cases}$
(2) 至多讲解3道
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 一次函数的应用
3. 分段函数的应用
【点评】
本题结合学生上课注意力变化的实际场景，考查了分段函数解析式的求解及实际应用，既要求学生熟练掌握一次函数、反比例函数的解析式求解方法，也需要学生结合图象分析变量的取值范围，提升从图象提取有效信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
