登录
10. 求下列各数的值：
(1)$\sqrt{10\ 000}$.
(2)$-\sqrt{0.01}$.
(3)$-\sqrt{(-2)^2}$.
(1)$\sqrt{10\ 000}$.
(2)$-\sqrt{0.01}$.
(3)$-\sqrt{(-2)^2}$.
答案
10.解:(1)$\sqrt{10\ 000}=100$.
(2)$-\sqrt{0.01}=-0.1$.
(3)$-\sqrt{(-2)^2}=-2$.
(2)$-\sqrt{0.01}=-0.1$.
(3)$-\sqrt{(-2)^2}=-2$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若正数x的平方等于a（a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。运算时遵循“先算根号内的运算，再求算术平方根，最后处理根号外的符号”的顺序：
(1) 找平方等于10000的正数，即为10000的算术平方根；
(2) 先求出0.01的算术平方根，再在结果前添加负号；
(3) 先计算根号内$(-2)$的平方得4，再求4的算术平方根，最后添加负号得到结果。
【解析】
解：
(1) 因为$100^2=10000$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{10000}=100$；
(2) 因为$0.1^2=0.01$，所以$\sqrt{0.01}=0.1$，因此$-\sqrt{0.01}=-0.1$；
(3) 先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，又因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$，因此$-\sqrt{(-2)^2}=-2$。
【答案】
(1)$100$；(2)$-0.1$；(3)$-2$
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方运算
【点评】
本题属于平方根的基础运算题，解题时需注意运算顺序，先计算根号内的表达式，再求算术平方根，同时要牢记算术平方根的非负性，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的定义：若正数x的平方等于a（a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。运算时遵循“先算根号内的运算，再求算术平方根，最后处理根号外的符号”的顺序：
(1) 找平方等于10000的正数，即为10000的算术平方根；
(2) 先求出0.01的算术平方根，再在结果前添加负号；
(3) 先计算根号内$(-2)$的平方得4，再求4的算术平方根，最后添加负号得到结果。
【解析】
解：
(1) 因为$100^2=10000$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{10000}=100$；
(2) 因为$0.1^2=0.01$，所以$\sqrt{0.01}=0.1$，因此$-\sqrt{0.01}=-0.1$；
(3) 先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，又因为$2^2=4$，所以$\sqrt{4}=2$，因此$-\sqrt{(-2)^2}=-2$。
【答案】
(1)$100$；(2)$-0.1$；(3)$-2$
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方运算
【点评】
本题属于平方根的基础运算题，解题时需注意运算顺序，先计算根号内的表达式，再求算术平方根，同时要牢记算术平方根的非负性，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.9
11. 计算$\sqrt{1 \frac{9}{16}}+\sqrt{4 \frac{25}{36}}$的结果是________
答案
$3\ \frac{5}{12}$ 【解析】 原式$=\sqrt{\frac{25}{16}}+\sqrt{\frac{169}{36}}=\frac{5}{4}+\frac{13}{6}=3\ \frac{5}{12}$.
解析
【分析】
这是一道含算术平方根的分数运算题，解题思路如下：第一步，根号内的带分数无法直接开方，需要先把两个带分数分别转化为假分数；第二步，根据算术平方根的定义，分别计算两个假分数的算术平方根，得到两个异分母分数；第三步，对这两个异分母分数通分后相加，最后将结果化为最简带分数即可。
【解析】
解：原式$=\sqrt{\frac{25}{16}}+\sqrt{\frac{169}{36}}$
$=\frac{5}{4}+\frac{13}{6}$
$=\frac{15}{12}+\frac{26}{12}$
$=\frac{41}{12}$
$=3\frac{5}{12}$
【答案】
$3\frac{5}{12}$
【知识点】
算术平方根运算、带分数与假分数互化、异分母分数加法
【点评】
本题属于基础运算题，解题的易错点是容易直接对带分数的整数部分和分数部分分别开方，计算时需先转化带分数再开方，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道含算术平方根的分数运算题，解题思路如下：第一步，根号内的带分数无法直接开方，需要先把两个带分数分别转化为假分数；第二步，根据算术平方根的定义，分别计算两个假分数的算术平方根，得到两个异分母分数；第三步，对这两个异分母分数通分后相加，最后将结果化为最简带分数即可。
【解析】
解：原式$=\sqrt{\frac{25}{16}}+\sqrt{\frac{169}{36}}$
$=\frac{5}{4}+\frac{13}{6}$
$=\frac{15}{12}+\frac{26}{12}$
$=\frac{41}{12}$
$=3\frac{5}{12}$
【答案】
$3\frac{5}{12}$
【知识点】
算术平方根运算、带分数与假分数互化、异分母分数加法
【点评】
本题属于基础运算题，解题的易错点是容易直接对带分数的整数部分和分数部分分别开方，计算时需先转化带分数再开方，只要细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
12. 填空：
(1)平方根等于它本身的数是
(2)算术平方根等于它本身的数是
(3)算术平方根和平方根相等的数是
(1)平方根等于它本身的数是
$0$
.(2)算术平方根等于它本身的数是
$0,1$
.(3)算术平方根和平方根相等的数是
$0$
.答案
12.(1)$0$ (2)$0,1$ (3)$0$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平方根和算术平方根的核心性质：1. 平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；2. 算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负的，正数的算术平方根是它的正平方根，0的算术平方根是0。接下来逐个分析小问：
(1) 找平方根等于本身的数：正数有两个不同的平方根，不可能等于本身，负数没有平方根，仅需验证0即可；
(2) 找算术平方根等于本身的数：从非负数里验证，0、1分别计算算术平方根，大于1的数算术平方根比本身小，即可确定结果；
(3) 找算术平方根和平方根相等的数：结合前两问的结果，排除仅满足其中一个条件的数，剩下的就是符合要求的数。
【解析】
首先明确相关定义与性质：
如果$x^2=a(a≥0)$，那么$x$叫做$a$的平方根；其中非负的那个平方根叫做$a$的算术平方根。
性质：正数有2个互为相反数的平方根，算术平方根仅有1个（正数）；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根和算术平方根。
(1) 设数$a$的平方根等于它本身：
正数的平方根有两个，不可能等于本身；负数没有平方根；只有0的平方根是0，等于本身，故填0。
(2) 设数$b$的算术平方根等于它本身：
$b$是非负数，$\sqrt{0}=0$，符合要求；$\sqrt{1}=1$，符合要求；当$b＞1$时，$\sqrt{b}＜b$，不满足要求，故符合条件的数是0和1。
(3) 要使一个数的算术平方根和平方根相等：
正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，不可能相等；只有0的平方根和算术平方根都是0，二者相等，故填0。
【答案】
(1)$0$；(2)$0,1$；(3)$0$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；平方根与算术平方根的辨析
【点评】
本题是平方根章节的基础概念题，重点考查对平方根和算术平方根两个概念的区分，解题时要注意正数的平方根有两个、算术平方根只有一个的特点，避免混淆概念导致漏写或多写。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确平方根和算术平方根的核心性质：1. 平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；2. 算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负的，正数的算术平方根是它的正平方根，0的算术平方根是0。接下来逐个分析小问：
(1) 找平方根等于本身的数：正数有两个不同的平方根，不可能等于本身，负数没有平方根，仅需验证0即可；
(2) 找算术平方根等于本身的数：从非负数里验证，0、1分别计算算术平方根，大于1的数算术平方根比本身小，即可确定结果；
(3) 找算术平方根和平方根相等的数：结合前两问的结果，排除仅满足其中一个条件的数，剩下的就是符合要求的数。
【解析】
首先明确相关定义与性质：
如果$x^2=a(a≥0)$，那么$x$叫做$a$的平方根；其中非负的那个平方根叫做$a$的算术平方根。
性质：正数有2个互为相反数的平方根，算术平方根仅有1个（正数）；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根和算术平方根。
(1) 设数$a$的平方根等于它本身：
正数的平方根有两个，不可能等于本身；负数没有平方根；只有0的平方根是0，等于本身，故填0。
(2) 设数$b$的算术平方根等于它本身：
$b$是非负数，$\sqrt{0}=0$，符合要求；$\sqrt{1}=1$，符合要求；当$b＞1$时，$\sqrt{b}＜b$，不满足要求，故符合条件的数是0和1。
(3) 要使一个数的算术平方根和平方根相等：
正数的平方根有两个，算术平方根只有一个，不可能相等；只有0的平方根和算术平方根都是0，二者相等，故填0。
【答案】
(1)$0$；(2)$0,1$；(3)$0$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；平方根与算术平方根的辨析
【点评】
本题是平方根章节的基础概念题，重点考查对平方根和算术平方根两个概念的区分，解题时要注意正数的平方根有两个、算术平方根只有一个的特点，避免混淆概念导致漏写或多写。
【难度系数】
0.9
13. 填空：
(1)$\sqrt{16}$的算术平方根是
(2)$\sqrt{81}$的平方根是
(1)$\sqrt{16}$的算术平方根是
$2$
.(2)$\sqrt{81}$的平方根是
$\pm3$
.答案
13.(1)$2$ (2)$\pm3$
解析
【分析】
解决这类问题首先要明确两个核心概念：一是算术平方根的结果为非负数，二是平方根的结果有两个互为相反数的数。注意两道题都需要先化简带根号的原式，再对化简后的结果求对应的算术平方根或平方根，不能直接对根号内的数字进行计算，第一步先算出$\sqrt{16}$、$\sqrt{81}$的值，第二步根据对应定义求解即可。
【解析】
(1) 先化简原式：$\sqrt{16}=4$，再求4的算术平方根。根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根为算术平方根，因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2。
(2) 先化简原式：$\sqrt{81}=9$，再求9的平方根。根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(±3)^2=9$，所以9的平方根是$±3$。
【答案】
(1)$2$ (2)$±3$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念
【点评】
本题是平方根相关的基础易错题，易错点是未先化简原式就直接对根号内的数计算，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异：算术平方根唯一且非负，平方根有两个互为相反数的结果（0除外），审题要细致。
【难度系数】
0.7
解决这类问题首先要明确两个核心概念：一是算术平方根的结果为非负数，二是平方根的结果有两个互为相反数的数。注意两道题都需要先化简带根号的原式，再对化简后的结果求对应的算术平方根或平方根，不能直接对根号内的数字进行计算，第一步先算出$\sqrt{16}$、$\sqrt{81}$的值，第二步根据对应定义求解即可。
【解析】
(1) 先化简原式：$\sqrt{16}=4$，再求4的算术平方根。根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根为算术平方根，因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2。
(2) 先化简原式：$\sqrt{81}=9$，再求9的平方根。根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(±3)^2=9$，所以9的平方根是$±3$。
【答案】
(1)$2$ (2)$±3$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念
【点评】
本题是平方根相关的基础易错题，易错点是未先化简原式就直接对根号内的数计算，解题时要注意区分算术平方根和平方根的差异：算术平方根唯一且非负，平方根有两个互为相反数的结果（0除外），审题要细致。
【难度系数】
0.7
14.小明家的客厅是用正方形地板砖铺成的，面积是21.6 m²，小明数了一下地面所铺的地板砖正好是60块，请你帮小明计算一下，每块地板砖的边长是多少？
答案
14.解:地板砖的面积:$21.6÷60=0.36(\mathrm{m}^2)$,
正方形地板砖的边长:$\sqrt{0.36}=0.6(\mathrm{m})$.
答:每块地板砖的边长是 0.6 m.
正方形地板砖的边长:$\sqrt{0.36}=0.6(\mathrm{m})$.
答:每块地板砖的边长是 0.6 m.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，客厅总面积是60块地板砖的面积总和，因此用客厅总面积除以地板砖的块数，就能得到每块正方形地板砖的面积；第二步，正方形的面积等于边长的平方，已知正方形面积求边长，本质是求面积的算术平方根（边长为正数，因此仅取正的平方根即可）。
【解析】
解：先计算每块地板砖的面积：
$21.6÷60=0.36(\mathrm{m}^2)$
设正方形地板砖的边长为$a\,\mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=0.36$，
因此边长$a=\sqrt{0.36}=0.6(\mathrm{m})$。
答：每块地板砖的边长是0.6 m。
【答案】
每块地板砖的边长是0.6 m
【知识点】
1. 正方形面积计算 2. 算术平方根的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查算术平方根的应用，解题逻辑清晰，计算量小，关键是先求出单块地板砖的面积，再结合正方形面积与边长的关系，取正的算术平方根得到边长即可。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，客厅总面积是60块地板砖的面积总和，因此用客厅总面积除以地板砖的块数，就能得到每块正方形地板砖的面积；第二步，正方形的面积等于边长的平方，已知正方形面积求边长，本质是求面积的算术平方根（边长为正数，因此仅取正的平方根即可）。
【解析】
解：先计算每块地板砖的面积：
$21.6÷60=0.36(\mathrm{m}^2)$
设正方形地板砖的边长为$a\,\mathrm{m}$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=0.36$，
因此边长$a=\sqrt{0.36}=0.6(\mathrm{m})$。
答：每块地板砖的边长是0.6 m。
【答案】
每块地板砖的边长是0.6 m
【知识点】
1. 正方形面积计算 2. 算术平方根的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查算术平方根的应用，解题逻辑清晰，计算量小，关键是先求出单块地板砖的面积，再结合正方形面积与边长的关系，取正的算术平方根得到边长即可。
【难度系数】
0.8
15.如图，小丽想用一块面积为$36\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为$20\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片，使它的长是宽的2倍.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
答案
15.解:不同意,因为正方形的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$,故边长为 6 cm.
易知裁出的长方形的长最长为6 cm,则此时宽为 3 cm,
则长方形的面积最大为 $6×3=18(\mathrm{cm})^2$.
因为 $18＜20$,
所以不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
易知裁出的长方形的长最长为6 cm,则此时宽为 3 cm,
则长方形的面积最大为 $6×3=18(\mathrm{cm})^2$.
因为 $18＜20$,
所以不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
解析
【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形，不能仅通过正方形面积更大就直接下结论。首先需要根据正方形的面积求出它的边长，这是裁出的长方形的长的最大取值；再结合“长是宽的2倍”的要求，计算出在该正方形中能裁出的满足长宽比的长方形的最大面积，将其和要求的$20\ \mathrm{cm}^2$比较，若最大面积大于等于$20\ \mathrm{cm}^2$则可以裁出，反之则不能。
【解析】
解：不同意小明的说法，推导如下：
1. 求正方形的边长：已知正方形面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，因此正方形的边长为$\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$，即裁出的长方形的长最长只能为$6\ \mathrm{cm}$。
2. 计算符合长宽比要求的最大长方形面积：因为要求长方形的长是宽的2倍，当长取最大值$6\ \mathrm{cm}$时，对应的宽为$6÷2=3\ \mathrm{cm}$，此时长方形的面积为$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，这是能裁出的符合要求的长方形的最大面积。
3. 对比判断：因为$18＜20$，即能裁出的最大符合要求的长方形面积小于需要的$20\ \mathrm{cm}^2$，因此无法裁出符合要求的纸片。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。因为正方形的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，故边长为 6 cm，裁出的长方形的长最长为6 cm，则此时宽为 3 cm，长方形的面积最大为 $6×3=18(\mathrm{cm})^2$，$18＜20$，所以不能裁出符合要求的纸片。
【知识点】
正方形面积计算、长方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题是几何实际应用类问题，易错点是直接通过面积大小判断能否裁剪，忽略了长方形长宽比和正方形边长的限制，解题时要结合图形的边长约束条件综合分析，不能仅凭直观感受下结论。
【难度系数】
0.6
要判断能否裁出符合要求的长方形，不能仅通过正方形面积更大就直接下结论。首先需要根据正方形的面积求出它的边长，这是裁出的长方形的长的最大取值；再结合“长是宽的2倍”的要求，计算出在该正方形中能裁出的满足长宽比的长方形的最大面积，将其和要求的$20\ \mathrm{cm}^2$比较，若最大面积大于等于$20\ \mathrm{cm}^2$则可以裁出，反之则不能。
【解析】
解：不同意小明的说法，推导如下：
1. 求正方形的边长：已知正方形面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，因此正方形的边长为$\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$，即裁出的长方形的长最长只能为$6\ \mathrm{cm}$。
2. 计算符合长宽比要求的最大长方形面积：因为要求长方形的长是宽的2倍，当长取最大值$6\ \mathrm{cm}$时，对应的宽为$6÷2=3\ \mathrm{cm}$，此时长方形的面积为$6×3=18\ \mathrm{cm}^2$，这是能裁出的符合要求的长方形的最大面积。
3. 对比判断：因为$18＜20$，即能裁出的最大符合要求的长方形面积小于需要的$20\ \mathrm{cm}^2$，因此无法裁出符合要求的纸片。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。因为正方形的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$，故边长为 6 cm，裁出的长方形的长最长为6 cm，则此时宽为 3 cm，长方形的面积最大为 $6×3=18(\mathrm{cm})^2$，$18＜20$，所以不能裁出符合要求的纸片。
【知识点】
正方形面积计算、长方形面积计算、算术平方根的应用
【点评】
本题是几何实际应用类问题，易错点是直接通过面积大小判断能否裁剪，忽略了长方形长宽比和正方形边长的限制，解题时要结合图形的边长约束条件综合分析，不能仅凭直观感受下结论。
【难度系数】
0.6
