2. 下列条件中，能判定$△ ABC$为等腰三角形的是().

A.$∠ A=42°$, $∠ B=48°$
B.$∠ A=2∠ B=70°$
C.$∠ A+∠ B=100°$
D.$∠ A=50°$, $∠ B=80°$

D

【分析】
要判定△ABC是否为等腰三角形，依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”，我们可以结合三角形内角和为180°的性质，分别计算每个选项中三角形的三个内角度数，判断是否存在两个相等的角即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，逐一分析选项：
A选项：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-42°-48°=90°$，三个内角度数为42°、48°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：由$∠ A=2∠ B=70°$得$∠ B=35°$，则$∠ C=180°-70°-35°=75°$，三个内角度数为70°、35°、75°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：$∠ A+∠ B=100°$，只能推出$∠ C=80°$，但$∠ A$、$∠ B$的具体数值不确定，例如$∠ A=60°$、$∠ B=40°$时，三角形无相等内角，因此不能判定为等腰三角形；
D选项：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-80°=50°$，可得$∠ A=∠ C=50°$，有两个相等的内角，能判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形的判定方法，解题时需结合三角形内角和定理准确计算各角度数，对于没有给出具体角度值的选项，要注意判断是否存在非等腰的情况，避免错选。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知点A，B均是格点，若点C也是格点，则当$△ ABC$是以AB为腰的等腰三角形时，图中符合条件的点C的个数是.

4

【分析】
要解决这个问题，首先明确题目要求：△ABC是以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①AB=AC；②AB=BC。先通过勾股定理算出AB的长度，再分别以点A、点B为圆心，AB长为半径画圆，在网格中找出除A、B外落在圆上的格点，这些点就是符合条件的点C，注意排除三点共线的情况。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算AB的长度。观察格点A、B的位置，两点横向相距3个单位，纵向相距3个单位，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
第二步：分情况找符合条件的点C：
1. 当$AB=AC$时：以A为圆心，AB长为半径作圆，在格点中找与A距离为$3\sqrt{2}$的点，除点B外，共找到2个符合条件的格点；
2. 当$AB=BC$时：以B为圆心，AB长为半径作圆，在格点中找与B距离为$3\sqrt{2}$的点，除点A外，共找到2个符合条件的格点。
两种情况的格点无重复，也不存在三点共线的情况，因此符合条件的点C总个数为$2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；网格点特征
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题关键是牢记“以AB为腰”需分两种情况讨论，结合勾股定理和网格特点找格点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

4. 如图，D是$△ ABC$的边$BC$的中点，$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，$BF=CE$. 求证：$△ ABC$是等腰三角形.

证明：$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，$\therefore △ BDF$与$△ CDE$均是直角三角形。在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} BF=CE, \\ BD=CD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL})$。$\therefore ∠ B=∠ C$。$\therefore AB=AC$。$\therefore △ ABC$是等腰三角形。

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，可通过证明两个底角∠B=∠C，再利用等角对等边得到AB=AC即可。观察图形可知∠B、∠C分别在Rt△BDF和Rt△CDE中，已知D是BC中点，可得BD=CD；又已知BF=CE，且两个三角形都是直角三角形，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，最终推导得出△ABC是等腰三角形。
【解析】
证明：$\because D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，$\therefore △ BDF$与$△ CDE$均是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，
$\begin{cases} BF=CE, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\therefore AB=AC$。
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础练习题，核心考查直角三角形全等的判定及全等三角形的性质，解题的关键是找到待证角所在的三角形，通过全等得到角相等，进而判定等腰三角形，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

5. 如图，某轮船以20 n mile/h的速度自西向东航行，在A处测得有一小岛P在北偏东$60°$的方向上，航行2 h后到达B处，此时测得小岛P在北偏东$30°$的方向上，则轮船在B处时与小岛P的距离是 n mile.

40

【分析】
首先根据路程公式计算出A到B的航行距离，再结合方位角的定义求出△ABP中两个内角的度数，利用三角形外角性质推导得到等角关系，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可求出B处到小岛P的距离。
【解析】
1. 计算AB的长度：
轮船航行速度为20 n mile/h，航行时间为2 h，因此$AB=20×2=40\ \mathrm{n mile}$。
2. 推导角度关系：
在A处测得P在北偏东$60°$方向，因此$∠ PAB=90°-60°=30°$；
在B处测得P在北偏东$30°$方向，因此$∠ PBC=90°-30°=60°$。
因为$∠ PBC$是$△ ABP$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ PBC=∠ PAB+∠ APB$，代入角度得：
$60°=30°+∠ APB$，解得$∠ APB=30°$。
3. 等腰三角形判定：
由$∠ PAB=∠ APB=30°$，根据“等角对等边”可得$BP=AB=40\ \mathrm{n mile}$。
【答案】
40
【知识点】
方位角应用，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题结合航行场景考查几何知识的实际应用，解题关键是正确理解方位角的含义，从图中提取角度关系，通过等腰三角形的判定简化计算，是等腰三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

6. 如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高，DE//AB，交AC于点E. 求证：
(1)△ADE是等腰三角形；
(2)AE=EC.

证明：(1)$\because △ ABC$是等腰三角形，$AD$是底边$BC$上的高，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。$\because DE// AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ BAD$。$\therefore ∠ ADE=∠ CAD$。$\therefore AE=ED$。$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
(2) $\because △ ABC$ 是等腰三角形，$\therefore AB=AC$。$\therefore ∠ B=∠ C$。$\because DE// AB$，$\therefore ∠ EDC=∠ B$。$\therefore ∠ EDC=∠ C$。$\therefore ED=EC$。由(1)得 $AE=ED$，$\therefore AE=EC$。

【分析】
要证明(1)△ADE是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等或两个内角相等：首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AD是等腰△ABC底边BC上的高，可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再结合DE//AB的条件，根据平行线内错角相等的性质，可得∠ADE=∠BAD，等量代换后得到∠ADE=∠CAD，根据等角对等边即可推出AE=ED，证明△ADE是等腰三角形。
要证明(2)AE=EC，可借助(1)的结论AE=ED，只需证明ED=EC即可：首先等腰△ABC的两个底角相等，即∠B=∠C；再结合DE//AB，根据平行线同位角相等的性质，可得∠EDC=∠B，等量代换得∠EDC=∠C，根据等角对等边推出ED=EC，最后通过等量代换即可得到AE=EC。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴ 根据等腰三角形三线合一，∠BAD=∠CAD，
∵ DE//AB，
∴ ∠ADE=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ADE=∠CAD，
∴ AE=ED（等角对等边），
∴ △ADE是等腰三角形。
(2) 证明：
∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C，
∵ DE//AB，
∴ ∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠EDC=∠C，
∴ ED=EC（等角对等边），
由(1)得AE=ED，
∴ AE=EC。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 平行线的性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础应用题，解题核心是通过平行线性质和等腰三角形的性质实现角的等量代换，进而推导边的关系，能够很好地巩固学生对等腰三角形相关定理的理解和综合应用能力。
【难度系数】
0.8

7. 如图，在长方形ABCD的对称轴l上找一点P，使△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数为。

5

【分析】
解题时先利用长方形对称轴的性质，可得直线l是BC的垂直平分线，因此任意P在l上都有PB=PC，即△PBC天然为等腰三角形，只需保证△PAB为等腰即可。接下来结合等腰三角形“两边相等”的判定，分三类讨论△PAB为等腰的情况：PA=PB、AB=PA、AB=PB，注意直线l是无限延伸的，通过尺规作弧的方法找交点，排除重合点后即可得到总个数，分类时需做到不重不漏。
【解析】
1. 由长方形对称轴的性质可知，直线l是边BC的垂直平分线，因此对任意在直线l上的点P，都有PB=PC，故△PBC恒为等腰三角形，只需满足△PAB为等腰三角形即可。
2. 分三类讨论△PAB为等腰的情况：
（1）当PA=PB时：点P在AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线与直线l交于长方形的中心，共1个符合条件的点；
（2）当AB=PA时：以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与直线l交于2个点，这两个点均满足AB=PA，符合条件；
（3）当AB=PB时：以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，与直线l交于2个点，这两个点均满足AB=PB，符合条件。
3. 一般长方形的长宽不相等，上述三类情况的点不存在重合，因此总共有1+2+2=5个满足条件的点。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，长方形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何计数问题中的应用，解题时要注意对称轴是无限延伸的直线，不要遗漏直线上长方形外的点，分类时要全面，避免漏数或重复计数。
【难度系数】
0.5