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1. 三边都
相等
的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。答案
1. 相等
解析
【分析】
这道题考查等边三角形的基本定义，解题时只需回忆教材中对等边三角形的定义表述即可。我们知道三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形两类，等边三角形的核心特征是三条边长度都相同，且符合等腰三角形“至少两条边相等”的要求，因此是特殊的等腰三角形，据此就能得出空缺处的内容。
【解析】
根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。同时等边三角形满足等腰三角形“有两条边相等”的特征，因此属于特殊的等腰三角形，所以横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等边三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础定义的记忆掌握，难度较低，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查等边三角形的基本定义，解题时只需回忆教材中对等边三角形的定义表述即可。我们知道三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形两类，等边三角形的核心特征是三条边长度都相同，且符合等腰三角形“至少两条边相等”的要求，因此是特殊的等腰三角形，据此就能得出空缺处的内容。
【解析】
根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形。同时等边三角形满足等腰三角形“有两条边相等”的特征，因此属于特殊的等腰三角形，所以横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等边三角形的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对基础定义的记忆掌握，难度较低，熟记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个角都
相等
，并且每一个角都等于60°
。答案
2. 相等 60°
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的定义与相关性质：等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出三个角的大小关系；再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出每个角的具体度数。
【解析】
1. 等边三角形的三条边长度完全相等，根据“等边对等角”的性质，可知它的三个内角都相等；
2. 因为三角形的内角和为180°，所以等边三角形每个内角的度数为$180°÷3=60°$，即每一个角都等于$60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对等边三角形基本性质的识记和理解，熟练掌握该性质是解决等边三角形相关几何计算、证明题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等边三角形的定义与相关性质：等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出三个角的大小关系；再结合三角形内角和为180°的定理，就能计算出每个角的具体度数。
【解析】
1. 等边三角形的三条边长度完全相等，根据“等边对等角”的性质，可知它的三个内角都相等；
2. 因为三角形的内角和为180°，所以等边三角形每个内角的度数为$180°÷3=60°$，即每一个角都等于$60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对等边三角形基本性质的识记和理解，熟练掌握该性质是解决等边三角形相关几何计算、证明题的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 等边三角形的判定方法：
（1）三个角都
（2）有一个角是
（1）三个角都
相等
的三角形是等边三角形。（2）有一个角是
60°
的等腰三角形是等边三角形。答案
3. (1)相等 (2)60°
解析
【分析】
这道题考查等边三角形的判定定理，解题时可结合三角形内角和、等腰三角形的性质推导理解两个判定规则：
1. 针对第一空，三角形内角和为180°，若三个角都相等，可推出每个角均为60°，此时三角形三条边对应相等，符合等边三角形的特征。
2. 针对第二空，等腰三角形本身有两条边相等、两个底角相等的性质，若存在一个60°的角，不管这个角是顶角还是底角，都能推导得出三个角均为60°、三条边都相等，即为等边三角形。
【解析】
（1）根据三角形内角和为180°，若三角形三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，此时三角形三条边对应相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第一空填“相等”。
（2）等腰三角形两条边相等、两个底角相等，若有一个角是$60°$：①若该角为顶角，则两个底角的度数均为$(180°-60°)÷2=60°$；②若该角为底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$。两种情况都可得到三角形三个角均为$60°$、三条边都相等，因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，第二空填“$60°$”。
【答案】
（1）相等；（2）$60°$
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对等边三角形判定定理的理解与掌握，是解决等边三角形相关证明、计算类问题的基础，需牢固记忆相关判定规则。
【难度系数】
0.9
这道题考查等边三角形的判定定理，解题时可结合三角形内角和、等腰三角形的性质推导理解两个判定规则：
1. 针对第一空，三角形内角和为180°，若三个角都相等，可推出每个角均为60°，此时三角形三条边对应相等，符合等边三角形的特征。
2. 针对第二空，等腰三角形本身有两条边相等、两个底角相等的性质，若存在一个60°的角，不管这个角是顶角还是底角，都能推导得出三个角均为60°、三条边都相等，即为等边三角形。
【解析】
（1）根据三角形内角和为180°，若三角形三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，此时三角形三条边对应相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，第一空填“相等”。
（2）等腰三角形两条边相等、两个底角相等，若有一个角是$60°$：①若该角为顶角，则两个底角的度数均为$(180°-60°)÷2=60°$；②若该角为底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$。两种情况都可得到三角形三个角均为$60°$、三条边都相等，因此有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，第二空填“$60°$”。
【答案】
（1）相等；（2）$60°$
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对等边三角形判定定理的理解与掌握，是解决等边三角形相关证明、计算类问题的基础，需牢固记忆相关判定规则。
【难度系数】
0.9
例1 如图，$△ ABC$是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且$CG = CD$，$DF = DE$，则$∠ E$的度数是
15°
。答案
例1 15°
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，先得到∠ACB的度数，再利用邻补角的性质求出∠ACD的度数；接下来根据CG=CD可知△CGD是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求出∠CDG的度数，同理再求出∠FDE的度数，最后根据DF=DE，再次利用等腰三角形的性质就能算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°
∵CG=CD
∴△CDG是等腰三角形，∠CDG=∠CGD
∴∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∴∠FDE=180°-∠CDG=180°-30°=150°
∵DF=DE
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE
∴∠E=(180°-∠FDE)÷2=(180°-150°)÷2=15°
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是利用等边三角形、等腰三角形的性质结合邻补角、内角和定理逐步推导角度，解题时注意每一步等腰三角形的顶角和底角的对应关系，避免角度混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形入手，先得到∠ACB的度数，再利用邻补角的性质求出∠ACD的度数；接下来根据CG=CD可知△CGD是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可求出∠CDG的度数，同理再求出∠FDE的度数，最后根据DF=DE，再次利用等腰三角形的性质就能算出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°
∵CG=CD
∴△CDG是等腰三角形，∠CDG=∠CGD
∴∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∴∠FDE=180°-∠CDG=180°-30°=150°
∵DF=DE
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE
∴∠E=(180°-∠FDE)÷2=(180°-150°)÷2=15°
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是利用等边三角形、等腰三角形的性质结合邻补角、内角和定理逐步推导角度，解题时注意每一步等腰三角形的顶角和底角的对应关系，避免角度混淆。
【难度系数】
0.7
例2 如图，$∠ C=60°$，$AC=BC=150$ m，则池塘的宽$AB=$
150
m.答案
例2 150
解析
【分析】
首先根据已知AC=BC，可判断△ABC是等腰三角形，再结合∠C=60°，依据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可得出AB的长度与AC、BC相等。
【解析】
解：
∵ AC = BC = 150 m，
∴ △ABC是等腰三角形，
又
∵ ∠C = 60°，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB = AC = 150 m。
【答案】
150
【知识点】
等腰三角形定义，等边三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题是等边三角形相关性质的基础应用题，解题核心是通过已知条件准确判定三角形的类型，只要熟练掌握等边三角形的判定和性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先根据已知AC=BC，可判断△ABC是等腰三角形，再结合∠C=60°，依据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可得出AB的长度与AC、BC相等。
【解析】
解：
∵ AC = BC = 150 m，
∴ △ABC是等腰三角形，
又
∵ ∠C = 60°，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB = AC = 150 m。
【答案】
150
【知识点】
等腰三角形定义，等边三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题是等边三角形相关性质的基础应用题，解题核心是通过已知条件准确判定三角形的类型，只要熟练掌握等边三角形的判定和性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
1. 如图，直线a，b分别经过等边三角形ABC的顶点A，C，且$a // b$，$∠ 1=42°$，则$∠ 2$的度数为(
A.$18°$
B.$42°$
C.$102°$
D.$118°$
C
).A.$18°$
B.$42°$
C.$102°$
D.$118°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先抓题干两个核心条件：等边△ABC和平行线a//b。第一步，根据等边三角形的性质，可得每个内角都是60°，得到∠BAC=60°；第二步，直线a上点A处的三个角构成平角，和为180°，可算出AC右侧、直线a下方的角的度数；第三步，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，
∵点A在直线a上，平角为180°，
∴直线a上AC右侧的角的度数为：
$180° - ∠1 - ∠ BAC = 180° - 42° - 60° = 78°$
又
∵$a // b$，两直线平行，同旁内角互补，
∴该$78°$的角与∠2的和为$180°$，
∴$∠2 = 180° - 78° = 102°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查等边三角形与平行线性质的结合应用，解题的关键是先利用等边三角形得到固定内角度数，再结合平角、平行线的角度关系计算未知角，难度不大，需要熟练掌握相关性质灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时先抓题干两个核心条件：等边△ABC和平行线a//b。第一步，根据等边三角形的性质，可得每个内角都是60°，得到∠BAC=60°；第二步，直线a上点A处的三个角构成平角，和为180°，可算出AC右侧、直线a下方的角的度数；第三步，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，
∵点A在直线a上，平角为180°，
∴直线a上AC右侧的角的度数为：
$180° - ∠1 - ∠ BAC = 180° - 42° - 60° = 78°$
又
∵$a // b$，两直线平行，同旁内角互补，
∴该$78°$的角与∠2的和为$180°$，
∴$∠2 = 180° - 78° = 102°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查等边三角形与平行线性质的结合应用，解题的关键是先利用等边三角形得到固定内角度数，再结合平角、平行线的角度关系计算未知角，难度不大，需要熟练掌握相关性质灵活运用。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件不能判断$△ ABC$是等边三角形的是(
A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC$，$AC=BC$
C.$AB=BC$，$∠ B=60°$
D.$AB=BC$，$∠ A=∠ C$
D
).A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC$，$AC=BC$
C.$AB=BC$，$∠ B=60°$
D.$AB=BC$，$∠ A=∠ C$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABC是等边三角形，首先要明确等边三角形的3种常用判定方法：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②三边都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来我们将每个选项对照上述判定方法逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠A=∠B=∠C=60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项B：已知AB=BC，AC=BC，可推得AB=BC=AC，三边相等，符合“三边都相等的三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项C：已知AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项D：已知AB=BC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠A=∠C，所以这个条件只能说明△ABC是等腰三角形，无法证明它是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的判定定理，注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，避免将等腰三角形的固有性质错当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件不能判定△ABC是等边三角形，首先要明确等边三角形的3种常用判定方法：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②三边都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来我们将每个选项对照上述判定方法逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得∠A=∠B=∠C=60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项B：已知AB=BC，AC=BC，可推得AB=BC=AC，三边相等，符合“三边都相等的三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项C：已知AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，能判断△ABC是等边三角形，不符合题意。
选项D：已知AB=BC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠A=∠C，所以这个条件只能说明△ABC是等腰三角形，无法证明它是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的判定定理，注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，避免将等腰三角形的固有性质错当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AC于点E，则∠ADE的度数为(
A.$60°$
B.$105°$
C.$75°$
D.$15°$
C
).A.$60°$
B.$105°$
C.$75°$
D.$15°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①首先等边三角形三个内角均为60°，且满足三线合一（中线、角平分线、高线重合），D是BC中点，因此AD是∠BAC的角平分线，可先求出∠DAE的度数；②由“以A为圆心，AD为半径作弧交AC于E”可知AD=AE，即△ADE是等腰三角形，两个底角∠ADE和∠AED相等；③最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵D为BC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵以A为圆心，AD长为半径作弧交AC于E，
∴AD=AE，即△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE=(180°-∠DAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一的性质求出顶角的度数，再结合等腰三角形的性质、内角和定理计算角度，是等边三角形相关的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①首先等边三角形三个内角均为60°，且满足三线合一（中线、角平分线、高线重合），D是BC中点，因此AD是∠BAC的角平分线，可先求出∠DAE的度数；②由“以A为圆心，AD为半径作弧交AC于E”可知AD=AE，即△ADE是等腰三角形，两个底角∠ADE和∠AED相等；③最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵D为BC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵以A为圆心，AD长为半径作弧交AC于E，
∴AD=AE，即△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADE=(180°-∠DAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一的性质求出顶角的度数，再结合等腰三角形的性质、内角和定理计算角度，是等边三角形相关的常见题型。
【难度系数】
0.7
2. 下列条件：①有一个角为$60°$的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为$60°$的等腰三角形. 其中能判定三角形为等边三角形的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先回忆等边三角形的三类判定规则：一是三边相等的三角形为等边三角形；二是三个内角均为60°的三角形为等边三角形；三是有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。接下来逐一验证4个条件是否符合上述判定规则，可通过举反例排除不成立的条件，最终统计能判定为等边三角形的条件个数即可。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
1. 条件①：仅有一个角为60°的三角形，无法保证其余两个角也为60°，例如内角为60°、30°、90°的直角三角形，不属于等边三角形，因此①不能判定；
2. 条件②：三角形外角和固定为360°，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°的三角形是等边三角形，因此②可以判定；
3. 条件③：根据等腰三角形三线合一的逆定理，一边上的高与中线重合仅能说明该三角形是等腰三角形（重合的高、中线对应的边为底边），无法保证三边或三角都相等，例如顶角为90°的等腰直角三角形，底边的高与中线重合，但不属于等边三角形，因此③不能判定；
4. 条件④：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形（课本判定定理）：若60°为顶角，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若60°为底角，则另一个底角也为60°，顶角为$180°-60°×2=60°$，三种情况均满足三个内角为60°，属于等边三角形，因此④可以判定。
综上，能判定为等边三角形的条件是②、④，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等边三角形判定
2. 三角形外角性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定，需要学生准确区分等边三角形和等腰三角形的判定差异，对每个条件要注意辨析特殊情况，避免混淆概念导致误判。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆等边三角形的三类判定规则：一是三边相等的三角形为等边三角形；二是三个内角均为60°的三角形为等边三角形；三是有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形。接下来逐一验证4个条件是否符合上述判定规则，可通过举反例排除不成立的条件，最终统计能判定为等边三角形的条件个数即可。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
1. 条件①：仅有一个角为60°的三角形，无法保证其余两个角也为60°，例如内角为60°、30°、90°的直角三角形，不属于等边三角形，因此①不能判定；
2. 条件②：三角形外角和固定为360°，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为60°的三角形是等边三角形，因此②可以判定；
3. 条件③：根据等腰三角形三线合一的逆定理，一边上的高与中线重合仅能说明该三角形是等腰三角形（重合的高、中线对应的边为底边），无法保证三边或三角都相等，例如顶角为90°的等腰直角三角形，底边的高与中线重合，但不属于等边三角形，因此③不能判定；
4. 条件④：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形（课本判定定理）：若60°为顶角，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若60°为底角，则另一个底角也为60°，顶角为$180°-60°×2=60°$，三种情况均满足三个内角为60°，属于等边三角形，因此④可以判定。
综上，能判定为等边三角形的条件是②、④，共2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等边三角形判定
2. 三角形外角性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定，需要学生准确区分等边三角形和等腰三角形的判定差异，对每个条件要注意辨析特殊情况，避免混淆概念导致误判。
【难度系数】
0.7
