3. 如图，P是等边三角形内一点，过点P画平行于每条边的直线，则图中的等边三角形共有个。

3. 7

【分析】
解题的核心是利用等边三角形的判定性质，首先明确：原三角形是等边三角形，过P作的直线都平行于三边，根据平行线的同位角相等的性质，这些直线和原三角形的边、以及互相之间形成的三角形的三个内角都是60°，因此都是等边三角形。为了避免计数时重复或遗漏，我们采用按边长从小到大分类计数的方法：先数边长最短的等边三角形，再数边长为2倍最短边长的中等等边三角形，最后数最大的等边三角形，加总即可得到总数。
【解析】
我们按等边三角形的边长大小分类计数：
1. 边长最短的小等边三角形：观察图形可得，这类三角形有3个，分别位于图形的最上方、右侧中部、底部中部位置；
2. 边长为2倍最短边长的中等等边三角形：这类三角形有3个，分别位于图形的左下部、右下部、上部（包含最上方的小等边三角形）；
3. 边长最大的等边三角形：即整个大等边三角形，共1个。
将三类数量相加：$3+3+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
等边三角形的判定、分类计数、平行线的性质
【点评】
本题考查等边三角形的判定与图形计数，解题时要注意结合平行线的性质判断三角形是否为等边三角形，计数时按一定顺序分类，可有效避免重复数和漏数。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，点$D$，$E$在线段$BC$上，$AD ⊥ AC$，$AE ⊥ AB$。求证：$△ ADE$是等边三角形。

4. 证明：$\because AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 30°$. $\because AD ⊥ AC$，$AE ⊥ AB$，$\therefore ∠ CAD = ∠ BAE = 90°$. $\therefore ∠ ADE = ∠ AED = 60°$. $\therefore ∠ DAE = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 60°$. $\therefore △ ADE$是等边三角形.

【分析】
要证明△ADE是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°的思路推导。首先根据已知的等腰△ABC的顶角角度，利用等腰三角形两底角相等的性质求出底角∠B、∠C的度数；再结合AD⊥AC、AE⊥AB的垂直条件，在直角三角形中利用两锐角互余求出∠ADE和∠AED的度数；最后通过三角形内角和求出∠DAE的度数，三个角均为60°即可判定△ADE为等边三角形。
【解析】
证明：
$\because AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 30°$。
$\because AD ⊥ AC$，$AE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ BAE = 90°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADE = 90° - ∠ C = 60°$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ AED = 90° - ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ DAE = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 60°$，
即$△ ADE$三个内角均为60°，故$△ ADE$是等边三角形。
【答案】
证明：$\because AB = AC$，$∠ BAC = 120°$，$\therefore ∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 30°$. $\because AD ⊥ AC$，$AE ⊥ AB$，$\therefore ∠ CAD = ∠ BAE = 90°$. $\therefore ∠ ADE = ∠ AED = 60°$. $\therefore ∠ DAE = 180° - ∠ ADE - ∠ AED = 60°$. $\therefore △ ADE$是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于特殊三角形性质与判定的常规综合题，解题关键是先求出等腰三角形的底角度数，再结合垂直条件推导待证三角形的内角度数，熟练掌握特殊三角形的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

5. 如图，已知$△ BCE$，$△ ACD$分别是以$BE$，$AD$为斜边的直角三角形，且$BE=AD$，$△ CDE$是等边三角形. 求证：$△ ABC$是等边三角形.

5. 证明：$\because △ CDE$ 是等边三角形，$\therefore EC = DC$，$∠ ECD = 60°$. $\because △ BCE$，$△ ACD$ 分别是以 $BE$，$AD$ 为斜边的直角三角形，$\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BE = AD, \\ EC = DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD (\mathrm{HL})$. $\therefore BC = AC$.
$\because ∠ ECD + ∠ ACE = 90°$，$∠ ACB + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD = 60°$. $\therefore △ ABC$ 是等边三角形.

【分析】
要证明△ABC是等边三角形，可通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理推导：首先结合已知条件，先证明Rt△BCE和Rt△ACD全等，得到BC=AC，确定△ABC是等腰三角形；再通过角度的等量代换求出△ABC的内角∠ACB为60°，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because △ CDE$ 是等边三角形，$\therefore EC = DC$，$∠ ECD = 60°$.
$\because △ BCE$，$△ ACD$ 分别是以 $BE$，$AD$ 为斜边的直角三角形，$\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BE = AD, \\ EC = DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD (\mathrm{HL})$. $\therefore BC = AC$.
$\because ∠ ECD + ∠ ACE = 90°$，$∠ ACB + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD = 60°$. $\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
【答案】
$\because △ CDE$ 是等边三角形，$\therefore EC = DC$，$∠ ECD = 60°$.
$\because △ BCE$，$△ ACD$ 分别是以 $BE$，$AD$ 为斜边的直角三角形，$\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BE = AD, \\ EC = DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD (\mathrm{HL})$. $\therefore BC = AC$.
$\because ∠ ECD + ∠ ACE = 90°$，$∠ ACB + ∠ ACE = 90°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ ECD = 60°$. $\therefore △ ABC$ 是等边三角形.
【知识点】
直角三角形全等判定；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的典型综合题，解题核心是梳理已知条件的关联：先通过HL判定直角三角形全等得到相等的边，再通过角度的等量代换得到60°的内角，整体逻辑连贯，侧重考查对三角形全等和等边三角形相关定理的灵活应用。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且$CE=CD$，$DM⊥BC$，垂足为M.
(1)求$∠E$的度数；
(2)求证：M是BE的中点.

6. (1)解：$\because △ ABC$ 是等边三角形，$\therefore ∠ ACB = 60°$. 又 $CE = CD$，$\therefore ∠ E = ∠ CDE = \frac{1}{2}∠ ACB = 30°$.
(2)证明：连接 $BD$，在等边三角形 $ABC$ 中，$∠ ABC = 60°$.
$\because D$ 是 $AC$ 的中点，$\therefore ∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = 30°$.
$\because ∠ E = 30°$，$\therefore ∠ DBC = ∠ E$. $\therefore DB = DE$. 又 $DM ⊥ BC$，$\therefore M$ 是 $BE$ 的中点.

【分析】
(1) 求∠E的度数时，首先利用等边三角形内角为60°的性质得到∠ACB的度数，再结合CE=CD可知△CDE为等腰三角形，根据三角形外角的性质，∠ACB是△CDE的外角，等于∠E和∠CDE的和，结合等边对等角可得∠E是∠ACB的一半，即可求出结果。
(2) 要证明M是BE的中点，已知DM⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明△DBE是等腰三角形（即DB=DE）即可。连接BD，利用等边三角形三线合一的性质，D是AC中点则BD平分∠ABC，可求出∠DBC=30°，和(1)中得到的∠E度数相等，即可推出DB=DE，结合DM⊥BE即可证得结论。
【解析】
(1) 解：$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ACB = 60°$，
$\because CE=CD$，
$\therefore ∠E=∠CDE$，
又$\because ∠ACB=∠E+∠CDE$，
$\therefore ∠E=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 证明：连接$BD$，
$\because △ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ABC=60°$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore BD$平分$∠ABC$，即$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=30°$，
由(1)得$∠E=30°$，
$\therefore ∠DBC=∠E$，
$\therefore DB=DE$，
又$\because DM⊥BC$，
$\therefore M$是$BE$的中点（等腰三角形三线合一）。
【答案】
(1) $∠E=30°$；
(2) M是BE的中点，证明如上。
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的综合基础题，核心是利用等边三角形和等腰三角形的角的性质完成等量转换，第二问借助等腰三角形三线合一的性质证明中点是常见的考法，解题时注意辅助线的合理构造。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在直线AC的同一侧分别作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE，CD，AE交BD于点G，交CD于点H，CD交BE于点F，连接BH，GF。有以下结论：
①△ABE ≅ △DBC；② AG = DH；
③ HB平分∠AHC；④△GBF是等边三角形。其中正确的有().

A.①③④
B.①②③
C.②③④
D.①②④

7. A

【分析】
解题时先结合等边三角形的性质推导边角相等关系，再依次验证每个结论：
1. 验证结论①：利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，找△ABE和△DBC全等的条件，用SAS判定即可；
2. 验证结论④：由①的全等得对应角相等，结合60°角可证△ABG和△DBF全等，得BG=BF，结合夹角60°即可判定△GBF是等边三角形；
3. 验证结论③：利用全等三角形面积相等，结合等底等高的性质，得B到AE、CD的距离相等，根据角平分线的判定即可证明HB平分∠AHC；
4. 验证结论②：由全等只能得AG=DF，DF和DH不相等，故②错误。
【解析】
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°。
①证明△ABE≌△DBC：
∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\{\begin{array}{l}AB=DB\\ ∠ ABE=∠ DBC\\ BE=BC\end{array} $
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确。
④证明△GBF是等边三角形：
由△ABE≌△DBC得∠BAG=∠BDF，
∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠DBE=180°-60°-60°=60°，即∠ABG=∠DBF=60°，
在△ABG和△DBF中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAG=∠ BDF\\ AB=DB\\ ∠ ABG=∠ DBF\end{array} $
∴△ABG≌△DBF（ASA），
∴BG=BF，
又∠GBF=60°，
∴△GBF是等边三角形，故④正确。
③证明HB平分∠AHC：
过点B作BM⊥AE于点M，BN⊥CD于点N，
∵△ABE≌△DBC，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ DBC}$，$AE=CD$，
∴$\frac{1}{2}· AE· BM=\frac{1}{2}· CD· BN$，得$BM=BN$，
又
∵BM⊥AE，BN⊥CD，
∴点B在∠AHC的角平分线上，即HB平分∠AHC，故③正确。
②判断AG=DH是否成立：
由△ABG≌△DBF得$AG=DF$，由图可知$DF≠ DH$，
∴$AG≠ DH$，故②错误。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于双等边三角形的经典模型题，需要结合全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质逐步推导，易错点是容易误判结论②正确，解题时要注意对应边的关系，同时要掌握通过面积相等推导高相等，进而证明角平分线的方法。
【难度系数】
0.65