知识点 含 $30°$ 角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的 。

一半

【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查含30°角的直角三角形的核心性质，解题时只需回忆对应的性质内容即可作答。首先明确题目给出的前提是直角三角形，且存在一个30°的锐角，需要填写的是这个30°角所对直角边与斜边的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此本题应填“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，熟练掌握该性质是后续解决含特殊角的直角三角形相关计算、证明类题目的基础。
【难度系数】
0.9

例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$. 若$∠ B = 60°$，$BC = 4$，则$AB$的长为.

8

【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，已知直角和一个锐角的度数，先根据三角形内角和求出第三个角的度数，得到30°的内角，再回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，找到30°角对应的直角边和所求斜边的对应关系，代入已知边长即可求解。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-60°=30°$。
根据含$30°$角的直角三角形的性质，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
$∠ A$对应的直角边为$BC$，斜边为$AB$，因此$BC=\frac{1}{2}AB$，
已知$BC=4$，则$AB=2BC=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是先推导得到30°内角，再利用特殊直角三角形的边角关系计算边长，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ A = 90°$，若$∠ C = 2∠ B$，$AC = 5$，则$BC$的长为。

10

【分析】
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，可知∠B与∠C的和为90°，结合题目给出的∠C=2∠B的数量关系，可计算出∠B的度数为30°；再根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到30°角∠B对应的直角边为AC，斜边为BC，代入已知AC的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠A=90°$
∴ $∠B + ∠C = 90°$
又
∵ $∠C = 2∠B$
∴ $∠B + 2∠B = 90°$，即$3∠B=90°$
解得$∠B=30°$
∵ 在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠B$所对的直角边为$AC=5$，斜边为$BC$
∴ $AC=\frac{1}{2}BC$
∴ $BC=2AC=2×5=10$
【答案】
10
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先通过角度的和差倍分关系求出30°角，再结合特殊直角三角形的边角性质求解边长，熟记相关性质即可快速完成解答。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，已知 $∠ ACB = 90°$，$∠ B = 15°$，AB 边的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，且 BD = 12 cm，求 AC 的长。

2. 解：
∵DE 垂直平分 AB，
∴AD=BD = 12 cm.
∴∠DAB = ∠B = 15°.
∴∠ADC = ∠DAB+∠B = 30°.
∵∠ACB = 90°,
∴AC = $\frac{1}{2}$ AD = 6 cm.

【分析】
解题时首先观察到题目给出了AB的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，进而得到∠DAB=∠B，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和，求出∠ADC的度数，发现△ADC是含30°角的直角三角形，最后根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可求出AC的长度。
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD = 12 cm，
∴∠DAB = ∠B = 15°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠DAB+∠B = 15°+15°=30°，
又
∵∠ACB = 90°，即△ADC为直角三角形，且∠ADC=30°，
∴AC = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是通过垂直平分线实现边和角的等量转换，构造出含30°角的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质求解，是对几何基础性质应用的常规考察。
【难度系数】
0.7

例2 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 30°$，CD是高. 若$BC = 8$，则AD的长为.

12

【分析】
解题时首先回忆含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。第一步先在大直角三角形Rt△ABC中，利用30°角的性质求出斜边AB的长度，同时求出∠B的度数；第二步结合CD是高得到小直角三角形Rt△BCD，利用直角三角形两锐角互余推出∠BCD=30°，再用30°角的性质求出BD的长度；最后用AB的长度减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=2×8=16，
∵ CD是△ABC的高，
∴ ∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴ AD=AB-BD=16-4=12。
【答案】
12
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 直角三角形两锐角互余
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题的关键是准确识别不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，结合线段和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，$AD⊥ AB$交$BC$于点$D$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为()。


A.8 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.15 cm

1.D

【分析】
解题时首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC和∠C=30°得到∠B=30°，再计算出∠BAC的度数；接着结合AD⊥AB的条件，一方面在Rt△ABD中利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，另一方面求出∠DAC的度数，通过等角对等边得到DC=AD，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°
∵AD⊥AB
∴∠BAD=90°
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°
∴∠DAC=∠C
∴DC=AD=5cm
在Rt△ABD中，∠B=30°，30°角所对的直角边为AD
∴BD=2AD=2×5=10cm
∴BC=BD+DC=10+5=15cm
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过角度推导得到边的等量关系，同时熟练运用特殊直角三角形的边长性质，能够很好地考察学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，某停车场入口的栏杆$AO$从水平位置抬高到$A'O$处. 已知$AO = 5$ m，$∠ A'OA=30°$，则栏杆端点A升高了 m.

2.5

【分析】
要求栏杆端点A升高的高度，实际是求点A'到水平直线AO的垂线段长度。我们可以过A'作AO的垂线，构造出含30°角的直角三角形，已知直角三角形的斜边长度等于AO的长，结合含30°角的直角三角形的性质即可求出对应垂线段的长度，也就是升高的高度。
【解析】
过点$A'$作$A'B ⊥ AO$于点$B$，线段$A'B$的长度即为端点A升高的高度。
由题意得：$A'O = AO = 5\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ A'OB$中，$∠ A'OB = 30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$A'B = \frac{1}{2}A'O = \frac{1}{2} × 5 = 2.5\mathrm{m}$
【答案】
$\boxed{2.5}$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，垂线段的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，解题的关键是将实际升高的高度转化为直角三角形中30°角对应的直角边，通过构造直角三角形求解，难度较低，侧重对基础性质的灵活应用。
【难度系数】
0.8