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3. 一个高铁站入口双翼闸机的示意图如图所示，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm，双翼的边缘AC=BD=62 cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP=∠BDQ=30°. 当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为
70 cm
.答案
70 cm
解析
【分析】
要计算双翼收起时可通过闸机的物体最大宽度，即求两个闸机侧立面之间的总距离。该距离由三部分组成：点A到左侧闸机侧立面的垂直距离、A与B之间的距离、点B到右侧闸机侧立面的垂直距离。我们可通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出两个垂直距离，再求和即可得到最终结果。
【解析】
分别过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=62 cm，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×62=31\ \mathrm{cm}$
同理，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=62 cm，可得：
$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×62=31\ \mathrm{cm}$
已知A、B之间的距离为8 cm，因此可通过闸机的物体最大宽度为：
$AE+AB+BF=31+8+31=70\ \mathrm{cm}$
【答案】
70 cm
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合生活中的闸机场景考查几何性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的线段计算问题，通过作垂线构造符合条件的直角三角形，再结合已知性质求解，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算双翼收起时可通过闸机的物体最大宽度，即求两个闸机侧立面之间的总距离。该距离由三部分组成：点A到左侧闸机侧立面的垂直距离、A与B之间的距离、点B到右侧闸机侧立面的垂直距离。我们可通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出两个垂直距离，再求和即可得到最终结果。
【解析】
分别过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=62 cm，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×62=31\ \mathrm{cm}$
同理，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=62 cm，可得：
$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×62=31\ \mathrm{cm}$
已知A、B之间的距离为8 cm，因此可通过闸机的物体最大宽度为：
$AE+AB+BF=31+8+31=70\ \mathrm{cm}$
【答案】
70 cm
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题结合生活中的闸机场景考查几何性质的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的线段计算问题，通过作垂线构造符合条件的直角三角形，再结合已知性质求解，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ ABC=60°$，$BD$ 平分 $∠ ABC$.若 $BD=6$，求 $AC$ 的长.
答案
4. 解：
∵ 在 △ABC 中，∠C = 90°, ∠ABC = 60°,
∴∠A = 30°.
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC = 30°.
∴∠A = ∠ABD.
∴AD = BD = 6. 在 Rt△BCD 中，CD = $\frac{1}{2}$ BD = 3.
∴AC = AD+CD = 9.
∵ 在 △ABC 中，∠C = 90°, ∠ABC = 60°,
∴∠A = 30°.
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC = 30°.
∴∠A = ∠ABD.
∴AD = BD = 6. 在 Rt△BCD 中，CD = $\frac{1}{2}$ BD = 3.
∴AC = AD+CD = 9.
解析
【分析】
首先根据三角形内角和为180°，结合△ABC已知的两个内角度数求出∠A的度数；再利用角平分线的定义得出BD平分∠ABC后得到的两个角的度数，发现∠A和∠ABD相等，根据等角对等边即可求出AD的长度；接着在Rt△BCD中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CD的长度；最后AC是AD与CD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 60°，
∴ ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∴ ∠A = ∠ABD，
∴ AD = BD = 6。
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
∴ AC = AD + CD = 6 + 3 = 9。
【答案】
AC的长为9
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于特殊直角三角形的基础应用题型，解题的核心是通过角度推导得到等角和30°特殊角，结合对应性质分别求出线段AD、CD的长度后求和，需要熟练掌握特殊直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
首先根据三角形内角和为180°，结合△ABC已知的两个内角度数求出∠A的度数；再利用角平分线的定义得出BD平分∠ABC后得到的两个角的度数，发现∠A和∠ABD相等，根据等角对等边即可求出AD的长度；接着在Rt△BCD中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CD的长度；最后AC是AD与CD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，∠ABC = 60°，
∴ ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，
∴ ∠A = ∠ABD，
∴ AD = BD = 6。
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，
∴ CD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×6 = 3，
∴ AC = AD + CD = 6 + 3 = 9。
【答案】
AC的长为9
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于特殊直角三角形的基础应用题型，解题的核心是通过角度推导得到等角和30°特殊角，结合对应性质分别求出线段AD、CD的长度后求和，需要熟练掌握特殊直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F。已知AB=8，则BF=(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
5.C
解析
【分析】
首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°，已知AB=8，可得AC=BC=8。D是AB中点，可先求出AD的长度，再结合DE⊥AC的条件，在Rt△ADE中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AE的长度，进而得到EC的长度。同理，在Rt△EFC中再次利用30°角的直角三角形性质求出FC的长度，最后用BC的长度减去FC的长度即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°
∵D是AB的中点
∴$AD=\frac{1}{2}AB = 4$
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°
∴$AE=\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} ×4 = 2$
∴EC=AC - AE = 8 - 2 = 6
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠C=30°
∴$FC=\frac{1}{2}EC = \frac{1}{2} ×6 = 3$
∴BF=BC - FC = 8 - 3 = 5
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握等边三角形和含30°角直角三角形的性质，通过分步计算各相关线段的长度得到最终结果，是对三角形性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°，已知AB=8，可得AC=BC=8。D是AB中点，可先求出AD的长度，再结合DE⊥AC的条件，在Rt△ADE中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AE的长度，进而得到EC的长度。同理，在Rt△EFC中再次利用30°角的直角三角形性质求出FC的长度，最后用BC的长度减去FC的长度即可得到BF的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8
∴AB=AC=BC=8，∠A=∠C=60°
∵D是AB的中点
∴$AD=\frac{1}{2}AB = 4$
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°
∴$AE=\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} ×4 = 2$
∴EC=AC - AE = 8 - 2 = 6
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠C=30°
∴$FC=\frac{1}{2}EC = \frac{1}{2} ×6 = 3$
∴BF=BC - FC = 8 - 3 = 5
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握等边三角形和含30°角直角三角形的性质，通过分步计算各相关线段的长度得到最终结果，是对三角形性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，$PQ$垂直平分$AB$，交$AC$于点$P$，交$AB$于点$Q$. 求证：$PC=2AP$.
答案
6. 证明：连接BP.
∵AB=BC，∠ABC=120°,
∴∠A=$∠C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ABC)=30°$. 又 PQ 垂直平分AB，
∴AP=BP.
∴∠PBQ=∠A=30°.
∴∠PBC=∠ABC−∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
∵AB=BC，∠ABC=120°,
∴∠A=$∠C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ABC)=30°$. 又 PQ 垂直平分AB，
∴AP=BP.
∴∠PBQ=∠A=30°.
∴∠PBC=∠ABC−∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
解析
【分析】
要证明$PC=2AP$，可联想到含30°角的直角三角形的边的性质，因此需要构造相关直角三角形，同时建立$AP$和$PC$的关联。首先$PQ$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接$BP$可得到$AP=BP$，即可将$AP$转化为$BP$；再结合等腰$△ ABC$的已知条件计算内角，证明$△ PBC$是含30°角的直角三角形，就能得到$PC=2BP$，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：连接$BP$.
$\because AB=BC$，$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ A=∠ C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ ABC)=30°$.
又$\because PQ$垂直平分$AB$，
$\therefore AP=BP$.
$\therefore ∠ PBQ=∠ A=30°$.
$\therefore ∠ PBC=∠ ABC−∠ PBQ=120°-30°=90°$，即$△ PBC$是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ C=30°$，
$\therefore PC=2BP$.
又$\because BP=AP$，
$\therefore PC=2AP$.
【答案】
证明：连接BP.
∵AB=BC，∠ABC=120°,
∴∠A=$∠C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ABC)=30°$. 又 PQ 垂直平分AB，
∴AP=BP.
∴∠PBQ=∠A=30°.
∴∠PBC=∠ABC−∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.线段垂直平分线的性质
3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理作出辅助线$BP$，通过性质定理将分散的线段关系建立关联，既考察了多个基础几何性质的应用，也锻炼了构造辅助线的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
要证明$PC=2AP$，可联想到含30°角的直角三角形的边的性质，因此需要构造相关直角三角形，同时建立$AP$和$PC$的关联。首先$PQ$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接$BP$可得到$AP=BP$，即可将$AP$转化为$BP$；再结合等腰$△ ABC$的已知条件计算内角，证明$△ PBC$是含30°角的直角三角形，就能得到$PC=2BP$，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：连接$BP$.
$\because AB=BC$，$∠ ABC=120°$,
$\therefore ∠ A=∠ C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ ABC)=30°$.
又$\because PQ$垂直平分$AB$，
$\therefore AP=BP$.
$\therefore ∠ PBQ=∠ A=30°$.
$\therefore ∠ PBC=∠ ABC−∠ PBQ=120°-30°=90°$，即$△ PBC$是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ C=30°$，
$\therefore PC=2BP$.
又$\because BP=AP$，
$\therefore PC=2AP$.
【答案】
证明：连接BP.
∵AB=BC，∠ABC=120°,
∴∠A=$∠C=\frac{1}{2} ×(180°−∠ABC)=30°$. 又 PQ 垂直平分AB，
∴AP=BP.
∴∠PBQ=∠A=30°.
∴∠PBC=∠ABC−∠PBQ=90°.
∴PC=2BP=2AP.
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.线段垂直平分线的性质
3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是合理作出辅助线$BP$，通过性质定理将分散的线段关系建立关联，既考察了多个基础几何性质的应用，也锻炼了构造辅助线的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
7. 在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且$DE=EC$.
(1)如图①，当E为AB的中点时，求证：$BC=2BD$；
(2)如图②，若$AB=12$，$AE=2$，求CD的长.
(1)如图①，当E为AB的中点时，求证：$BC=2BD$；
(2)如图②，若$AB=12$，$AE=2$，求CD的长.
答案
7. (1)证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°. 由题意知 BE = AE，
∴CE⊥AB，CE 是 ∠ACB 的平分线.
∴∠BEC = 90°, $∠BCE = \frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∴ BC = 2BE.
∵ DE = EC，
∴∠EDC = ∠BCE = 30°.
∴ ∠DEB = ∠ABC − ∠EDC=30°.
∴BD=BE.
∴BC=2BD.
(2)解：过点 E 作 EF//BC，交 AC 于点 F.
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠AFE = ∠ACB = ∠ABC = ∠AEF=∠A=60°, BC=AB=12.
∴△AEF 为等边三角形，∠EFC = ∠DBE = 120°.
∴ EF = AE = 2.
∵ DE = EC，
∴∠EDB = ∠ECB.
∵ EF // BC，
∴∠ECB=∠CEF.
∴∠EDB=∠CEF. 在△BDE 和 △FEC 中，
$\begin{cases}∠DBE=∠EFC,\\∠EDB=∠CEF,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△BDE≌△FEC(AAS).
∴BD=EF=2.
∴CD=BC+BD=12+2=14.
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°. 由题意知 BE = AE，
∴CE⊥AB，CE 是 ∠ACB 的平分线.
∴∠BEC = 90°, $∠BCE = \frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∴ BC = 2BE.
∵ DE = EC，
∴∠EDC = ∠BCE = 30°.
∴ ∠DEB = ∠ABC − ∠EDC=30°.
∴BD=BE.
∴BC=2BD.
(2)解：过点 E 作 EF//BC，交 AC 于点 F.
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠AFE = ∠ACB = ∠ABC = ∠AEF=∠A=60°, BC=AB=12.
∴△AEF 为等边三角形，∠EFC = ∠DBE = 120°.
∴ EF = AE = 2.
∵ DE = EC，
∴∠EDB = ∠ECB.
∵ EF // BC，
∴∠ECB=∠CEF.
∴∠EDB=∠CEF. 在△BDE 和 △FEC 中，
$\begin{cases}∠DBE=∠EFC,\\∠EDB=∠CEF,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△BDE≌△FEC(AAS).
∴BD=EF=2.
∴CD=BC+BD=12+2=14.
解析
【分析】
(1) 第一问先借助等边三角形三线合一的性质，当E为AB中点时，得到CE是AB边上的高同时是∠ACB的角平分线，求出∠BCE的度数，再结合DE=EC的等腰条件推导角的等量关系，得到BD=BE，最后结合等边三角形边长和BE的关系完成证明。
(2) 第二问需要构造辅助线，过E作EF平行于BC，先得到△AEF是等边三角形，再证明△BDE和△FEC全等，将BD转化为EF即AE的长度，最后通过CD=BC+BD计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°。
∵E为AB的中点，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的平分线（等边三角形三线合一），
∴∠BEC = 90°，$∠BCE = \frac{1}{2}∠ACB=30°$，
在Rt△BEC中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴BC = 2BE。
∵ DE = EC，
∴∠EDC = ∠BCE = 30°，
∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠ABC=∠EDC+∠DEB，
∴ ∠DEB = ∠ABC − ∠EDC=60°-30°=30°，
∴∠DEB=∠EDC，
∴BD=BE，
∴BC=2BD。
(2) 解：过点 E 作 EF//BC，交 AC 于点 F。
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠AFE = ∠ACB = ∠ABC = ∠AEF=∠A=60°, BC=AB=12，
∴△AEF 为等边三角形，∠EFC = 180°-∠AFE=120°，∠DBE = 180°-∠ABC=120°，
∴∠EFC = ∠DBE，EF = AE = 2。
∵ DE = EC，
∴∠EDB = ∠ECB。
∵ EF // BC，
∴∠ECB=∠CEF，
∴∠EDB=∠CEF。
在△BDE 和 △FEC 中，
$\begin{cases}∠DBE=∠EFC,\\∠EDB=∠CEF,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF=2，
∴CD=BC+BD=12+2=14。
【答案】
(1) 证明成立，BC=2BD；
(2) CD的长为14。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，第一问直接运用特殊三角形的性质即可推导，难度较低；第二问需要合理构造辅助线，通过全等三角形转化线段长度，能很好地考查学生对特殊三角形性质和全等证明的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问先借助等边三角形三线合一的性质，当E为AB中点时，得到CE是AB边上的高同时是∠ACB的角平分线，求出∠BCE的度数，再结合DE=EC的等腰条件推导角的等量关系，得到BD=BE，最后结合等边三角形边长和BE的关系完成证明。
(2) 第二问需要构造辅助线，过E作EF平行于BC，先得到△AEF是等边三角形，再证明△BDE和△FEC全等，将BD转化为EF即AE的长度，最后通过CD=BC+BD计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°。
∵E为AB的中点，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的平分线（等边三角形三线合一），
∴∠BEC = 90°，$∠BCE = \frac{1}{2}∠ACB=30°$，
在Rt△BEC中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴BC = 2BE。
∵ DE = EC，
∴∠EDC = ∠BCE = 30°，
∵∠ABC是△BDE的外角，
∴∠ABC=∠EDC+∠DEB，
∴ ∠DEB = ∠ABC − ∠EDC=60°-30°=30°，
∴∠DEB=∠EDC，
∴BD=BE，
∴BC=2BD。
(2) 解：过点 E 作 EF//BC，交 AC 于点 F。
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠AFE = ∠ACB = ∠ABC = ∠AEF=∠A=60°, BC=AB=12，
∴△AEF 为等边三角形，∠EFC = 180°-∠AFE=120°，∠DBE = 180°-∠ABC=120°，
∴∠EFC = ∠DBE，EF = AE = 2。
∵ DE = EC，
∴∠EDB = ∠ECB。
∵ EF // BC，
∴∠ECB=∠CEF，
∴∠EDB=∠CEF。
在△BDE 和 △FEC 中，
$\begin{cases}∠DBE=∠EFC,\\∠EDB=∠CEF,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△BDE≌△FEC(AAS)，
∴BD=EF=2，
∴CD=BC+BD=12+2=14。
【答案】
(1) 证明成立，BC=2BD；
(2) CD的长为14。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，第一问直接运用特殊三角形的性质即可推导，难度较低；第二问需要合理构造辅助线，通过全等三角形转化线段长度，能很好地考查学生对特殊三角形性质和全等证明的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
