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知识点 等腰三角形的判定
判定方法：有两个角
判定方法：有两个角
相等
的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边
”）。答案
相等 等角对等边
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形判定的基础概念，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形判定的定理内容即可。我们已知等腰三角形的核心特征是两边相等，对应的判定方法中，从角的角度出发，若三角形有两个角大小相等，那么这两个角所对的边也相等，即可判定该三角形为等腰三角形，还有对应的简化表述。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定方法简写成“等角对等边”，因此依次填入对应内容即可。
【答案】
相等；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查教材核心定理的表述，熟练掌握课本基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查等腰三角形判定的基础概念，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形判定的定理内容即可。我们已知等腰三角形的核心特征是两边相等，对应的判定方法中，从角的角度出发，若三角形有两个角大小相等，那么这两个角所对的边也相等，即可判定该三角形为等腰三角形，还有对应的简化表述。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定方法简写成“等角对等边”，因此依次填入对应内容即可。
【答案】
相等；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查教材核心定理的表述，熟练掌握课本基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
例1（肇庆期末）在$△ ABC$中，已知$∠ B=∠ C$，则（
A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
B
）。A.$AB=BC$
B.$AB=AC$
C.$BC=AC$
D.$∠ A=60°$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆等腰三角形的判定规则：同一个三角形中，相等的角所对的边也相等（等角对等边）。解题第一步要先明确三角形中角和对边的对应关系：角的对边是不包含该角顶点的边，再结合已知∠B=∠C的条件，推导出相等的边，最后逐一比对选项就能得到正确答案。
【解析】
在△ABC中，角与对边的对应关系为：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB。
根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，已知∠B=∠C，因此这两个角所对的边相等，即AB=AC。
对选项逐一判断：
A选项：AB=BC对应∠C=∠A，不符合已知条件，错误；
B选项：AB=AC，符合推导结论，正确；
C选项：BC=AC对应∠B=∠A，不符合已知条件，错误；
D选项：只有等边三角形的内角为60°，题干仅说明∠B=∠C，无法证明△ABC是等边三角形，错误。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边；三角形边角对应关系
【点评】
这道题是基础考查题，核心是等腰三角形判定定理的应用，解题关键是准确匹配相等的角和它对应的对边，避免因边角对应关系混淆丢分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆等腰三角形的判定规则：同一个三角形中，相等的角所对的边也相等（等角对等边）。解题第一步要先明确三角形中角和对边的对应关系：角的对边是不包含该角顶点的边，再结合已知∠B=∠C的条件，推导出相等的边，最后逐一比对选项就能得到正确答案。
【解析】
在△ABC中，角与对边的对应关系为：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB。
根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，已知∠B=∠C，因此这两个角所对的边相等，即AB=AC。
对选项逐一判断：
A选项：AB=BC对应∠C=∠A，不符合已知条件，错误；
B选项：AB=AC，符合推导结论，正确；
C选项：BC=AC对应∠B=∠A，不符合已知条件，错误；
D选项：只有等边三角形的内角为60°，题干仅说明∠B=∠C，无法证明△ABC是等边三角形，错误。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边；三角形边角对应关系
【点评】
这道题是基础考查题，核心是等腰三角形判定定理的应用，解题关键是准确匹配相等的角和它对应的对边，避免因边角对应关系混淆丢分。
【难度系数】
0.9
例2 如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有
3
个，分别是$△ ABD,△ BCD,△ ABC$
.答案
3 $△ ABD,△ BCD,△ ABC$
解析
【分析】
要找出图中的等腰三角形，需依据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，结合三角形内角和为180°的性质，依次计算每个三角形的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，即可确定等腰三角形的个数和具体对象。
【解析】
1. 判定△ABC：
已知∠A=36°，∠C=72°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°，因此∠ABC=∠C，所以△ABC是等腰三角形。
2. 判定△BCD：
已知∠DBC=36°，∠C=72°，同理可得∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，因此∠BDC=∠C，所以△BCD是等腰三角形。
3. 判定△ABD：
由∠ABC=72°，∠DBC=36°，可得∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°，因此∠ABD=∠A=36°，所以△ABD是等腰三角形。
综上，可得出图中等腰三角形的总数和具体对象。
【答案】
3；$△ ABD,△ BCD,△ ABC$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是准确计算各角的度数，按照固定顺序逐个排查三角形，避免出现漏判的情况。
【难度系数】
0.8
要找出图中的等腰三角形，需依据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，结合三角形内角和为180°的性质，依次计算每个三角形的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，即可确定等腰三角形的个数和具体对象。
【解析】
1. 判定△ABC：
已知∠A=36°，∠C=72°，根据三角形内角和为180°，可得∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°，因此∠ABC=∠C，所以△ABC是等腰三角形。
2. 判定△BCD：
已知∠DBC=36°，∠C=72°，同理可得∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°，因此∠BDC=∠C，所以△BCD是等腰三角形。
3. 判定△ABD：
由∠ABC=72°，∠DBC=36°，可得∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°，因此∠ABD=∠A=36°，所以△ABD是等腰三角形。
综上，可得出图中等腰三角形的总数和具体对象。
【答案】
3；$△ ABD,△ BCD,△ ABC$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是准确计算各角的度数，按照固定顺序逐个排查三角形，避免出现漏判的情况。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$AB=AD$，$∠ ABC=∠ ADC$。求证：$BC=DC$。
答案
证明：$\because AB=AD$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$，即$∠ DBC=∠ BDC$。$\therefore BC=DC$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$，即$∠ DBC=∠ BDC$。$\therefore BC=DC$。
解析
【分析】
要证明BC=DC，可通过证明这两条边所对的角相等，即∠DBC=∠BDC，利用“等角对等边”推导结论。首先由已知AB=AD，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠ABD=∠ADB；再结合已知∠ABC=∠ADC，利用等式的性质，将两个相等的角分别减去相等的∠ABD和∠ADB，即可得到∠DBC=∠BDC，最后根据等腰三角形的判定定理即可推出BC=DC。
【解析】
证明：
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$（等边对等角）。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$（等式的性质），即$∠ DBC=∠ BDC$。
$\therefore BC=DC$（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because AB=AD$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$，即$∠ DBC=∠ BDC$。$\therefore BC=DC$。
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质与判定的基础应用题，解题关键是灵活运用等边对等角得到等角，再通过角的和差关系推导待证边对应的角相等，进而利用等角对等边得到结论，是几何证明的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明BC=DC，可通过证明这两条边所对的角相等，即∠DBC=∠BDC，利用“等角对等边”推导结论。首先由已知AB=AD，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠ABD=∠ADB；再结合已知∠ABC=∠ADC，利用等式的性质，将两个相等的角分别减去相等的∠ABD和∠ADB，即可得到∠DBC=∠BDC，最后根据等腰三角形的判定定理即可推出BC=DC。
【解析】
证明：
$\because AB=AD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$（等边对等角）。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$（等式的性质），即$∠ DBC=∠ BDC$。
$\therefore BC=DC$（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because AB=AD$，$\therefore ∠ ABD=∠ ADB$。
$\because ∠ ABC=∠ ADC$，$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ ADC - ∠ ADB$，即$∠ DBC=∠ BDC$。$\therefore BC=DC$。
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题属于等腰三角形性质与判定的基础应用题，解题关键是灵活运用等边对等角得到等角，再通过角的和差关系推导待证边对应的角相等，进而利用等角对等边得到结论，是几何证明的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，OC平分∠AOB，CD//OB. 求证：OD=CD. 
答案
证明：$\because OC$平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$。
$\because CD// OB$，$\therefore ∠ DCO=∠ COB$。$\therefore ∠ AOC=∠ DCO$。
$\therefore OD=CD$。
$\because CD// OB$，$\therefore ∠ DCO=∠ COB$。$\therefore ∠ AOC=∠ DCO$。
$\therefore OD=CD$。
解析
【分析】
要证明OD=CD，观察可知这两条边均在△ODC中，可通过“等角对等边”证明，即只需证∠DOC=∠DCO即可。首先根据角平分线的性质，由OC平分∠AOB可得∠AOC=∠BOC；再结合CD//OB的条件，利用平行线的内错角相等可得∠DCO=∠BOC；最后通过等量代换得到∠AOC=∠DCO，即可推出边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC=∠BOC（角平分线的定义）。
∵ CD//OB，
∴ ∠DCO=∠BOC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠AOC=∠DCO，即∠DOC=∠DCO。
∴ OD=CD（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because OC$平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$。
$\because CD// OB$，$\therefore ∠ DCO=∠ COB$。$\therefore ∠ AOC=∠ DCO$。
$\therefore OD=CD$。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合考查，解题的关键是通过等量代换得到待证边所在三角形的两个内角相等，是几何证明中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明OD=CD，观察可知这两条边均在△ODC中，可通过“等角对等边”证明，即只需证∠DOC=∠DCO即可。首先根据角平分线的性质，由OC平分∠AOB可得∠AOC=∠BOC；再结合CD//OB的条件，利用平行线的内错角相等可得∠DCO=∠BOC；最后通过等量代换得到∠AOC=∠DCO，即可推出边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC=∠BOC（角平分线的定义）。
∵ CD//OB，
∴ ∠DCO=∠BOC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠AOC=∠DCO，即∠DOC=∠DCO。
∴ OD=CD（等角对等边）。
【答案】
证明：$\because OC$平分$∠ AOB$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$。
$\because CD// OB$，$\therefore ∠ DCO=∠ COB$。$\therefore ∠ AOC=∠ DCO$。
$\therefore OD=CD$。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，将角平分线、平行线的性质与等腰三角形的判定相结合考查，解题的关键是通过等量代换得到待证边所在三角形的两个内角相等，是几何证明中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 36°$，$AB = AC$，点$D$在边$AC$上，将$△ BCD$沿着$BD$对折，点$C$的对称点$E$恰好在边$AB$上，则图中等腰三角形有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)。A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
D
解析
【分析】
首先根据已知的AB=AC和∠A=36°，先求出△ABC的底角度数，再利用折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，逐一计算图中各三角形的内角度数，结合“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐个判断是否为等腰三角形，最后统计总个数即可。
【解析】
解：已知$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。
由折叠的性质可得$△ BCD≌△ BED$，
∴$∠ BED=∠ C=72°$，$∠ BDE=∠ BDC$，$∠ EBD=∠ CBD$，$CD=DE$。
1. 判定$△ AED$：
$∠ AED=180°-∠ BED=180°-72°=108°$，
$∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=180°-36°-108°=36°$，
∴$∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，$△ AED$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABD$：
$∠ EDC=180°-∠ ADE=180°-36°=144°$，
∵$∠ BDE=∠ BDC$，
∴$∠ BDE=∠ BDC=144°÷2=72°$，
在$△ BCD$中，$∠ CBD=180°-∠ C-∠ BDC=180°-72°-72°=36°$，
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=72°-36°=36°$，
∴$∠ A=∠ ABD$，可得$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形。
3. 判定$△ BED$：
$∠ BED=72°$，$∠ BDE=72°$，
∴$∠ BED=∠ BDE$，可得$BE=BD$，$△ BED$是等腰三角形。
4. 判定$△ BCD$：
$∠ C=72°$，$∠ BDC=72°$，
∴$∠ C=∠ BDC$，可得$BD=BC$，$△ BCD$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC、△ AED、△ ABD、△ BED、△ BCD$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，折叠的性质
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质、判定和折叠的性质解题，核心是通过角度计算得到相等的角，再用等角对等边判定等腰三角形，解题时要注意逐个排查，避免漏数。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的AB=AC和∠A=36°，先求出△ABC的底角度数，再利用折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，逐一计算图中各三角形的内角度数，结合“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐个判断是否为等腰三角形，最后统计总个数即可。
【解析】
解：已知$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ ABC=∠ C=(180°-36°)÷2=72°$。
由折叠的性质可得$△ BCD≌△ BED$，
∴$∠ BED=∠ C=72°$，$∠ BDE=∠ BDC$，$∠ EBD=∠ CBD$，$CD=DE$。
1. 判定$△ AED$：
$∠ AED=180°-∠ BED=180°-72°=108°$，
$∠ ADE=180°-∠ A-∠ AED=180°-36°-108°=36°$，
∴$∠ A=∠ ADE$，可得$AE=DE$，$△ AED$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABD$：
$∠ EDC=180°-∠ ADE=180°-36°=144°$，
∵$∠ BDE=∠ BDC$，
∴$∠ BDE=∠ BDC=144°÷2=72°$，
在$△ BCD$中，$∠ CBD=180°-∠ C-∠ BDC=180°-72°-72°=36°$，
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=72°-36°=36°$，
∴$∠ A=∠ ABD$，可得$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形。
3. 判定$△ BED$：
$∠ BED=72°$，$∠ BDE=72°$，
∴$∠ BED=∠ BDE$，可得$BE=BD$，$△ BED$是等腰三角形。
4. 判定$△ BCD$：
$∠ C=72°$，$∠ BDC=72°$，
∴$∠ C=∠ BDC$，可得$BD=BC$，$△ BCD$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC、△ AED、△ ABD、△ BED、△ BCD$，共5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，折叠的性质
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质、判定和折叠的性质解题，核心是通过角度计算得到相等的角，再用等角对等边判定等腰三角形，解题时要注意逐个排查，避免漏数。
【难度系数】
0.6
