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4. 一个“三等分角仪”如图所示，两根有槽的棒OA，OB在点O处铰接，并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，且OC＝CD＝DE.若∠CDE＝80°，则∠BDE的度数是
75°
.答案
4. 75°
解析
【分析】
解题时首先观察到题目给出OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，先设最小的∠O为x，得到∠ODC=x；再利用三角形外角的性质，得到△CDE的底角∠DCE=2x，结合CD=DE可知∠DEC也为2x；随后在△CDE中利用三角形内角和定理列方程求出x的值，最后结合平角为180°的性质即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD，
∴ ∠O=∠ODC，
∵ CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O+∠ODC=2x，
∴ ∠DEC=∠DCE=2x，
在△CDE中，∠CDE+∠DCE+∠DEC=180°，已知∠CDE=80°，
代入得：80°+2x+2x=180°，
解得x=25°，即∠ODC=25°，
∵ 点O、D、B共线，∠ODB=180°，
∴ ∠BDE=180°-∠ODC-∠CDE=180°-25°-80°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的三等分角仪模型考查几何基础性质的应用，解题的核心是通过等边对等角建立不同角之间的数量关系，结合内角和、外角性质逐步推导计算，属于基础应用题，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到题目给出OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，先设最小的∠O为x，得到∠ODC=x；再利用三角形外角的性质，得到△CDE的底角∠DCE=2x，结合CD=DE可知∠DEC也为2x；随后在△CDE中利用三角形内角和定理列方程求出x的值，最后结合平角为180°的性质即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD，
∴ ∠O=∠ODC，
∵ CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O+∠ODC=2x，
∴ ∠DEC=∠DCE=2x，
在△CDE中，∠CDE+∠DCE+∠DEC=180°，已知∠CDE=80°，
代入得：80°+2x+2x=180°，
解得x=25°，即∠ODC=25°，
∵ 点O、D、B共线，∠ODB=180°，
∴ ∠BDE=180°-∠ODC-∠CDE=180°-25°-80°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的三等分角仪模型考查几何基础性质的应用，解题的核心是通过等边对等角建立不同角之间的数量关系，结合内角和、外角性质逐步推导计算，属于基础应用题，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AB$边的垂直平分线，分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，$AE$平分$∠ BAC$。若$∠ B = 30°$，求$∠ C$的度数。
答案
5. 解：
∵ DE 是 AB 边的垂直平分线，
∴AE = BE.
∴∠BAE = ∠B = 30°.
∵ AE 平分 ∠BAC，
∴∠EAC = ∠BAE = 30°.
∴ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC=60°.
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=90°.
∵ DE 是 AB 边的垂直平分线，
∴AE = BE.
∴∠BAE = ∠B = 30°.
∵ AE 平分 ∠BAC，
∴∠EAC = ∠BAE = 30°.
∴ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC=60°.
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=90°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先看到DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，即△ABE是等腰三角形，可推出∠BAE和∠B相等；再结合AE平分∠BAC的条件，就能算出∠BAC的总度数；最后利用三角形内角和为180°，代入已知的∠B和求出的∠BAC，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ DE是AB边的垂直平分线，
∴AE = BE，
∴∠BAE = ∠B = 30°。
∵ AE平分 ∠BAC，
∴∠EAC = ∠BAE = 30°，
∴ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC=60°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−60°−30°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合各类几何性质推导角度关系，掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件逐步推导：首先看到DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，即△ABE是等腰三角形，可推出∠BAE和∠B相等；再结合AE平分∠BAC的条件，就能算出∠BAC的总度数；最后利用三角形内角和为180°，代入已知的∠B和求出的∠BAC，即可计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ DE是AB边的垂直平分线，
∴AE = BE，
∴∠BAE = ∠B = 30°。
∵ AE平分 ∠BAC，
∴∠EAC = ∠BAE = 30°，
∴ ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC=60°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−60°−30°=90°。
【答案】
90°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是结合各类几何性质推导角度关系，掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.（云浮期末）如图，小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，其中$△ OAB$与$△ ODC$都是等腰三角形，且它们关于直线$l$对称，$E$，$F$分别是底边$AB$，$CD$的中点，$OE ⊥ OF$. 下列推断：①$∠ BOC + ∠ AOD = 180°$；②$OB ⊥ OD$；③$∠ BOC = ∠ AOB$；④$OE = OF$. 其中错误的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）.A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先结合轴对称性质、全等三角形性质以及等腰三角形三线合一的性质，得到对应角、对应线段的等量关系，再结合OE⊥OF的条件推导各角度之间的关系，逐一验证4个推断是否正确，最后统计错误推断的个数即可。
【解析】
∵△OAB与△ODC关于直线$l$对称，
∴∠AOl=∠DOl，∠BOl=∠COl，对应线段$OE=OF$，故推断④正确；
∵△OAB、△ODC都是全等的等腰三角形，E、F分别是AB、CD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴OE平分∠AOB，OF平分∠COD，且$∠ AOB=∠ COD$，即$∠ AOE=∠ BOE=∠ COF=∠ DOF$；
又
∵$OE⊥ OF$，且OE、OF关于直线$l$对称，
∴OE、OF与直线$l$的夹角均为$45°$，即$∠ EOl=∠ FOl=45°$。
设$∠ BOE=α$，则$∠ AOB=2α$，$∠ BOl=45°-α$，
∴$∠ BOC=2∠ BOl=2(45°-α)=90°-2α$。
①计算$∠ BOC+∠ AOD$：$∠ AOD=2∠ AOl=2(∠ AOE+∠ EOl)=2(α+45°)=2α+90°$，
∴$∠ BOC+∠ AOD=(90°-2α)+(2α+90°)=180°$，故推断①正确；
②计算$∠ BOD$：$∠ BOD=∠ BOl+∠ DOl=∠ BOl+∠ AOl=(45°-α)+(α+45°)=90°$，即$OB⊥ OD$，故推断②正确；
③$∠ BOC=90°-2α$，$∠ AOB=2α$，二者仅当$α=22.5°$时相等，题目无此条件，故推断③错误。
综上，错误的推断只有1个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是利用轴对称的对称性得到角度、线段的等量关系，结合垂直条件推导角度和，验证结论时要注意所有推导都需要有已知条件作为支撑，不能主观臆断角的相等关系。
【难度系数】
0.6
解题时先结合轴对称性质、全等三角形性质以及等腰三角形三线合一的性质，得到对应角、对应线段的等量关系，再结合OE⊥OF的条件推导各角度之间的关系，逐一验证4个推断是否正确，最后统计错误推断的个数即可。
【解析】
∵△OAB与△ODC关于直线$l$对称，
∴∠AOl=∠DOl，∠BOl=∠COl，对应线段$OE=OF$，故推断④正确；
∵△OAB、△ODC都是全等的等腰三角形，E、F分别是AB、CD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴OE平分∠AOB，OF平分∠COD，且$∠ AOB=∠ COD$，即$∠ AOE=∠ BOE=∠ COF=∠ DOF$；
又
∵$OE⊥ OF$，且OE、OF关于直线$l$对称，
∴OE、OF与直线$l$的夹角均为$45°$，即$∠ EOl=∠ FOl=45°$。
设$∠ BOE=α$，则$∠ AOB=2α$，$∠ BOl=45°-α$，
∴$∠ BOC=2∠ BOl=2(45°-α)=90°-2α$。
①计算$∠ BOC+∠ AOD$：$∠ AOD=2∠ AOl=2(∠ AOE+∠ EOl)=2(α+45°)=2α+90°$，
∴$∠ BOC+∠ AOD=(90°-2α)+(2α+90°)=180°$，故推断①正确；
②计算$∠ BOD$：$∠ BOD=∠ BOl+∠ DOl=∠ BOl+∠ AOl=(45°-α)+(α+45°)=90°$，即$OB⊥ OD$，故推断②正确；
③$∠ BOC=90°-2α$，$∠ AOB=2α$，二者仅当$α=22.5°$时相等，题目无此条件，故推断③错误。
综上，错误的推断只有1个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的核心是利用轴对称的对称性得到角度、线段的等量关系，结合垂直条件推导角度和，验证结论时要注意所有推导都需要有已知条件作为支撑，不能主观臆断角的相等关系。
【难度系数】
0.6
7. 等腰三角形底边长为5 cm，若一腰上的中线把其周长分为两部分，且这两部分差为3 cm，则腰长为
8 cm
.答案
7. 8 cm
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分为两部分，这两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，二者差值为3cm，因此需要分类讨论两种差值情况，最后必须用三角形三边关系验证所得的边长能否构成三角形，排除不符合的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm，腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段。
根据两部分周长差为3cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长与半腰长的和比底边长与半腰长的和大3cm：
$(x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$ x - 5 = 3 $，解得$ x = 8 $。
此时三边长为8cm、8cm、5cm，满足$ 8+5＞8 $、$ 8+8＞5 $，符合三角形三边关系。
2. 若底边长与半腰长的和比腰长与半腰长的和大3cm：
$(5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$ 5 - x = 3 $，解得$ x = 2 $。
此时三边长为2cm、2cm、5cm，$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该解。
综上，腰长为8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略分类讨论或者未验证三角形三边关系出现错解，解题时要先根据差值条件列出所有可能的情况，再结合三边关系对结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确等腰三角形一腰上的中线将周长分为两部分，这两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，二者差值为3cm，因此需要分类讨论两种差值情况，最后必须用三角形三边关系验证所得的边长能否构成三角形，排除不符合的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm，腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段。
根据两部分周长差为3cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长与半腰长的和比底边长与半腰长的和大3cm：
$(x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$ x - 5 = 3 $，解得$ x = 8 $。
此时三边长为8cm、8cm、5cm，满足$ 8+5＞8 $、$ 8+8＞5 $，符合三角形三边关系。
2. 若底边长与半腰长的和比腰长与半腰长的和大3cm：
$(5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$ 5 - x = 3 $，解得$ x = 2 $。
此时三边长为2cm、2cm、5cm，$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该解。
综上，腰长为8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略分类讨论或者未验证三角形三边关系出现错解，解题时要先根据差值条件列出所有可能的情况，再结合三边关系对结果进行取舍。
【难度系数】
0.6
8. 如图，点 D，E 在△ABC 的边 AB 上，CA＝CB，CD＝CE.求证：AD＝BE.
答案
8. 证明：过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F.
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ABC，△DEC 都是等腰三角形.
∴F 是 AB，DE 的中点.
∴AF = BF，DF = EF.
∴AF−DF=BF−EF.
∴AD=BE.
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ABC，△DEC 都是等腰三角形.
∴F 是 AB，DE 的中点.
∴AF = BF，DF = EF.
∴AF−DF=BF−EF.
∴AD=BE.
解析
【分析】
要证明AD=BE，观察图形可知AD=AF-DF，BE=BF-EF，因此只需证明AF=BF、DF=EF即可。已知CA=CB、CD=CE，即△ABC和△DEC都是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过C作AB的垂线，这条垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，即可得到上述两组相等的线段，进而通过线段差推出结论。
【解析】
证明：过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F。
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ABC、△DEC 均为等腰三角形。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，F是AB的中点，也是DE的中点，
∴AF = BF，DF = EF。
∴AF - DF = BF - EF，
即AD=BE。
【答案】
AD=BE
【知识点】
等腰三角形性质；线段和差计算
【点评】
这道题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是合理利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，将待证线段关系转化为中点线段的和差关系，解题思路简洁直观，是等腰三角形相关证明的典型考法。
【难度系数】
0.8
要证明AD=BE，观察图形可知AD=AF-DF，BE=BF-EF，因此只需证明AF=BF、DF=EF即可。已知CA=CB、CD=CE，即△ABC和△DEC都是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过C作AB的垂线，这条垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，即可得到上述两组相等的线段，进而通过线段差推出结论。
【解析】
证明：过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F。
∵CA=CB，CD=CE，
∴△ABC、△DEC 均为等腰三角形。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，F是AB的中点，也是DE的中点，
∴AF = BF，DF = EF。
∴AF - DF = BF - EF，
即AD=BE。
【答案】
AD=BE
【知识点】
等腰三角形性质；线段和差计算
【点评】
这道题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是合理利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，将待证线段关系转化为中点线段的和差关系，解题思路简洁直观，是等腰三角形相关证明的典型考法。
【难度系数】
0.8
9. 如图
，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，$D$为$BC$的中点，$E$为$CA$延长线上一点，连接$DE$交$AB$于点$G$，过点$D$作$DF ⊥ DE$，与$AB$的延长线交于点$F$。若$BF = 4$，$AG = 2$，$△ DGF$的面积是$20$，则$BD$的长为
，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，$D$为$BC$的中点，$E$为$CA$延长线上一点，连接$DE$交$AB$于点$G$，过点$D$作$DF ⊥ DE$，与$AB$的延长线交于点$F$。若$BF = 4$，$AG = 2$，$△ DGF$的面积是$20$，则$BD$的长为√32
。答案
9. $\sqrt{32}$
解析
【分析】
本题中△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：将直角顶点A设为原点，AB、AC分别置于y轴、x轴上，用AB的长度a表示各点坐标。△DGF的边GF在y轴上，高为点D到y轴的距离，结合已知的△DGF面积，先通过面积公式列方程求出AB的长度，再用勾股定理算出BC的长度，取一半即可得到BD的长。
【解析】
解：设A为坐标原点，AB在y轴正半轴，AC在x轴正半轴，设AB=AC=a，则各点坐标为：A(0,0)，B(0,a)，C(a,0)。
∵D为BC中点，
∴D点坐标为($\frac{a}{2}$,$\frac{a}{2}$)。
∵AG=2，G在AB边上，
∴G点坐标为(0,2)；
∵F在AB的延长线上，BF=4，
∴F点坐标为(0,a+4)，
则GF的长度为：$(a+4)-2=a+2$，
点D到AB（y轴）的距离为D点的横坐标$\frac{a}{2}$，
已知△DGF的面积为20，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × GF × $点D到AB的距离$=20$
代入得：$\frac{1}{2} × (a+2) × \frac{a}{2} =20$
整理得：$a^2+2a=80$
配方得：$a^2+2a+1=81$，即$(a+1)^2=81$
∵a为边长，是正数，
∴$a+1=9$，解得$a=8$，即AB=AC=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$
∵D是BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{2}=\sqrt{32}$
【答案】
$\sqrt{32}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形的性质应用，通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，可简化推导过程，解题的关键是正确表示出△DGF的底和高，利用面积公式建立等量关系求解边长，解题时结合完全平方公式计算更简便。
【难度系数】
0.6
本题中△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：将直角顶点A设为原点，AB、AC分别置于y轴、x轴上，用AB的长度a表示各点坐标。△DGF的边GF在y轴上，高为点D到y轴的距离，结合已知的△DGF面积，先通过面积公式列方程求出AB的长度，再用勾股定理算出BC的长度，取一半即可得到BD的长。
【解析】
解：设A为坐标原点，AB在y轴正半轴，AC在x轴正半轴，设AB=AC=a，则各点坐标为：A(0,0)，B(0,a)，C(a,0)。
∵D为BC中点，
∴D点坐标为($\frac{a}{2}$,$\frac{a}{2}$)。
∵AG=2，G在AB边上，
∴G点坐标为(0,2)；
∵F在AB的延长线上，BF=4，
∴F点坐标为(0,a+4)，
则GF的长度为：$(a+4)-2=a+2$，
点D到AB（y轴）的距离为D点的横坐标$\frac{a}{2}$，
已知△DGF的面积为20，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × GF × $点D到AB的距离$=20$
代入得：$\frac{1}{2} × (a+2) × \frac{a}{2} =20$
整理得：$a^2+2a=80$
配方得：$a^2+2a+1=81$，即$(a+1)^2=81$
∵a为边长，是正数，
∴$a+1=9$，解得$a=8$，即AB=AC=8。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$
∵D是BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{2}=\sqrt{32}$
【答案】
$\sqrt{32}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形的性质应用，通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，可简化推导过程，解题的关键是正确表示出△DGF的底和高，利用面积公式建立等量关系求解边长，解题时结合完全平方公式计算更简便。
【难度系数】
0.6
