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1. 有两边
相等
的三角形是等腰三角形。答案
1. 相等
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的基本定义，解题时只需回忆等腰三角形的概念即可，我们学习三角形按边分类时明确规定了等腰三角形的判定前提，直接对应概念填空就可以。
【解析】
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，因此横线处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定义的识记，掌握核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查等腰三角形的基本定义，解题时只需回忆等腰三角形的概念即可，我们学习三角形按边分类时明确规定了等腰三角形的判定前提，直接对应概念填空就可以。
【解析】
根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，因此横线处应填入“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础定义的识记，掌握核心概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角
相等
（简写成“等边对等角
”）；等腰三角形底边上的中线
、高及顶角平分线
重合（简写成“三线合一
”）。答案
2. 相等；等角；中线；平分线；三线合一
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的基础性质，属于识记类考点，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形性质的标准表述，对应空缺内容逐一填写即可：首先回忆角的性质，明确等腰三角形两条相等的边（腰）对应的底角的关系，以及对应的简写表述；再回忆线段相关性质，明确哪三条线段互相重合，以及对应的简写结论即可。
【解析】
根据等腰三角形的法定性质：
1. 角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简写成“等边对等角”；
2. 线段重合性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线互相重合，该性质可简写成“三线合一”。
按顺序对应空缺填入内容即可。
【答案】
相等；等角；中线；平分线；三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角、三线合一
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查等腰三角形的核心基础性质，熟练掌握这些性质是后续解决等腰三角形相关角度计算、线段证明等题型的重要前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查等腰三角形的基础性质，属于识记类考点，解题时只需回忆教材中关于等腰三角形性质的标准表述，对应空缺内容逐一填写即可：首先回忆角的性质，明确等腰三角形两条相等的边（腰）对应的底角的关系，以及对应的简写表述；再回忆线段相关性质，明确哪三条线段互相重合，以及对应的简写结论即可。
【解析】
根据等腰三角形的法定性质：
1. 角的性质：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简写成“等边对等角”；
2. 线段重合性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线互相重合，该性质可简写成“三线合一”。
按顺序对应空缺填入内容即可。
【答案】
相等；等角；中线；平分线；三线合一
【知识点】
等腰三角形的性质、等边对等角、三线合一
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查等腰三角形的核心基础性质，熟练掌握这些性质是后续解决等腰三角形相关角度计算、线段证明等题型的重要前提。
【难度系数】
0.9
例1 等腰三角形的一个内角为$110°$，则这个等腰三角形的底角的度数是（$\quad\quad$）.
A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
答案
例1 A
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理思考：题目未说明110°是顶角还是底角，因此需要先分类讨论两种情况，再结合内角和定理排除不可能的情况，最后计算底角度数。
【解析】
已知等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 若110°的内角为底角：
两个底角的度数和为$110° × 2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立。
2. 若110°的内角为顶角：
底角的度数为$(180° - 110°) ÷ 2 = 35°$。
因此这个等腰三角形的底角度数为35°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是对已知内角的类型进行分类讨论，同时要结合三角形内角和定理排除不符合实际的情况，避免误选多解选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理思考：题目未说明110°是顶角还是底角，因此需要先分类讨论两种情况，再结合内角和定理排除不可能的情况，最后计算底角度数。
【解析】
已知等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
1. 若110°的内角为底角：
两个底角的度数和为$110° × 2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立。
2. 若110°的内角为顶角：
底角的度数为$(180° - 110°) ÷ 2 = 35°$。
因此这个等腰三角形的底角度数为35°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是对已知内角的类型进行分类讨论，同时要结合三角形内角和定理排除不符合实际的情况，避免误选多解选项。
【难度系数】
0.7
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD = 35°，则∠C=
55
°。答案
例2 55
解析
【分析】
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点的条件，联想等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD既是底边BC的中线，也是底边上的高，因此∠ADB为直角。已知∠BAD的度数，可先在直角三角形ABD中求出∠B的度数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到∠C与∠B相等，即可求出∠C的数值。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，满足∠B=∠C。
∵D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD=35°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B=90°-∠BAD=90°-35°=55°。
又
∵∠B=∠C，
∴∠C=55°。
【答案】
55
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再结合角度关系推导结果，牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点的条件，联想等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD既是底边BC的中线，也是底边上的高，因此∠ADB为直角。已知∠BAD的度数，可先在直角三角形ABD中求出∠B的度数，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到∠C与∠B相等，即可求出∠C的数值。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，满足∠B=∠C。
∵D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD=35°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠B=90°-∠BAD=90°-35°=55°。
又
∵∠B=∠C，
∴∠C=55°。
【答案】
55
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到垂直关系，再结合角度关系推导结果，牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则该等腰三角形的周长是(
A.17
B.22
C.13
D.17或22
B
)。A.17
B.22
C.13
D.17或22
答案
1. B
解析
【分析】
等腰三角形的核心特征是两条腰长度相等，题中仅给出两边长为4和9，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论。同时要注意：构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”的三边关系，所以每种情况都要先验证是否能构成三角形，再计算对应周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，则三角形三边长为4、4、9。
∵4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，直接舍去。
② 若腰长为9，则三角形三边长为9、9、4。
∵9+4=13＞9，9+9=18＞4，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为9+9+4=22。
综上，该等腰三角形的周长为22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，容易出现的错误是忽略验证三边构成三角形的条件，直接认为两种情况都成立错选D，解题时要牢记先判断三边是否符合三角形的要求，再做后续计算。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的核心特征是两条腰长度相等，题中仅给出两边长为4和9，未明确说明哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论。同时要注意：构成三角形必须满足“任意两边之和大于第三边”的三边关系，所以每种情况都要先验证是否能构成三角形，再计算对应周长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，则三角形三边长为4、4、9。
∵4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，直接舍去。
② 若腰长为9，则三角形三边长为9、9、4。
∵9+4=13＞9，9+9=18＞4，满足三角形三边关系，
∴此时三角形周长为9+9+4=22。
综上，该等腰三角形的周长为22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，容易出现的错误是忽略验证三边构成三角形的条件，直接认为两种情况都成立错选D，解题时要牢记先判断三边是否符合三角形的要求，再做后续计算。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，$BD = 5$ cm，则$BC$的长为
10
cm. 答案
2. 10
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，已知AD平分∠BAC，即AD是等腰三角形顶角的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BC的长度是BD的2倍，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$BC$边上的中线，即$D$为$BC$的中点，
∴$BC=2BD$，
又
∵$BD=5\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，已知AD平分∠BAC，即AD是等腰三角形顶角的平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BC的长度是BD的2倍，代入BD的长度即可求出BC的长。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，
∴$△ ABC$是等腰三角形，
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$是$BC$边上的中线，即$D$为$BC$的中点，
∴$BC=2BD$，
又
∵$BD=5\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
1. 生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图如图所示，已知$∠ ABO = 60°$，$OC = OD$，$AB // CD$，则$∠ BOD = (\quad)$。
A.$150°$
B.$140°$
C.$130°$
D.$120°$
A.$150°$
B.$140°$
C.$130°$
D.$120°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到AB//CD，结合已知∠ABO=60°，可以利用平行线的内错角相等得到∠DCO的度数；②看到OC=OD，可判断△OCD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDO的度数；③要求的∠BOD是△OCD的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠DCO = 60°（两直线平行，内错角相等），
∵ OC = OD，
∴ △OCD为等腰三角形，∠DCO = ∠CDO = 60°，
∵ ∠BOD是△OCD的外角，
∴ ∠BOD = ∠DCO + ∠CDO = 60° + 60° = 120°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠桌场景考查几何基础性质的应用，难度较低，熟练掌握平行线、等腰三角形及三角形外角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①看到AB//CD，结合已知∠ABO=60°，可以利用平行线的内错角相等得到∠DCO的度数；②看到OC=OD，可判断△OCD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDO的度数；③要求的∠BOD是△OCD的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠DCO = 60°（两直线平行，内错角相等），
∵ OC = OD，
∴ △OCD为等腰三角形，∠DCO = ∠CDO = 60°，
∵ ∠BOD是△OCD的外角，
∴ ∠BOD = ∠DCO + ∠CDO = 60° + 60° = 120°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠桌场景考查几何基础性质的应用，难度较低，熟练掌握平行线、等腰三角形及三角形外角的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在等腰三角形ABC中，$AB=AC$，AD是边BC上的高，则下列结论错误的是(
A.$BD=CD$
B.$∠BAC=∠ABC$
C.AD平分$∠BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
B
).A.$BD=CD$
B.$∠BAC=∠ABC$
C.AD平分$∠BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查等腰三角形性质的应用，解题思路为：首先明确已知条件是等腰△ABC中AB=AC，AD是BC边上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误结论即可。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
1. AD同时是BC边上的中线，因此BD=CD，A选项结论正确；
2. AD同时是∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC，C选项结论正确；
3. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，△ABD和△ACD的底BD=CD，公共高为AD，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，D选项结论正确；
4. 等腰三角形中仅底角相等，即∠ABC=∠ACB，顶角∠BAC和底角∠ABC不一定相等，只有等边三角形才满足三个角都相等，因此B选项结论错误。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等腰三角形核心性质的掌握，要注意区分等腰三角形顶角和底角的关系，不要混淆“三线合一”对应的线段位置。
【难度系数】
0.85
本题考查等腰三角形性质的应用，解题思路为：首先明确已知条件是等腰△ABC中AB=AC，AD是BC边上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质，逐个判断四个选项的正误，最终选出错误结论即可。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
1. AD同时是BC边上的中线，因此BD=CD，A选项结论正确；
2. AD同时是∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC，C选项结论正确；
3. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，△ABD和△ACD的底BD=CD，公共高为AD，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，D选项结论正确；
4. 等腰三角形中仅底角相等，即∠ABC=∠ACB，顶角∠BAC和底角∠ABC不一定相等，只有等边三角形才满足三个角都相等，因此B选项结论错误。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等腰三角形核心性质的掌握，要注意区分等腰三角形顶角和底角的关系，不要混淆“三线合一”对应的线段位置。
【难度系数】
0.85
3. 已知等腰三角形的一个角为 $40°$，则另外两个角的度数是
70°，70°或40°，100°
。答案
3. 70°，70°或40°，100°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目仅给出一个角为40°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，计算后还要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为40°，分两种情况讨论：
1. 若40°的角是顶角：
因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，
所以两个底角的度数均为：$\frac{180°-40°}{2}=70°$，
此时另外两个角为70°，70°。
2. 若40°的角是底角：
则另一个底角也为40°，
顶角的度数为：$180°-40°×2=100°$，
此时另外两个角为40°，100°。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
70°，70°或40°，100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见基础题，易错点是忽略已知角的两种可能性，导致漏解。解题时需注意：当题目未明确给出的角是顶角还是底角时，一定要分情况讨论，同时要验证结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质，以及三角形内角和为180°的定理。由于题目仅给出一个角为40°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，计算后还要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
已知等腰三角形的一个角为40°，分两种情况讨论：
1. 若40°的角是顶角：
因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，
所以两个底角的度数均为：$\frac{180°-40°}{2}=70°$，
此时另外两个角为70°，70°。
2. 若40°的角是底角：
则另一个底角也为40°，
顶角的度数为：$180°-40°×2=100°$，
此时另外两个角为40°，100°。
两种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
70°，70°或40°，100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见基础题，易错点是忽略已知角的两种可能性，导致漏解。解题时需注意：当题目未明确给出的角是顶角还是底角时，一定要分情况讨论，同时要验证结果是否满足三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
