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8. 已知点$A(2a - b, 5 + a)$，$B(2b - 1, -a + b)$。若点$A$，$B$关于$y$轴对称，则$(4a + b)^{202}$的值为
1
。答案
8. 1
解析
【分析】
解决本题首先要明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
∵ 点A，B关于y轴对称
∴ 两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\5 + a = -a + b\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2a + b = 1 ① \\2a - b = -5 ②\end{cases}$
①+②得：$4a = -4$，解得$a=-1$
把$a=-1$代入①得：$2×(-1) + b =1$，解得$b=3$
∴ $4a + b = 4×(-1) + 3 = -1$
∴ $(4a + b)^{202} = (-1)^{202} =1$
【答案】
1
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标性质，解二元一次方程组，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础综合题，核心考点是平面直角坐标系中轴对称的坐标规律，解题的关键是准确根据对称性质列对方程组，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，代入所求代数式计算乘方即可得到结果。
【解析】
∵ 点A，B关于y轴对称
∴ 两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1) \\5 + a = -a + b\end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases}2a + b = 1 ① \\2a - b = -5 ②\end{cases}$
①+②得：$4a = -4$，解得$a=-1$
把$a=-1$代入①得：$2×(-1) + b =1$，解得$b=3$
∴ $4a + b = 4×(-1) + 3 = -1$
∴ $(4a + b)^{202} = (-1)^{202} =1$
【答案】
1
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标性质，解二元一次方程组，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础综合题，核心考点是平面直角坐标系中轴对称的坐标规律，解题的关键是准确根据对称性质列对方程组，计算时注意符号的处理即可。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,2)$，$B(3,0)$，$C(6,3)$。
（1）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$，并求出$△ A_1B_1C_1$的面积；
（2）在（1）的条件下，已知点$P(a-1, -2a+3)$，直线$PA_1 // x$轴，求点$P$的坐标。
（1）画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$，并求出$△ A_1B_1C_1$的面积；
（2）在（1）的条件下，已知点$P(a-1, -2a+3)$，直线$PA_1 // x$轴，求点$P$的坐标。
答案
解：(1)图略。$\therefore S_{△ A_1B_1C_1} =5×3-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×5×1=6$。
(2)易得 $A_1(-1, 2)$。由条件可知$-2a + 3 = 2$，解得 $a = \frac{1}{2}$。$\therefore a - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$。$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-\frac{1}{2}, 2)$。
(2)易得 $A_1(-1, 2)$。由条件可知$-2a + 3 = 2$，解得 $a = \frac{1}{2}$。$\therefore a - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$。$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-\frac{1}{2}, 2)$。
解析
【分析】
（1）要画△ABC关于y轴对称的图形，首先根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先得到A₁、B₁、C₁三个顶点的坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁；因为轴对称不改变图形的面积，求△A₁B₁C₁的面积可以用割补法：用包含该三角形的最小矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
（2）平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知直线PA₁//x轴，说明点P和点A₁的纵坐标相同，据此列方程求出a的值，再代入计算点P的横坐标即可得到P的坐标。
【解析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，得A₁(-1,2)，B₁(-3,0)，C₁(-6,3)，描点连线即可画出△A₁B₁C₁（图略）。
计算面积：
$S_{△A_1B_1C_1} =$ 矩形面积 $-$ 周围3个直角三角形面积
$=5×3-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×5×1$
$=15 - 4.5 - 2 - 2.5$
$=6$
（2）由（1）知A₁的坐标为(-1,2)，
∵直线$PA_1 // x$轴，
∴点P与A₁的纵坐标相等，即：
$-2a + 3 = 2$
解得$a=\frac{1}{2}$，
则点P的横坐标为$a-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$。
【答案】
（1）图略，△A₁B₁C₁的面积为6；（2）点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，割补法求图形面积，平行于x轴的点的坐标规律
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，既考察了轴对称的坐标变化规律，也考察了坐标系中面积计算和平行于坐标轴的点的坐标特点，解题时熟练掌握坐标变化的相关性质是关键，割补法是计算不规则图形面积的常用方法，需要灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）要画△ABC关于y轴对称的图形，首先根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，先得到A₁、B₁、C₁三个顶点的坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁；因为轴对称不改变图形的面积，求△A₁B₁C₁的面积可以用割补法：用包含该三角形的最小矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可。
（2）平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知直线PA₁//x轴，说明点P和点A₁的纵坐标相同，据此列方程求出a的值，再代入计算点P的横坐标即可得到P的坐标。
【解析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，得A₁(-1,2)，B₁(-3,0)，C₁(-6,3)，描点连线即可画出△A₁B₁C₁（图略）。
计算面积：
$S_{△A_1B_1C_1} =$ 矩形面积 $-$ 周围3个直角三角形面积
$=5×3-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×5×1$
$=15 - 4.5 - 2 - 2.5$
$=6$
（2）由（1）知A₁的坐标为(-1,2)，
∵直线$PA_1 // x$轴，
∴点P与A₁的纵坐标相等，即：
$-2a + 3 = 2$
解得$a=\frac{1}{2}$，
则点P的横坐标为$a-1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
∴点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$。
【答案】
（1）图略，△A₁B₁C₁的面积为6；（2）点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，割补法求图形面积，平行于x轴的点的坐标规律
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，既考察了轴对称的坐标变化规律，也考察了坐标系中面积计算和平行于坐标轴的点的坐标特点，解题时熟练掌握坐标变化的相关性质是关键，割补法是计算不规则图形面积的常用方法，需要灵活运用。
【难度系数】
0.7
10. 点 A 在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 l 经过点 B(-3，0)且平行于 y 轴.
(1)点 A 关于 y 轴对称的点 A₁ 的坐标为
(2)若平面直角坐标系中有一点 P(m，n)，其中 m＞0，点 P 关于 y 轴对称的点为 P₁，点 P₁ 关于直线 l 对称的点为 P₂，求线段 P₁P₂ 的长.(用含 m 的式子表示)
(1)点 A 关于 y 轴对称的点 A₁ 的坐标为
$(-1,3)$
，点 A 关于直线 l 对称的点 A₂ 的坐标为$(-7,3)$
；(2)若平面直角坐标系中有一点 P(m，n)，其中 m＞0，点 P 关于 y 轴对称的点为 P₁，点 P₁ 关于直线 l 对称的点为 P₂，求线段 P₁P₂ 的长.(用含 m 的式子表示)
答案
(1)$(-1, 3)$；$(-7, 3)$
(2)解：$\because$ 点 $P(m, n)$，其中 $m＞0$，点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P_1$，$\therefore P_1(-m, n)$。设 $P_2(x, n)$，$\because$ 直线 $l$ 经过点 $B(-3, 0)$且平行于 $y$ 轴，$\therefore \frac{x-m}{2}=-3$，解得 $x=m-6$。$\therefore P_2(m-6, n)$。$\therefore P_1P_2=|m-6-(-m)|=|2m-6|$。
(2)解：$\because$ 点 $P(m, n)$，其中 $m＞0$，点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P_1$，$\therefore P_1(-m, n)$。设 $P_2(x, n)$，$\because$ 直线 $l$ 经过点 $B(-3, 0)$且平行于 $y$ 轴，$\therefore \frac{x-m}{2}=-3$，解得 $x=m-6$。$\therefore P_2(m-6, n)$。$\therefore P_1P_2=|m-6-(-m)|=|2m-6|$。
解析
【分析】
(1) 首先确定点A的坐标，由图可知A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$。关于y轴对称的点坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此可直接求出$A_1$的坐标；直线$l$是平行于y轴且过$(-3,0)$的直线，即直线$l$的解析式为$x=-3$，关于平行于y轴的直线$x=a$对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均值等于$a$，据此可求出$A_2$的坐标。
(2) 先根据关于y轴对称的坐标规律求出$P_1$的坐标，再根据关于直线$x=-3$对称的坐标规律求出$P_2$的横坐标，由于$P_1$和$P_2$纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，代入计算即可得到$P_1P_2$的长度。
【解析】
(1) 由图可得点$A$的坐标为$(1,3)$。
① 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此$A_1$的坐标为$(-1,3)$；
② 直线$l$平行于y轴且过点$B(-3,0)$，即直线$l$为$x=-3$。设$A_2$的坐标为$(x,3)$，则点$A$和$A_2$到直线$x=-3$的距离相等，即$1-(-3)=-3-x$，解得$x=-7$，因此$A_2$的坐标为$(-7,3)$。
(2) 已知点$P(m,n)$，$m＞0$：
第一步：求$P$关于y轴对称的点$P_1$的坐标，根据关于y轴对称的坐标特征，得$P_1(-m,n)$；
第二步：求$P_1$关于直线$l:x=-3$对称的点$P_2$的坐标。设$P_2(x,n)$，由于关于$x=-3$对称的两点横坐标的平均值为$-3$，因此$\frac{x+(-m)}{2}=-3$，解得$x=m-6$，即$P_2(m-6,n)$；
第三步：计算$P_1P_2$的长度，因为$P_1$和$P_2$纵坐标相同，距离为横坐标差的绝对值，因此$P_1P_2=|(m-6)-(-m)|=|2m-6|$。
【答案】
(1) $(-1, 3)$；$(-7, 3)$
(2) 线段$P_1P_2$的长为$|2m-6|$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，关于平行于y轴的直线对称的点的坐标特征，平面内两点间距离计算
【点评】
本题考查坐标与轴对称的综合应用，核心是掌握不同对称关系下点的坐标变化规律，计算对称点坐标时利用“对称点到对称轴的距离相等”的性质可有效降低出错率，是轴对称坐标应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 首先确定点A的坐标，由图可知A的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$。关于y轴对称的点坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此可直接求出$A_1$的坐标；直线$l$是平行于y轴且过$(-3,0)$的直线，即直线$l$的解析式为$x=-3$，关于平行于y轴的直线$x=a$对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均值等于$a$，据此可求出$A_2$的坐标。
(2) 先根据关于y轴对称的坐标规律求出$P_1$的坐标，再根据关于直线$x=-3$对称的坐标规律求出$P_2$的横坐标，由于$P_1$和$P_2$纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标差的绝对值，代入计算即可得到$P_1P_2$的长度。
【解析】
(1) 由图可得点$A$的坐标为$(1,3)$。
① 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此$A_1$的坐标为$(-1,3)$；
② 直线$l$平行于y轴且过点$B(-3,0)$，即直线$l$为$x=-3$。设$A_2$的坐标为$(x,3)$，则点$A$和$A_2$到直线$x=-3$的距离相等，即$1-(-3)=-3-x$，解得$x=-7$，因此$A_2$的坐标为$(-7,3)$。
(2) 已知点$P(m,n)$，$m＞0$：
第一步：求$P$关于y轴对称的点$P_1$的坐标，根据关于y轴对称的坐标特征，得$P_1(-m,n)$；
第二步：求$P_1$关于直线$l:x=-3$对称的点$P_2$的坐标。设$P_2(x,n)$，由于关于$x=-3$对称的两点横坐标的平均值为$-3$，因此$\frac{x+(-m)}{2}=-3$，解得$x=m-6$，即$P_2(m-6,n)$；
第三步：计算$P_1P_2$的长度，因为$P_1$和$P_2$纵坐标相同，距离为横坐标差的绝对值，因此$P_1P_2=|(m-6)-(-m)|=|2m-6|$。
【答案】
(1) $(-1, 3)$；$(-7, 3)$
(2) 线段$P_1P_2$的长为$|2m-6|$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，关于平行于y轴的直线对称的点的坐标特征，平面内两点间距离计算
【点评】
本题考查坐标与轴对称的综合应用，核心是掌握不同对称关系下点的坐标变化规律，计算对称点坐标时利用“对称点到对称轴的距离相等”的性质可有效降低出错率，是轴对称坐标应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
