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9. 如图,水库边有一段长300米、高8米的大坝,大坝的横截面为梯形ABCD,其中AB//CD,背水坡坡角∠ADC=45°。现要对大坝进行维修,将大坝上底加宽2米,并使背水坡坡角为30°,则维修此大坝需要土石（
A.$(9600 + 4800\sqrt{3})$立方米
B.$(9600 - 4800\sqrt{3})$立方米
C.$(9600\sqrt{3} + 4800)$立方米
D.$(9600\sqrt{3} - 4800)$立方米
D
）A.$(9600 + 4800\sqrt{3})$立方米
B.$(9600 - 4800\sqrt{3})$立方米
C.$(9600\sqrt{3} + 4800)$立方米
D.$(9600\sqrt{3} - 4800)$立方米
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先明确：维修需要的土石体积=新增横截面的面积×大坝总长度。解题步骤如下：第一步作辅助线，分别过A、E作下底所在直线的垂线，两条高均等于坝高8米；第二步利用45°坡角求出原背水坡的水平宽度，再利用30°坡角求出新背水坡的水平宽度；第三步计算新增横截面（梯形AEDF）的面积；最后用面积乘以大坝长度得到土石体积。
【解析】
过点A作AM⊥CD于点M，过点E作EN⊥CD的延长线于点N。
∵AB//CD，AM⊥CD，EN⊥CD，
∴四边形AMNE是矩形，
∴AM=EN=8米，MN=AE=2米。
在Rt△AMD中，∠ADC=45°，AM=8米，
∴∠DAM=45°，则DM=AM=8米。
在Rt△ENF中，∠F=30°，EN=8米，
由$\tan30°=\frac{EN}{NF}$得$NF=\frac{EN}{\tan30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$米。
∴$DN=DM-MN=8-2=6$米，$DF=NF-DN=8\sqrt{3}-6$米。
新增横截面为梯形AEDF，上底AE=2米，下底DF=$8\sqrt{3}-6$米，高为8米，
∴横截面面积$S=\frac{(AE+DF)×AM}{2}=\frac{[2+(8\sqrt{3}-6)]×8}{2}=(8\sqrt{3}-4)×4=32\sqrt{3}-16$（平方米）。
大坝总长300米，因此需要土石体积$V=S×300=(32\sqrt{3}-16)×300=9600\sqrt{3}-4800$（立方米）。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用，梯形面积计算，体积计算
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的应用，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡角的三角函数值求出相关线段长度，再代入面积、体积公式求解即可。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确：维修需要的土石体积=新增横截面的面积×大坝总长度。解题步骤如下：第一步作辅助线，分别过A、E作下底所在直线的垂线，两条高均等于坝高8米；第二步利用45°坡角求出原背水坡的水平宽度，再利用30°坡角求出新背水坡的水平宽度；第三步计算新增横截面（梯形AEDF）的面积；最后用面积乘以大坝长度得到土石体积。
【解析】
过点A作AM⊥CD于点M，过点E作EN⊥CD的延长线于点N。
∵AB//CD，AM⊥CD，EN⊥CD，
∴四边形AMNE是矩形，
∴AM=EN=8米，MN=AE=2米。
在Rt△AMD中，∠ADC=45°，AM=8米，
∴∠DAM=45°，则DM=AM=8米。
在Rt△ENF中，∠F=30°，EN=8米，
由$\tan30°=\frac{EN}{NF}$得$NF=\frac{EN}{\tan30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$米。
∴$DN=DM-MN=8-2=6$米，$DF=NF-DN=8\sqrt{3}-6$米。
新增横截面为梯形AEDF，上底AE=2米，下底DF=$8\sqrt{3}-6$米，高为8米，
∴横截面面积$S=\frac{(AE+DF)×AM}{2}=\frac{[2+(8\sqrt{3}-6)]×8}{2}=(8\sqrt{3}-4)×4=32\sqrt{3}-16$（平方米）。
大坝总长300米，因此需要土石体积$V=S×300=(32\sqrt{3}-16)×300=9600\sqrt{3}-4800$（立方米）。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用，梯形面积计算，体积计算
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程问题中的应用，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡角的三角函数值求出相关线段长度，再代入面积、体积公式求解即可。
【难度系数】
0.65
10. 如图，要将一段坡角为$30°$的路面削为坡角为$20°$的斜坡，已知原来的坡长为40 m，则自坡顶挖下的铅直高度CD约为
7.4
m。（参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$，$\tan20°≈0.364$，结果精确到0.1 m）答案
10. 7.4
解析
【分析】
本题是解直角三角形在坡角问题中的实际应用，解题思路如下：首先观察图形可知CD=BC-BD，BC是原斜坡的铅直高度，BD是改造后斜坡的铅直高度，两个高度对应的直角三角形有公共水平边AB。第一步先在Rt△ABC中，利用已知的坡长AC和坡角30°，通过锐角三角函数求出BC、AB的长度；第二步在Rt△ABD中，利用求出的AB和改造后的坡角20°，通过正切函数求出BD的长度；最后作差得到CD的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，AC=40m：
$\sin30°=\frac{BC}{AC}$，则$BC=AC·\sin30°=40×\frac{1}{2}=20\ \mathrm{m}$
$\cos30°=\frac{AB}{AC}$，则$AB=AC·\cos30°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx20×1.732=34.64\ \mathrm{m}$
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠DAB=20°：
$\tan20°=\frac{BD}{AB}$，则$BD=AB·\tan20°\approx34.64×0.364\approx12.61\ \mathrm{m}$
因此$CD=BC-BD\approx20-12.61\approx7.4\ \mathrm{m}$
【答案】
7.4
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数应用，坡角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题核心是抓住两个直角三角形的公共水平边AB，将所求线段转化为两个直角三角形对应边长的差，结合题目给出的参考数据计算即可，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在坡角问题中的实际应用，解题思路如下：首先观察图形可知CD=BC-BD，BC是原斜坡的铅直高度，BD是改造后斜坡的铅直高度，两个高度对应的直角三角形有公共水平边AB。第一步先在Rt△ABC中，利用已知的坡长AC和坡角30°，通过锐角三角函数求出BC、AB的长度；第二步在Rt△ABD中，利用求出的AB和改造后的坡角20°，通过正切函数求出BD的长度；最后作差得到CD的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，AC=40m：
$\sin30°=\frac{BC}{AC}$，则$BC=AC·\sin30°=40×\frac{1}{2}=20\ \mathrm{m}$
$\cos30°=\frac{AB}{AC}$，则$AB=AC·\cos30°=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx20×1.732=34.64\ \mathrm{m}$
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠DAB=20°：
$\tan20°=\frac{BD}{AB}$，则$BD=AB·\tan20°\approx34.64×0.364\approx12.61\ \mathrm{m}$
因此$CD=BC-BD\approx20-12.61\approx7.4\ \mathrm{m}$
【答案】
7.4
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数应用，坡角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题核心是抓住两个直角三角形的公共水平边AB，将所求线段转化为两个直角三角形对应边长的差，结合题目给出的参考数据计算即可，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
11. 滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题。
【方案设计】如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE（BE // AG），使CE = 1 m，并将原来的滑梯CF改为EG。（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
【测量数据】滑梯的高CD = 1.8 m，滑梯CF的坡比为3：4，滑梯EG的坡角∠EGD = 32°。
【解决问题】
(1)求滑梯CF的长度。
(2)调整后的滑梯会多占多长一段地面（即求FG的长）？
（参考数据：$\sin 32° \approx \frac{17}{32}$，$\cos 32° \approx \frac{17}{20}$，$\tan 32° \approx \frac{5}{8}$）
【方案设计】如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE（BE // AG），使CE = 1 m，并将原来的滑梯CF改为EG。（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
【测量数据】滑梯的高CD = 1.8 m，滑梯CF的坡比为3：4，滑梯EG的坡角∠EGD = 32°。
【解决问题】
(1)求滑梯CF的长度。
(2)调整后的滑梯会多占多长一段地面（即求FG的长）？
（参考数据：$\sin 32° \approx \frac{17}{32}$，$\cos 32° \approx \frac{17}{20}$，$\tan 32° \approx \frac{5}{8}$）
答案
11. 解:(1)由题意可得,$CD:CF=3:5$。
因为 $CD=1.8\ \mathrm{m}$,所以 $1.8:CF=3:5$,解得 $CF=3$,
所以滑梯 $CF$ 的长度为 $3\ \mathrm{m}$。
(2)如图,过点 $E$ 作直线 $AG$ 的垂线,垂足为点 $H$。
因为 $CD⊥ AG$,所以 $CD// EH$。
因为 $BE// AG$,所以 $EH=CD=1.8\ \mathrm{m},DH=CE=1\ \mathrm{m}$,
所以 $DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=2.4\ \mathrm{m}$。
因为 $\tan∠ EGH=\dfrac{EH}{HG}=\dfrac{5}{8}$,即 $\dfrac{1.8}{HG}=\dfrac{5}{8}$,解得 $HG=2.88$,
所以 $FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$。
答:调整后的滑梯会多占 $1.48\ \mathrm{m}$ 长的地面。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先明确坡比是铅直高度与水平宽度的比值，由CF的坡比3:4可得Rt△CDF中CD:DF=3:4，结合勾股定理可推出三边比CD:DF:CF=3:4:5，已知CD的长度，按比例即可求出CF的长。
(2) 求解第二问时，要求多占的地面长度FG，需先构造辅助线：过E作EH⊥AG于H，易得四边形CDHE是矩形，可得EH=CD、DH=CE。先利用勾股定理求出原滑梯的水平宽度DF，再结合∠EGD的正切值求出HG的长度，最后根据线段的和差关系FG=DH+HG-DF即可算出结果。
【解析】
(1) 由题意可知，滑梯CF的坡比为3:4，即铅直高度CD与水平宽度DF的比为3:4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得$CD:DF:CF=3:4:5$，
已知$CD=1.8\ \mathrm{m}$，代入比例得$1.8:CF=3:5$，
解得$CF=3\ \mathrm{m}$。
(2) 如图，过点$E$作直线$AG$的垂线，垂足为点$H$。
$\because CD⊥ AG$，$EH⊥ AG$，$\therefore CD// EH$，
又$\because BE// AG$，$\therefore$四边形$CDHE$是矩形，
$\therefore EH=CD=1.8\ \mathrm{m}$，$DH=CE=1\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDF中，$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{3^2-1.8^2}=2.4\ \mathrm{m}$，
在Rt△EHG中，$∠ EGH=32°$，$\tan32°\approx\frac{5}{8}=\frac{EH}{HG}$，
将$EH=1.8\ \mathrm{m}$代入得$\frac{1.8}{HG}=\frac{5}{8}$，解得$HG=2.88\ \mathrm{m}$，
$\therefore FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 滑梯$CF$的长度为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 调整后的滑梯会多占$1.48\ \mathrm{m}$长的地面。
【知识点】
解直角三角形的应用、坡比与坡角、矩形的性质
【点评】
本题以生活中滑梯改造的实际场景为载体，将实际问题转化为几何计算问题，考查了坡比、坡角的概念，以及勾股定理、三角函数和矩形性质的应用，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，贴合生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先明确坡比是铅直高度与水平宽度的比值，由CF的坡比3:4可得Rt△CDF中CD:DF=3:4，结合勾股定理可推出三边比CD:DF:CF=3:4:5，已知CD的长度，按比例即可求出CF的长。
(2) 求解第二问时，要求多占的地面长度FG，需先构造辅助线：过E作EH⊥AG于H，易得四边形CDHE是矩形，可得EH=CD、DH=CE。先利用勾股定理求出原滑梯的水平宽度DF，再结合∠EGD的正切值求出HG的长度，最后根据线段的和差关系FG=DH+HG-DF即可算出结果。
【解析】
(1) 由题意可知，滑梯CF的坡比为3:4，即铅直高度CD与水平宽度DF的比为3:4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得$CD:DF:CF=3:4:5$，
已知$CD=1.8\ \mathrm{m}$，代入比例得$1.8:CF=3:5$，
解得$CF=3\ \mathrm{m}$。
(2) 如图，过点$E$作直线$AG$的垂线，垂足为点$H$。
$\because CD⊥ AG$，$EH⊥ AG$，$\therefore CD// EH$，
又$\because BE// AG$，$\therefore$四边形$CDHE$是矩形，
$\therefore EH=CD=1.8\ \mathrm{m}$，$DH=CE=1\ \mathrm{m}$。
在Rt△CDF中，$DF=\sqrt{CF^2-CD^2}=\sqrt{3^2-1.8^2}=2.4\ \mathrm{m}$，
在Rt△EHG中，$∠ EGH=32°$，$\tan32°\approx\frac{5}{8}=\frac{EH}{HG}$，
将$EH=1.8\ \mathrm{m}$代入得$\frac{1.8}{HG}=\frac{5}{8}$，解得$HG=2.88\ \mathrm{m}$，
$\therefore FG=DH+HG-DF=1+2.88-2.4=1.48(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 滑梯$CF$的长度为$3\ \mathrm{m}$；
(2) 调整后的滑梯会多占$1.48\ \mathrm{m}$长的地面。
【知识点】
解直角三角形的应用、坡比与坡角、矩形的性质
【点评】
本题以生活中滑梯改造的实际场景为载体，将实际问题转化为几何计算问题，考查了坡比、坡角的概念，以及勾股定理、三角函数和矩形性质的应用，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，贴合生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
