登录
1. 如图,这是某幼儿园的滑梯的简易图,已知滑梯AB的坡比是1:3,滑梯的水平宽度AC=6 m,则高BC为 (
A.3 m
B.5 m
C.2 m
D.4 m
C
)A.3 m
B.5 m
C.2 m
D.4 m
答案
1. C
解析
【分析】
首先回忆坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，本题中滑梯AB的坡比对应垂直高度BC和水平宽度AC的比，已知AC的长度，我们可以直接根据坡比的比例关系列式计算出BC的长度。
【解析】
根据坡比的定义，滑梯AB的坡比为垂直高度BC与水平宽度AC的比值，即：
$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$
已知水平宽度$AC=6\ \mathrm{m}$，将其代入上式可得：
$BC=AC×\frac{1}{3}=6×\frac{1}{3}=2\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义、比例计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对坡比概念的掌握，解题关键是明确坡比是垂直高度和水平宽度的比值，不要混淆比的前后项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
首先回忆坡比的定义：坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，本题中滑梯AB的坡比对应垂直高度BC和水平宽度AC的比，已知AC的长度，我们可以直接根据坡比的比例关系列式计算出BC的长度。
【解析】
根据坡比的定义，滑梯AB的坡比为垂直高度BC与水平宽度AC的比值，即：
$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$
已知水平宽度$AC=6\ \mathrm{m}$，将其代入上式可得：
$BC=AC×\frac{1}{3}=6×\frac{1}{3}=2\ \mathrm{m}$
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义、比例计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对坡比概念的掌握，解题关键是明确坡比是垂直高度和水平宽度的比值，不要混淆比的前后项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 已知一个斜坡的坡角为$30°$，则这个斜坡的坡比为（
A.$1:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
C
）A.$1:2$
B.$\sqrt{3}:2$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确坡比的定义，其次要理清坡比和坡角之间的数量关系：坡比等于坡角的正切值，最后代入30°的正切值计算，将结果转化为比的形式后对应选项即可。思考时要注意坡比是铅直高度与水平宽度的比，不要将分子分母搞反。
【解析】
解：坡比的定义是斜坡的铅直高度$h$与水平宽度$l$的比值，记为$i$，即$i=\frac{h}{l}$。
设坡角为$α$，根据锐角三角函数的定义，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{l}$，因此坡比$i=\tanα$。
已知坡角$α=30°$，代入得$i=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即坡比为$1:\sqrt{3}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义；坡角与坡比的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对坡比、坡角相关概念的理解，以及特殊角三角函数值的记忆，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确坡比的定义，其次要理清坡比和坡角之间的数量关系：坡比等于坡角的正切值，最后代入30°的正切值计算，将结果转化为比的形式后对应选项即可。思考时要注意坡比是铅直高度与水平宽度的比，不要将分子分母搞反。
【解析】
解：坡比的定义是斜坡的铅直高度$h$与水平宽度$l$的比值，记为$i$，即$i=\frac{h}{l}$。
设坡角为$α$，根据锐角三角函数的定义，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{l}$，因此坡比$i=\tanα$。
已知坡角$α=30°$，代入得$i=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即坡比为$1:\sqrt{3}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义；坡角与坡比的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对坡比、坡角相关概念的理解，以及特殊角三角函数值的记忆，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡比为（
A.$1:2$
B.$30°$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
C
）A.$1:2$
B.$30°$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确坡比的定义：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值，注意与坡角（斜坡与水平面的夹角）区分，也不能误认为是铅直高度与坡面长度的比值。本题已知坡面长度（直角三角形的斜边）和铅直高度（直角三角形的一条直角边），第一步先利用勾股定理求出水平宽度（另一条直角边），第二步根据坡比定义计算比值，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据勾股定理，先计算斜坡的水平宽度：
水平宽度 = $\sqrt{坡面长^2 - 铅直高度^2} = \sqrt{30^2 - 15^2} = \sqrt{900 - 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$（米）
由坡比的定义可知，坡比$i = $铅直高度$:$水平宽度$=15:15\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$
选项B为角度，是坡角不是坡比，直接排除，计算结果与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题是基础概念类应用题，核心是牢记坡比的定义，不要混淆坡比和坡角，也不要颠倒坡比的前后项，计算过程中熟练运用勾股定理和二次根式化简的规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确坡比的定义：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值，注意与坡角（斜坡与水平面的夹角）区分，也不能误认为是铅直高度与坡面长度的比值。本题已知坡面长度（直角三角形的斜边）和铅直高度（直角三角形的一条直角边），第一步先利用勾股定理求出水平宽度（另一条直角边），第二步根据坡比定义计算比值，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据勾股定理，先计算斜坡的水平宽度：
水平宽度 = $\sqrt{坡面长^2 - 铅直高度^2} = \sqrt{30^2 - 15^2} = \sqrt{900 - 225} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$（米）
由坡比的定义可知，坡比$i = $铅直高度$:$水平宽度$=15:15\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$
选项B为角度，是坡角不是坡比，直接排除，计算结果与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
坡比的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题是基础概念类应用题，核心是牢记坡比的定义，不要混淆坡比和坡角，也不要颠倒坡比的前后项，计算过程中熟练运用勾股定理和二次根式化简的规则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，人民币一角硬币的正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形外接圆的半径是$R$，那么它的边长是（
A.$R\sin20°$
B.$R\sin40°$
C.$2R\sin20°$
D.$2R\sin40°$
C
）A.$R\sin20°$
B.$R\sin40°$
C.$2R\sin20°$
D.$2R\sin40°$
答案
4. C
解析
【分析】
要计算正九边形的边长，首先利用正多边形外接圆的性质，先求出正九边形每条边对应的中心角的度数；再结合等腰三角形三线合一的性质，过圆心作边长的垂线，将求边长的问题转化为解直角三角形的问题，利用锐角三角函数求出一半的边长，再乘2即可得到正九边形的边长。
【解析】
解：已知正九边形的外接圆半径为$R$，
1. 计算中心角：正九边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{9}=40°$，且$OA=OB=R$，$△ OAB$为等腰三角形。
2. 构造直角三角形：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=20°$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
3. 解直角三角形求边长：在$Rt△ AOC$中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，因此$AC=OA·\sin20°=R\sin20°$，则正九边形的边长$AB=2AC=2R\sin20°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，解直角三角形，等腰三角形性质
【点评】
本题是正多边形边长计算的典型题型，解题核心是将正多边形的边长计算转化为解直角三角形问题，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的边角关系。
【难度系数】
0.7
要计算正九边形的边长，首先利用正多边形外接圆的性质，先求出正九边形每条边对应的中心角的度数；再结合等腰三角形三线合一的性质，过圆心作边长的垂线，将求边长的问题转化为解直角三角形的问题，利用锐角三角函数求出一半的边长，再乘2即可得到正九边形的边长。
【解析】
解：已知正九边形的外接圆半径为$R$，
1. 计算中心角：正九边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{9}=40°$，且$OA=OB=R$，$△ OAB$为等腰三角形。
2. 构造直角三角形：过点$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=20°$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
3. 解直角三角形求边长：在$Rt△ AOC$中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，因此$AC=OA·\sin20°=R\sin20°$，则正九边形的边长$AB=2AC=2R\sin20°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆，解直角三角形，等腰三角形性质
【点评】
本题是正多边形边长计算的典型题型，解题核心是将正多边形的边长计算转化为解直角三角形问题，需要熟练掌握正多边形中心角的计算方法、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的边角关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图，小丽从点A出发，沿坡角∠A为$10°$的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（
A.$\frac{120}{\tan10°}$米
B.$\frac{120}{\sin10°}$米
C.$120\tan10°$米
D.$120\sin10°$米
D
）A.$\frac{120}{\tan10°}$米
B.$\frac{120}{\sin10°}$米
C.$120\tan10°$米
D.$120\sin10°$米
答案
5. D
解析
【分析】
遇到坡角相关的高度计算问题，首先将坡面问题转化为直角三角形问题：过点B向水平地面作垂线，得到直角三角形，其中坡道AB长度是直角三角形的斜边，垂直升高的高度是∠A的对边。接下来回忆锐角三角函数的定义，已知斜边和锐角，求对边，应选用正弦函数列式计算即可得到结果。
【解析】
过点B作BC垂直于点A所在的水平线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°。
由题意可知：AB=120米，∠A=10°，要求的垂直升高高度为BC的长。
在Rt△ABC中，根据正弦函数的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
变形可得：$BC=AB·\sin A=120\sin10°$（米）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正弦函数的定义；解直角三角形的应用；坡角的概念
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，解题的关键是将实际的坡面问题转化为直角三角形模型，准确判断已知边和所求边对应锐角的位置关系，选择正确的三角函数列式即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
遇到坡角相关的高度计算问题，首先将坡面问题转化为直角三角形问题：过点B向水平地面作垂线，得到直角三角形，其中坡道AB长度是直角三角形的斜边，垂直升高的高度是∠A的对边。接下来回忆锐角三角函数的定义，已知斜边和锐角，求对边，应选用正弦函数列式计算即可得到结果。
【解析】
过点B作BC垂直于点A所在的水平线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°。
由题意可知：AB=120米，∠A=10°，要求的垂直升高高度为BC的长。
在Rt△ABC中，根据正弦函数的定义：$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
变形可得：$BC=AB·\sin A=120\sin10°$（米）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正弦函数的定义；解直角三角形的应用；坡角的概念
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，解题的关键是将实际的坡面问题转化为直角三角形模型，准确判断已知边和所求边对应锐角的位置关系，选择正确的三角函数列式即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
6. 已知一个山坡的坡比为1：1，则山坡的坡角为
45°
。答案
6. 45°
解析
【分析】解题时首先要明确坡比和坡角的关系：坡比是坡面铅直高度与水平宽度的比值，数值上等于坡角的正切值。我们先根据已知坡比得到坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值即可求出坡角度数。
【解析】设该山坡的坡角为$α$（$0°＜α＜90°$），
根据坡比的定义可知，坡比$i=\tanα$，
已知坡比为$1:1$，即$\tanα=\frac{1}{1}=1$，
结合特殊角的三角函数值，可得$α=45°$。
【答案】$45°$
【知识点】坡比的定义；特殊角的三角函数值
【点评】本题属于基础概念类题目，熟练掌握坡比与坡角的对应关系，熟记常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】设该山坡的坡角为$α$（$0°＜α＜90°$），
根据坡比的定义可知，坡比$i=\tanα$，
已知坡比为$1:1$，即$\tanα=\frac{1}{1}=1$，
结合特殊角的三角函数值，可得$α=45°$。
【答案】$45°$
【知识点】坡比的定义；特殊角的三角函数值
【点评】本题属于基础概念类题目，熟练掌握坡比与坡角的对应关系，熟记常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】0.9
7. 一段拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{3}$，坝高$BC=6\ \mathrm{m}$，则坡面AB的长度为
12 m
。答案
7. 12 m
解析
【分析】
解题时首先明确坡比的定义：坡面的垂直高度与水平宽度的比值叫做坡比。本题已知迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{3}$，即垂直高度BC与水平宽度AC的比为$1:\sqrt{3}$，结合已知的坝高BC=6m，可先求出AC的长度，再利用直角三角形的勾股定理或者特殊角的三角函数值求出坡面AB的长度。
【解析】
解：
∵迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
又
∵$BC=6\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{6}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$。
（也可利用特殊角性质：由$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$得$∠ A=30°$，直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半，故$AB=2BC=12\ \mathrm{m}$）
【答案】
12 m
【知识点】
坡比的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是正确理解坡比的含义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确坡比的定义：坡面的垂直高度与水平宽度的比值叫做坡比。本题已知迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{3}$，即垂直高度BC与水平宽度AC的比为$1:\sqrt{3}$，结合已知的坝高BC=6m，可先求出AC的长度，再利用直角三角形的勾股定理或者特殊角的三角函数值求出坡面AB的长度。
【解析】
解：
∵迎水坡AB的坡比为$1:\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
又
∵$BC=6\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{6}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$。
（也可利用特殊角性质：由$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}$得$∠ A=30°$，直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半，故$AB=2BC=12\ \mathrm{m}$）
【答案】
12 m
【知识点】
坡比的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题关键是正确理解坡比的含义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，把一根长为4.5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，求坝高CF。
答案
8. 解:由题意得,$DE⊥ AB,CF⊥ AB,AC=4.5\ \mathrm{m}$。
因为 $\sin A=\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CF}{AC}$,
所以 $CF=\dfrac{4.5×0.6}{1}=2.7(\mathrm{m})$。故坝高 $CF$ 为$2.7\ \mathrm{m}$。
因为 $\sin A=\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CF}{AC}$,
所以 $CF=\dfrac{4.5×0.6}{1}=2.7(\mathrm{m})$。故坝高 $CF$ 为$2.7\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
首先观察图形可知DE、CF都垂直于AB，因此△ADE和△ACF都是直角三角形，且二者有公共角∠A。同一个锐角的三角函数值是固定的，因此可以利用∠A的正弦值在两个直角三角形中的表达式相等建立比例关系，代入已知线段长度即可求出坝高CF。
【解析】
由题意得，$DE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，$AC=4.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\sin A=\dfrac{DE}{AD}$；在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，$\sin A=\dfrac{CF}{AC}$，因此可得：
$\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CF}{AC}$
将$AD=1\ \mathrm{m}$，$DE=0.6\ \mathrm{m}$，$AC=4.5\ \mathrm{m}$代入上式，计算得：
$CF=\dfrac{AC · DE}{AD}=\dfrac{4.5 × 0.6}{1}=2.7(\mathrm{m})$
【答案】
$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是实际测量类基础题，利用公共锐角的三角函数值相等建立等量关系求解，解题核心是掌握同角的三角函数值相等的性质，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知DE、CF都垂直于AB，因此△ADE和△ACF都是直角三角形，且二者有公共角∠A。同一个锐角的三角函数值是固定的，因此可以利用∠A的正弦值在两个直角三角形中的表达式相等建立比例关系，代入已知线段长度即可求出坝高CF。
【解析】
由题意得，$DE ⊥ AB$，$CF ⊥ AB$，$AC=4.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\sin A=\dfrac{DE}{AD}$；在$\mathrm{Rt}△ ACF$中，$\sin A=\dfrac{CF}{AC}$，因此可得：
$\dfrac{DE}{AD}=\dfrac{CF}{AC}$
将$AD=1\ \mathrm{m}$，$DE=0.6\ \mathrm{m}$，$AC=4.5\ \mathrm{m}$代入上式，计算得：
$CF=\dfrac{AC · DE}{AD}=\dfrac{4.5 × 0.6}{1}=2.7(\mathrm{m})$
【答案】
$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是实际测量类基础题，利用公共锐角的三角函数值相等建立等量关系求解，解题核心是掌握同角的三角函数值相等的性质，难度较低。
【难度系数】
0.8
