10. 对于任意锐角α和β，给出下列说法：
①$0＜\sinα＜1,0＜\cosβ＜1$；
②如果$α＜β$，那么$\cosα＜\cosβ$；
③如果$\sinα＜\sinβ$，那么$α＜β$；
④如果$\tanα · \tanβ=1$，那么$α+β=90°$。
其中正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

10. C

【分析】
本题考查锐角三角函数的相关性质，解题思路是结合锐角的范围（0°＜角度＜90°），逐个分析4个说法是否符合锐角三角函数的取值范围、增减性以及互余角的三角函数关系，最终统计正确说法的数量得到答案。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
1. 判断①：因为α、β都是锐角，即0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，锐角的正弦值随角度增大从0递增到1，锐角的余弦值随角度增大从1递减到0，因此可得$0＜\sinα＜1$，$0＜\cosβ＜1$，①正确。
2. 判断②：余弦函数在锐角范围内，角度越大，余弦值越小。若$α＜β$，则$\cosα＞\cosβ$，因此②错误。
3. 判断③：正弦函数在锐角范围内，角度越大，正弦值越大。若$\sinα＜\sinβ$，则可得$α＜β$，③正确。
4. 判断④：若$\tanα · \tanβ=1$，则$\tanα=\frac{1}{\tanβ}=\cotβ$，而$\cotβ=\tan(90°-β)$，又因为α、β都是锐角，因此$α=90°-β$，即$α+β=90°$，④正确。
综上，正确的说法有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的取值范围；锐角三角函数的增减性；互余两角的三角函数关系
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础性质应用题，解题的关键是准确区分正弦、余弦在锐角范围内的增减性，牢记互余角的正切关系，逐一排查即可得出结论，容易出错的点是混淆余弦的增减规律。
【难度系数】
0.7

11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$AB=2\sqrt{19}$，则$∠ A$的大小为________。（精确到$0.1°$）

11. $23.4°$

【分析】
本题是直角三角形中求锐角度数的问题，解题思路如下：第一步，明确Rt△ABC中∠A的邻边为AC、斜边为AB，结合已知的两条边长，选择余弦函数建立关系（余弦是邻边与斜边的比值，刚好对应已知的两条边）；第二步，代入数值计算出cosA的比值；第三步，利用计算器的反余弦功能求出∠A的度数，最后按要求精确到0.1°即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据余弦的定义可得：$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$，
将$AC=8$，$AB=2\sqrt{19}$代入得：
$\cos A = \frac{8}{2\sqrt{19}} = \frac{4}{\sqrt{19}} \approx \frac{4}{4.3589} \approx 0.9176$，
通过计算器计算反余弦可得：$∠ A \approx 23.4°$。
【答案】
$23.4°$
【知识点】
余弦的定义；由三角函数值求锐角
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是结合已知边的类型选择对应的锐角三角函数，计算三角函数值时要注意区分角的对边和邻边，避免混淆导致出错。
【难度系数】
0.8

12. 已知下列三角函数值，用计算器求锐角A和B的度数，并从中总结规律。
(1)$\sin A=0.3547,\cos B=0.3547$。
(2)$\sin A=0.65,\cos B=0.65$。

12. 解:(1)由$\sin A=0.354\ 7$可得$∠ A\approx20.78°$,
由$\cos B=0.354\ 7$可得$∠ B\approx69.22°$,
由此可得$∠ A+∠ B=90°$。
(2)由$\sin A=0.65$可得$∠ A\approx40.54°$,
由$\cos B=0.65$可得$∠ B\approx49.46°$,
由此可得$∠ A+∠ B=90°$。
规律:任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。

【分析】
本题分为计算和找规律两步：第一步，需要熟练使用计算器的反三角函数功能，根据给出的正弦值求锐角A，根据余弦值求锐角B；第二步，将每组求得的∠A和∠B相加，对比两组的计算结果，归纳出通用的三角函数规律。
【解析】
(1) 利用计算器求反正弦值，由$\sin A=0.3547$，可得$∠ A\approx20.78°$；
利用计算器求反余弦值，由$\cos B=0.3547$，可得$∠ B\approx69.22°$；
计算得$∠ A+∠ B\approx20.78°+69.22°=90°$。
(2) 同理，由$\sin A=0.65$，可得$∠ A\approx40.54°$；
由$\cos B=0.65$，可得$∠ B\approx49.46°$；
计算得$∠ A+∠ B\approx40.54°+49.46°=90°$。
观察两组结果可总结规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。
【答案】
(1)$∠ A\approx20.78°$，$∠ B\approx69.22°$，$∠ A+∠ B=90°$；
(2)$∠ A\approx40.54°$，$∠ B\approx49.46°$，$∠ A+∠ B=90°$；
规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。
【知识点】
1. 已知三角函数值求锐角
2. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题既考查了使用计算器由三角函数值求锐角的实操能力，又引导学生自主探究正弦与余弦函数的内在关联，所得规律可为后续三角函数化简、计算提供便利。
【难度系数】
0.8

13. 某公园“六一”前新增设了一架滑梯，其示意图如下。该滑梯的高度$AC=3\ \mathrm{m}$，滑梯着地点$B$与梯架之间的距离$BC=4\ \mathrm{m}$。
(1)求滑梯$AB$的长。
(2)若规定滑梯的倾斜角($∠ ABC$)超过$30°$而不超过$45°$符合规格要求。请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求。

13. 解:(1)$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=5\ \mathrm{m}$。
(2) 因为$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}=0.75$,所以$∠ ABC\approx37°$。
又因为$30°＜37°＜45°$,
所以这架滑梯的倾斜角符合要求。

【分析】
(1) 首先观察图形可知$△ ACB$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，已知两条直角边$AC$、$BC$的长度，要求斜边$AB$的长，直接使用勾股定理计算即可。
(2) 要判断倾斜角是否符合要求，首先需要求出$∠ ABC$的度数：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ ABC$的对边$AC$和邻边$BC$的长度，可先计算$∠ ABC$的正切值，再根据正切值求出对应角度，最后将角度和规定的$30°∼45°$范围对比即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得$∠ ACB=90°$，$AC=3\ \mathrm{m}$，$BC=4\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m}$
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}=0.75$，计算得$∠ ABC\approx37°$。
已知符合规格的倾斜角范围是$30°＜∠ ABC≤45°$，显然$30°＜37°＜45°$，因此该滑梯的倾斜角符合要求。
【答案】
(1) 滑梯$AB$的长为$5\ \mathrm{m}$；
(2) 这架滑梯的倾斜角符合要求。
【知识点】
勾股定理，正切的定义，锐角三角函数计算
【点评】
本题结合生活中的滑梯场景考查直角三角形的相关应用，解题关键是熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的计算方法，能将实际问题转化为直角三角形的计算问题求解。
【难度系数】
0.7