例1 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AD⊥ BC$于点$D$,则下列结论中不正确的是 ()

A.$\sin B = \frac{AD}{AB}$
B.$\sin B = \frac{AC}{BC}$
C.$\sin B = \frac{AD}{AC}$
D.$\sin B = \frac{CD}{AC}$

例1题图

变式题图

C

【分析】
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。其次利用直角三角形两锐角互余的性质，推导得出∠B=∠CAD，再逐一判断每个选项是否符合正弦的定义即可。
【解析】
1. 验证选项B：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据正弦定义，$\sin B = \frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{BC}$，故B选项正确，不符合题意。
2. 验证选项A：$\because AD⊥ BC$，$\therefore △ ABD$是直角三角形，$∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\sin B = \frac{AD}{AB}$，故A选项正确，不符合题意。
3. 推导等角关系：$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ B + ∠ C = 90°$；又$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，$∠ CAD + ∠ C = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ B = ∠ CAD$。
4. 验证选项D：在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$\sin∠ CAD = \frac{∠ CAD的对边}{斜边}=\frac{CD}{AC}$，$\because ∠ B = ∠ CAD$，$\therefore \sin B = \frac{CD}{AC}$，故D选项正确，不符合题意。
5. 验证选项C：在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$\frac{AD}{AC} = \cos∠ CAD = \cos B ≠ \sin B$，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义；同角的余角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角函数基础题，核心考查锐角三角函数的定义和直角三角形的角的关系，解题的关键是找到和∠B相等的角，再结合正弦定义逐一排查选项，熟练掌握基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.7

变式 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，AB=5，BD=4，则$\sin∠ ECB=$。

$\frac{4}{5}$

【分析】
要求$\sin∠ ECB$，首先观察到$∠ ECB$是圆内接四边形的外角，可利用圆内接四边形的性质将其转化为相等的内角$∠ BAD$；再结合$AB$是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$△ ADB$是直角三角形，最后在直角三角形中利用正弦的定义计算即可。
【解析】
解：连接$AD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore ∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，
又$\because ∠ ECB + ∠ BCD = 180°$，
$\therefore ∠ ECB = ∠ BAD$（同角的补角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AB=5$，$BD=4$，
根据锐角正弦的定义：$\sin∠ BAD=\frac{\mathrm{∠BAD的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore \sin∠ ECB=\sin∠ BAD=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是圆与三角函数的综合题，解题核心是利用转化思想，将未知角转化为直角三角形中的内角求解，掌握圆的基本性质和三角函数定义是解题的基础。
【难度系数】
0.7

例2 如图,在小山的东侧A处有一热气球,以20 m/min的速度沿着仰角为60°的方向上升,20 min后升到B处,这时热气球上的人发现在A的正西方向的C处有一着火点,并测得点C的俯角为45°,求热气球的升空点A与着火点C之间的距离。(结果保留根号)

解:如图,过点B作BD⊥CA于点D,
依题意得 $AB=20×20=400(\mathrm{m})$,
$∠BAD=60°$,
$∠BCD=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BAD$中,
$BD=AB\sin∠BAD=400×\sin 60°$
$=400×\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$AD=AB\cos∠BAD=400×\cos 60°=400×\frac{1}{2}=200(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中,$CD=BD=200\sqrt{3}\mathrm{m}$,
所以$AC=CD-AD=(200\sqrt{3}-200)\mathrm{m}$,
即热气球的升空点A与着火点C之间的距离为$(200\sqrt{3}-200)\mathrm{m}$。

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先根据“路程=速度×时间”计算出AB的长度；接下来为了利用已知的仰角和俯角条件，过点B作BD垂直于CA所在直线，构造出两个直角三角形；先在Rt△BAD中，利用60°的正弦、余弦值分别求出BD、AD的长度；再根据Rt△BCD中45°角的性质得到CD=BD，最后通过CD与AD的差即可求出A、C之间的距离。
【解析】
如图，过点B作BD⊥CA于点D，
依题意得 $AB=20×20=400(\mathrm{m})$，$∠BAD=60°$，$∠BCD=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BAD$中，
$BD=AB\sin∠BAD=400×\sin 60°=400×\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$AD=AB\cos∠BAD=400×\cos 60°=400×\frac{1}{2}=200(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠BCD=45°$，因此$CD=BD=200\sqrt{3}\mathrm{m}$，
所以$AC=CD-AD=(200\sqrt{3}-200)\mathrm{m}$。
【答案】
热气球的升空点A与着火点C之间的距离为$(200\sqrt{3}-200)\mathrm{m}$。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角三角函数
3. 仰角俯角的概念
【点评】
本题是三角函数实际应用的典型习题，考查了将实际问题转化为几何问题的建模能力，解题的关键是正确理解仰角、俯角的含义，通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值和线段的和差关系求解。
【难度系数】
0.7

变式 某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图。在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40 m，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A，B与电塔底部C在同一直线上。
(1)求点B到AD的距离。
(2)求高压电塔CD的高度。(结果保留根号)

解:(1)过点 B 作 $BE⊥AD$ 于点 E,如图。
因为$∠A=30°$,
所以 $BE=AB\sin A=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{m})$,
所以点 B 到 AD 的距离为 20 m。
(2)由(1)得 $BE=20\ \mathrm{m}$,
因为$∠A=30°$,所以 $AE=AB\cos A=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
又因为$∠DBC=75°$,
所以$∠ADB=∠DBC-∠A=75°-30°=45°$,
所以 $DE=BE=20\ \mathrm{m}$,
所以 $AD=DE+AE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}$。
因为$∠C=90°,∠A=30°$,
所以 $CD=AD\sin A=(20+20\sqrt{3})×\frac{1}{2}=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
所以高压电塔 CD 的高度为$(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$。

【分析】
（1）求点B到AD的距离，根据点到直线距离的定义，过点B作BE⊥AD于E，构造Rt△ABE，已知AB=40m，∠A=30°，利用锐角三角函数中正弦的定义即可求出BE的长度，即为所求距离。
（2）先在Rt△ABE中利用余弦求出AE的长度，再根据三角形外角的性质，由∠DBC=75°、∠A=30°，可推出∠ADB=45°，得到Rt△BED为等腰直角三角形，即DE=BE，由此可求出AD的总长度；最后在Rt△ACD中，利用30°角的正弦性质即可求出CD的高度。
【解析】
(1) 过点 B 作 $BE⊥AD$ 于点 E，如图。
已知$∠A=30°$，在$Rt△ ABE$中，根据正弦函数的定义：
$BE=AB·\sin A=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{m})$，
即点 B 到 AD 的距离为 20 m。
(2) 由(1)得 $BE=20\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ABE$中，$∠A=30°$，根据余弦函数的定义：
$AE=AB·\cos A=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
根据三角形外角的性质，$∠DBC$是$△ ABD$的外角，因此：
$∠ADB=∠DBC-∠A=75°-30°=45°$，
所以$Rt△ BED$为等腰直角三角形，$DE=BE=20\ \mathrm{m}$，
因此$AD=DE+AE=(20+20\sqrt{3})\mathrm{m}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠C=90°,∠A=30°$，根据正弦函数的定义：
$CD=AD·\sin A=(20+20\sqrt{3})×\frac{1}{2}=(10+10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 点B到AD的距离为$\boldsymbol{20\ \mathrm{m}}$；
(2) 高压电塔CD的高度为$\boldsymbol{(10+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。

【知识点】
锐角三角函数应用，三角形外角性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，通过作垂线段构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值和三角形的基本性质即可求解，考查了将实际场景转化为几何模型的应用能力。
【难度系数】
0.7