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1. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，若$DE// BC$，$AD:DB=2:3$，$DE=6$，则$BC$的长为 （
A.9
B.12
C.15
D.18
C
）A.9
B.12
C.15
D.18
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件DE//BC入手，根据相似三角形的判定定理可直接得到△ADE与△ABC相似；接着结合AD:DB=2:3，推导得到两个三角形的相似比AD:AB；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度，即可求解出BC的长。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵AD:DB=2:3，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
将DE=6代入$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，得：
$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得$BC=\frac{6×5}{2}=15$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题的关键是熟练掌握由平行线判定三角形相似的规则，以及相似三角形对应边成比例的性质，只要准确求出相似比即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件DE//BC入手，根据相似三角形的判定定理可直接得到△ADE与△ABC相似；接着结合AD:DB=2:3，推导得到两个三角形的相似比AD:AB；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度，即可求解出BC的长。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵AD:DB=2:3，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
将DE=6代入$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，得：
$\frac{6}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得$BC=\frac{6×5}{2}=15$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，解题的关键是熟练掌握由平行线判定三角形相似的规则，以及相似三角形对应边成比例的性质，只要准确求出相似比即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$AB// CD$，若$OD=6$，$CD=4$，$AB=8$，则$BD$的长是 （
A.12
B.14
C.16
D.18
D
）A.12
B.14
C.16
D.18
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察图形，已知$AB// CD$，结合平行线的性质可得到两个三角形的对应内错角相等，以此判定$△ AOB$和$△ COD$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长求出$OB$的长度；最后$BD$的长度为$OB$与$OD$的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore △ AOB∽△ COD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$
将$AB=8$，$CD=4$，$OD=6$代入上式：
$\frac{8}{4}=\frac{OB}{6}$
解得$OB=12$。
$\therefore BD=OB+OD=12+6=18$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过平行线识别出X型相似的三角形，再利用相似的性质列比例式求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知$AB// CD$，结合平行线的性质可得到两个三角形的对应内错角相等，以此判定$△ AOB$和$△ COD$相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长求出$OB$的长度；最后$BD$的长度为$OB$与$OD$的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore △ AOB∽△ COD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$
将$AB=8$，$CD=4$，$OD=6$代入上式：
$\frac{8}{4}=\frac{OB}{6}$
解得$OB=12$。
$\therefore BD=OB+OD=12+6=18$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过平行线识别出X型相似的三角形，再利用相似的性质列比例式求解线段长度，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AC$上,若$△ ABD ∽ △ ACB$, $∠ A = 80°$, $∠ ADB=70°$,则$∠ DBC$的度数为（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABD中∠ABD的度数，再结合相似三角形的性质，根据相似三角形的顶点对应关系找到相等的对应角，得到∠ABC的度数，最后通过角的和差关系计算∠DBC的度数即可。注意相似三角形的顶点顺序是确定对应角的关键，不能混淆对应关系。
【解析】
解：在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABD = 180° - ∠ A - ∠ ADB = 180° - 80° - 70° = 30°$
∵$△ ABD ∽ △ ACB$，根据相似三角形对应角相等，可得$∠ ABC = ∠ ADB = 70°$
∴$∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 70° - 30° = 40°$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，角的运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确根据相似三角形的顶点对应关系找到对应等角，再结合三角形内角和计算角度，难度不大，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABD中∠ABD的度数，再结合相似三角形的性质，根据相似三角形的顶点对应关系找到相等的对应角，得到∠ABC的度数，最后通过角的和差关系计算∠DBC的度数即可。注意相似三角形的顶点顺序是确定对应角的关键，不能混淆对应关系。
【解析】
解：在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABD = 180° - ∠ A - ∠ ADB = 180° - 80° - 70° = 30°$
∵$△ ABD ∽ △ ACB$，根据相似三角形对应角相等，可得$∠ ABC = ∠ ADB = 70°$
∴$∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD = 70° - 30° = 40°$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，角的运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是准确根据相似三角形的顶点对应关系找到对应等角，再结合三角形内角和计算角度，难度不大，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$∠ BAD = ∠ C$，BE平分$∠ ABC$，分别交AC，AD于点E，F。若$AB=6$，$BC=9$，$BE=7$，则EF的长为（
A.$\frac{14}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{7}{4}$
B
）A.$\frac{14}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{7}{4}$
答案
4. B
解析
【分析】
首先梳理已知条件：已知∠BAD=∠C，BE是∠ABC的角平分线，可得∠ABF=∠CBE。可通过两角对应相等判定△ABF与△CBE相似，再利用相似三角形对应边成比例求出BF的长度，最后用BE的长度减去BF的长度即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBE，
又
∵ ∠BAF = ∠C（已知），
∴ △ABF ∽ △CBE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{CB} = \frac{BF}{BE}$，
将AB=6，BC=9，BE=7代入得：
$\frac{6}{9} = \frac{BF}{7}$，
解得 $BF = \frac{6×7}{9} = \frac{14}{3}$，
∴ $EF = BE - BF = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是结合已知角相等和角平分线的性质找到相似三角形，再借助相似比计算线段长度，解题思路较为直接，掌握相似三角形的判定和性质即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：已知∠BAD=∠C，BE是∠ABC的角平分线，可得∠ABF=∠CBE。可通过两角对应相等判定△ABF与△CBE相似，再利用相似三角形对应边成比例求出BF的长度，最后用BE的长度减去BF的长度即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBE，
又
∵ ∠BAF = ∠C（已知），
∴ △ABF ∽ △CBE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{CB} = \frac{BF}{BE}$，
将AB=6，BC=9，BE=7代入得：
$\frac{6}{9} = \frac{BF}{7}$，
解得 $BF = \frac{6×7}{9} = \frac{14}{3}$，
∴ $EF = BE - BF = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是结合已知角相等和角平分线的性质找到相似三角形，再借助相似比计算线段长度，解题思路较为直接，掌握相似三角形的判定和性质即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$DE// BC$,$∠ ACD=∠ B$,下列结论中错误的是 (
A.$\dfrac{DC^2}{BC^2}=\dfrac{AE}{AC}$
B.$\dfrac{DE^2}{DC^2}=\dfrac{AD}{AB}$
C.$\dfrac{AD^2}{AC^2}=\dfrac{AE}{AB}$
D.$\dfrac{EC^2}{BD^2}=\dfrac{DE}{BC}$
C
)A.$\dfrac{DC^2}{BC^2}=\dfrac{AE}{AC}$
B.$\dfrac{DE^2}{DC^2}=\dfrac{AD}{AB}$
C.$\dfrac{AD^2}{AC^2}=\dfrac{AE}{AB}$
D.$\dfrac{EC^2}{BD^2}=\dfrac{DE}{BC}$
答案
5. C 【解析】因为$∠ ACD=∠ B$,$∠ A=∠ A$,
所以$△ ACD∽△ ABC$,所以$\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,
所以$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$,$AC^2=AD· AB$。
因为$DE// BC$,所以$∠ ADE=∠ B$,
所以$∠ ADE=∠ ACD$。
因为$∠ A=∠ A$,所以$△ ADE∽△ ACD$,
所以$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$,所以$AD^2=AE· AC$,
所以$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AE· AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$,故 A 不符合题意；
因为$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$,且$AC^2=AD· AB$,
所以$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AD· AB}=\frac{AD}{AB}$,故 B 不符合题意；
因为$AD^2=AE· AC$,
所以$\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE· AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{AB}$,故 C 符合题意；
因为$DE// BC$,所以$\frac{EC}{AE}=\frac{BD}{AD}$,所以$\frac{EC}{BD}=\frac{AE}{AD}$,
所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AD^2}=\frac{AE^2}{AE· AC}=\frac{AE}{AC}$。
因为$△ ADE∽△ ABC$,所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{DE}{BC}$,
故 D 不符合题意。
所以$△ ACD∽△ ABC$,所以$\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,
所以$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$,$AC^2=AD· AB$。
因为$DE// BC$,所以$∠ ADE=∠ B$,
所以$∠ ADE=∠ ACD$。
因为$∠ A=∠ A$,所以$△ ADE∽△ ACD$,
所以$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$,所以$AD^2=AE· AC$,
所以$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AE· AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$,故 A 不符合题意；
因为$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$,且$AC^2=AD· AB$,
所以$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AD· AB}=\frac{AD}{AB}$,故 B 不符合题意；
因为$AD^2=AE· AC$,
所以$\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE· AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{AB}$,故 C 符合题意；
因为$DE// BC$,所以$\frac{EC}{AE}=\frac{BD}{AD}$,所以$\frac{EC}{BD}=\frac{AE}{AD}$,
所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AD^2}=\frac{AE^2}{AE· AC}=\frac{AE}{AC}$。
因为$△ ADE∽△ ABC$,所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$,所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{DE}{BC}$,
故 D 不符合题意。
解析
【分析】
要解决这道题，我们首先需要根据已知条件找出图中的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合平行线的性质得到相关比例关系，再对四个选项的比例式逐一进行推导验证，找出错误的结论。具体思考路径为：①先由∠ACD=∠B和公共角∠A证明△ACD∽△ABC，得到第一组比例关系；②再由DE//BC得到△ADE∽△ABC，结合角的等量代换证明△ADE∽△ACD，得到第二组比例关系；③将每个选项的比例式通过等积代换、比例性质转化为已得到的已知比例，判断是否成立。
【解析】
因为$∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，所以$△ ACD ∽ △ ABC$，因此$\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，可得$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$，且$AC^2=AD·AB$。
因为$DE// BC$，所以$∠ ADE=∠ B$，结合$∠ ACD=∠ B$，得$∠ ADE=∠ ACD$。
又因为$∠ A=∠ A$，所以$△ ADE ∽ △ ACD$，因此$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，可得$AD^2=AE·AC$。
接下来逐一验证选项：
A选项：$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE·AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$，结论正确，不符合题意；
B选项：$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$，将$AC^2=AD·AB$代入，得$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AD·AB}=\frac{AD}{AB}$，结论正确，不符合题意；
C选项：$\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE·AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$，显然$\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{AB}$（$AC≠ AB$），结论错误，符合题意；
D选项：因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{EC}{AE}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{EC}{BD}=\frac{AE}{AD}$，所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AD^2}$，将$AD^2=AE·AC$代入，得$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AE·AC}=\frac{AE}{AC}$。又因为$△ ADE ∽ △ ABC$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，因此$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{DE}{BC}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.平行线分线段成比例 3.比例的基本性质
【点评】
这道题是相似三角形的综合应用类题目，解题核心是先通过已知条件推导得出图中的相似三角形，再结合比例的性质对各选项的比例式进行等价转化验证，能够很好地考查逻辑推导能力和对相似相关知识点的熟练运用程度。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们首先需要根据已知条件找出图中的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合平行线的性质得到相关比例关系，再对四个选项的比例式逐一进行推导验证，找出错误的结论。具体思考路径为：①先由∠ACD=∠B和公共角∠A证明△ACD∽△ABC，得到第一组比例关系；②再由DE//BC得到△ADE∽△ABC，结合角的等量代换证明△ADE∽△ACD，得到第二组比例关系；③将每个选项的比例式通过等积代换、比例性质转化为已得到的已知比例，判断是否成立。
【解析】
因为$∠ ACD=∠ B$，$∠ A=∠ A$，所以$△ ACD ∽ △ ABC$，因此$\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，可得$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$，且$AC^2=AD·AB$。
因为$DE// BC$，所以$∠ ADE=∠ B$，结合$∠ ACD=∠ B$，得$∠ ADE=∠ ACD$。
又因为$∠ A=∠ A$，所以$△ ADE ∽ △ ACD$，因此$\frac{DE}{DC}=\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，可得$AD^2=AE·AC$。
接下来逐一验证选项：
A选项：$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE·AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$，结论正确，不符合题意；
B选项：$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AC^2}$，将$AC^2=AD·AB$代入，得$\frac{DE^2}{DC^2}=\frac{AD^2}{AD·AB}=\frac{AD}{AB}$，结论正确，不符合题意；
C选项：$\frac{AD^2}{AC^2}=\frac{AE·AC}{AC^2}=\frac{AE}{AC}$，显然$\frac{AE}{AC}≠\frac{AE}{AB}$（$AC≠ AB$），结论错误，符合题意；
D选项：因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{EC}{AE}=\frac{BD}{AD}$，即$\frac{EC}{BD}=\frac{AE}{AD}$，所以$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AD^2}$，将$AD^2=AE·AC$代入，得$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{AE^2}{AE·AC}=\frac{AE}{AC}$。又因为$△ ADE ∽ △ ABC$，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，因此$\frac{EC^2}{BD^2}=\frac{DE}{BC}$，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.平行线分线段成比例 3.比例的基本性质
【点评】
这道题是相似三角形的综合应用类题目，解题核心是先通过已知条件推导得出图中的相似三角形，再结合比例的性质对各选项的比例式进行等价转化验证，能够很好地考查逻辑推导能力和对相似相关知识点的熟练运用程度。
【难度系数】
0.6
6. 如图，AC，BD相交于点O，AB//DC，M是AB的中点，MN//AC，交BD于点N，若DO∶OB＝1∶2，AC＝12，则MN的长为（
A.2
B.4
C.6
D.8
B
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先观察到AB平行DC，可先判定△DOC和△BOA相似，结合已知的DO∶OB=1∶2，利用相似三角形对应边成比例求出OA的长度；再根据MN平行AC、M是AB中点的条件，可判断MN是△ABO的中位线，最后利用中位线的性质即可求出MN的长度。
【解析】
1. 因为$AB// DC$，所以$∠ D=∠ B$，$∠ C=∠ A$，可得$△ DOC∽△ BOA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{DO}{OB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，因此$OA=2OC$。
3. 已知$AC=OA+OC=12$，将$OA=2OC$代入得$2OC+OC=12$，解得$OC=4$，$OA=8$。
4. 因为$MN// AC$即$MN// OA$，且M是AB的中点，所以MN是$△ ABO$的中位线。
5. 由三角形中位线性质，中位线长度等于第三边的一半，因此$MN=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合基础题，解题的关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，不要把相似比弄反，再结合中位线性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB平行DC，可先判定△DOC和△BOA相似，结合已知的DO∶OB=1∶2，利用相似三角形对应边成比例求出OA的长度；再根据MN平行AC、M是AB中点的条件，可判断MN是△ABO的中位线，最后利用中位线的性质即可求出MN的长度。
【解析】
1. 因为$AB// DC$，所以$∠ D=∠ B$，$∠ C=∠ A$，可得$△ DOC∽△ BOA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. 根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{DO}{OB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，因此$OA=2OC$。
3. 已知$AC=OA+OC=12$，将$OA=2OC$代入得$2OC+OC=12$，解得$OC=4$，$OA=8$。
4. 因为$MN// AC$即$MN// OA$，且M是AB的中点，所以MN是$△ ABO$的中位线。
5. 由三角形中位线性质，中位线长度等于第三边的一半，因此$MN=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形中位线的综合基础题，解题的关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，不要把相似比弄反，再结合中位线性质计算即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$△ ABD$和$△ DEC$均为直角三角形，C为BD的中点，若$AD⊥ CE$，$AB=4$，$ED=12$，则BC的长为
$2\sqrt{6}$
。答案
7. $2\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题可通过证明三角形相似求解：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，结合AD⊥CE的条件，推导得到两组相等的角，证明△ABD与△CDE相似；再利用C是BD中点的性质，设BC为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵△ABD和△DEC均为直角三角形，∠B、∠D为直角，
∴∠B=∠CDE=90°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ADB = 90°，
∵AD⊥CE，
∴∠DCE + ∠ADB = 90°，
∴∠BAD=∠DCE（同角的余角相等），
∴△ABD∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵C为BD中点，设BC=x，则CD=x，BD=2x，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{ED}$，
将AB=4，ED=12代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{2x}{12}$，
交叉相乘得：$2x^2=48$，
解得$x^2=24$，
∵边长为正，
∴$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是利用同角的余角相等找到相等的角，证明三角形相似，再结合中点性质列方程计算，考察了学生的逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
本题可通过证明三角形相似求解：首先根据直角三角形两锐角互余的性质，结合AD⊥CE的条件，推导得到两组相等的角，证明△ABD与△CDE相似；再利用C是BD中点的性质，设BC为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵△ABD和△DEC均为直角三角形，∠B、∠D为直角，
∴∠B=∠CDE=90°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ADB = 90°，
∵AD⊥CE，
∴∠DCE + ∠ADB = 90°，
∴∠BAD=∠DCE（同角的余角相等），
∴△ABD∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵C为BD中点，设BC=x，则CD=x，BD=2x，
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{ED}$，
将AB=4，ED=12代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{2x}{12}$，
交叉相乘得：$2x^2=48$，
解得$x^2=24$，
∵边长为正，
∴$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是利用同角的余角相等找到相等的角，证明三角形相似，再结合中点性质列方程计算，考察了学生的逻辑推理能力和计算能力。
【难度系数】
0.65
