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例4 如图,在边长为12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E,F,G分别在AB,BC,FD上。若BF=3,则小正方形的边长为 (
A.$\frac{15}{4}$
B.$2\sqrt{3}$
C.5
D.6
A
)A.$\frac{15}{4}$
B.$2\sqrt{3}$
C.5
D.6
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合正方形ABCD的边长和已知BF的长度，先求出FC的长度，再用勾股定理计算出FD的长度；接下来根据正方形EFGH的直角特征，推导得到角的相等关系，结合两个直角证明△BEF与△CFD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入数值计算即可得到小正方形的边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为12
∴$BC=CD=12$，$∠ B=∠ C=90°$
∵$BF=3$，
∴$FC=BC-BF=12-3=9$
在Rt△FCD中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$
∴$∠ BFE+∠ CFD=180°-∠ EFG=90°$
又
∵在Rt△CFD中，$∠ CFD+∠ CDF=90°$
∴$∠ BFE=∠ CDF$
又
∵$∠ B=∠ C=90°$
∴$△ BEF ∽ △ CFD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{FD}$
代入$BF=3$，$CD=12$，$FD=15$得：
$\frac{3}{12}=\frac{EF}{15}$
解得$EF=\frac{3×15}{12}=\frac{15}{4}$
即小正方形的边长为$\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角的互余关系找到相等的角，证明三角形相似，再结合勾股定理和相似的性质求解边长，能够有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形ABCD的边长和已知BF的长度，先求出FC的长度，再用勾股定理计算出FD的长度；接下来根据正方形EFGH的直角特征，推导得到角的相等关系，结合两个直角证明△BEF与△CFD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入数值计算即可得到小正方形的边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为12
∴$BC=CD=12$，$∠ B=∠ C=90°$
∵$BF=3$，
∴$FC=BC-BF=12-3=9$
在Rt△FCD中，由勾股定理得：
$FD=\sqrt{FC^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$
∵四边形EFGH是正方形，
∴$∠ EFG=90°$
∴$∠ BFE+∠ CFD=180°-∠ EFG=90°$
又
∵在Rt△CFD中，$∠ CFD+∠ CDF=90°$
∴$∠ BFE=∠ CDF$
又
∵$∠ B=∠ C=90°$
∴$△ BEF ∽ △ CFD$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{EF}{FD}$
代入$BF=3$，$CD=12$，$FD=15$得：
$\frac{3}{12}=\frac{EF}{15}$
解得$EF=\frac{3×15}{12}=\frac{15}{4}$
即小正方形的边长为$\frac{15}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是通过角的互余关系找到相等的角，证明三角形相似，再结合勾股定理和相似的性质求解边长，能够有效考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
变式 如图，P为等边三角形ABC的边BC上一点，D为AC上一点，若$∠ APD = 60°$。
(1)求证：$△ ABP ∽ △ PCD$。
(2)若$AB=3$，$BP=1$，求CD的长。
(1)求证：$△ ABP ∽ △ PCD$。
(2)若$AB=3$，$BP=1$，求CD的长。
答案
解:(1)证明:因为$△ ABC$是等边三角形,所以$∠ B=60°$,
所以$∠ BAP+∠ APB=180°-∠ B=120°$。
因为$∠ APD=60°$,
所以$∠ CPD+∠ APB=180°-∠ APD=120°$,
所以$∠ BAP+∠ APB=∠ CPD+∠ APB$,
所以$∠ BAP=∠ CPD$。
因为$∠ B=∠ C$,所以$△ ABP∽△ PCD$。
(2)因为$AB=3$,$BP=1$,所以$BC=AB=3$,
所以$PC=BC-BP=3-1=2$。
由(1)知$△ ABP∽△ PCD$,
所以$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$,所以$CD=\frac{BP· PC}{AB}=\frac{1×2}{3}=\frac{2}{3}$,
所以$CD$的长是$\frac{2}{3}$。
所以$∠ BAP+∠ APB=180°-∠ B=120°$。
因为$∠ APD=60°$,
所以$∠ CPD+∠ APB=180°-∠ APD=120°$,
所以$∠ BAP+∠ APB=∠ CPD+∠ APB$,
所以$∠ BAP=∠ CPD$。
因为$∠ B=∠ C$,所以$△ ABP∽△ PCD$。
(2)因为$AB=3$,$BP=1$,所以$BC=AB=3$,
所以$PC=BC-BP=3-1=2$。
由(1)知$△ ABP∽△ PCD$,
所以$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$,所以$CD=\frac{BP· PC}{AB}=\frac{1×2}{3}=\frac{2}{3}$,
所以$CD$的长是$\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）要证明△ABP∽△PCD，优先选用两角对应相等的相似判定定理。已知△ABC是等边三角形，可直接得到∠B=∠C=60°，已有一组角相等，只需再推导一组角相等即可。利用三角形内角和与平角的性质，可证得∠BAP=∠CPD，即可完成相似证明。（2）已有△ABP∽△PCD的结论，根据相似三角形对应边成比例的性质，先求出PC的长度，再代入比例式就能计算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△ABP中，∠BAP+∠APB=180°-∠B=120°。
∵∠APD=60°，
∴∠CPD+∠APB=180°-∠APD=120°，
∴∠BAP+∠APB=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，AB=3，
∴BC=AB=3，
∵BP=1，
∴PC=BC-BP=3-1=2。
由(1)知△ABP∽△PCD，
∴对应边成比例：$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入数值得：$CD=\frac{BP·PC}{AB}=\frac{1×2}{3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础综合题，解题关键是通过角的和差关系找到相等的角完成相似证明，再利用相似性质求解线段长度，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABP∽△PCD，优先选用两角对应相等的相似判定定理。已知△ABC是等边三角形，可直接得到∠B=∠C=60°，已有一组角相等，只需再推导一组角相等即可。利用三角形内角和与平角的性质，可证得∠BAP=∠CPD，即可完成相似证明。（2）已有△ABP∽△PCD的结论，根据相似三角形对应边成比例的性质，先求出PC的长度，再代入比例式就能计算出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△ABP中，∠BAP+∠APB=180°-∠B=120°。
∵∠APD=60°，
∴∠CPD+∠APB=180°-∠APD=120°，
∴∠BAP+∠APB=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD。
(2) 解：
∵△ABC是等边三角形，AB=3，
∴BC=AB=3，
∵BP=1，
∴PC=BC-BP=3-1=2。
由(1)知△ABP∽△PCD，
∴对应边成比例：$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
代入数值得：$CD=\frac{BP·PC}{AB}=\frac{1×2}{3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{2}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础综合题，解题关键是通过角的和差关系找到相等的角完成相似证明，再利用相似性质求解线段长度，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
例5 如图, 在△ABC与△ADE中, ∠ACB=∠AED=90°, ∠ABC=∠ADE, 连结BD, CE。
若AC:BC=1:2, 则$\frac{BD}{CE}$的值为 (
A.$\sqrt{5}$
B.2
C.$1:2$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
若AC:BC=1:2, 则$\frac{BD}{CE}$的值为 (
A
)A.$\sqrt{5}$
B.2
C.$1:2$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
A
解析
【分析】
首先根据已知的两组角对应相等，先判定△ABC与△ADE相似，得到对应边成比例、对应角∠BAC=∠DAE；再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，结合变形后的比例关系判定△ABD与△ACE相似，将BD与CE的比值转化为AB与AC的比值；最后根据AC与BC的比例关系，用勾股定理求出AB的长度，即可计算出所求比值。
【解析】
1. 证明△ABC∽△ADE：
已知∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE。
由相似性质得：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且∠BAC=∠DAE。
2. 推导夹角相等：
∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
3. 证明△ABD∽△ACE：
将$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，又∠BAD=∠CAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACE。
由相似性质得：$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$。
4. 计算比值：
已知AC:BC=1:2，设AC=x，则BC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$
因此$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}x}{x}=\sqrt{5}$，即$\frac{BD}{CE}=\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过两次相似将待求线段的比值转化为已知关系的线段比值，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
首先根据已知的两组角对应相等，先判定△ABC与△ADE相似，得到对应边成比例、对应角∠BAC=∠DAE；再通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，结合变形后的比例关系判定△ABD与△ACE相似，将BD与CE的比值转化为AB与AC的比值；最后根据AC与BC的比例关系，用勾股定理求出AB的长度，即可计算出所求比值。
【解析】
1. 证明△ABC∽△ADE：
已知∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△ADE。
由相似性质得：$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，且∠BAC=∠DAE。
2. 推导夹角相等：
∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
3. 证明△ABD∽△ACE：
将$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$交叉变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，又∠BAD=∠CAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△ACE。
由相似性质得：$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$。
4. 计算比值：
已知AC:BC=1:2，设AC=x，则BC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$
因此$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}x}{x}=\sqrt{5}$，即$\frac{BD}{CE}=\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是通过两次相似将待求线段的比值转化为已知关系的线段比值，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.6
变式 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°,AB=6,BC=8$,在 $Rt△ MPN$ 中,$∠ MPN=90°$,点 $P$ 在 $AC$ 上,$PM$ 交 $AB$ 于点 $E$,$PN$ 交 $BC$ 于点 $F$。
(1)当 $P$ 是 $AC$ 的中点时,求 $\dfrac{PE}{PF}$ 的值。
(2)当 $PE=2PF$ 时,求 $AP$ 的长。
(1)当 $P$ 是 $AC$ 的中点时,求 $\dfrac{PE}{PF}$ 的值。
(2)当 $PE=2PF$ 时,求 $AP$ 的长。
答案
解:(1)如图,过点 P 分别作 $PQ⊥ AB$ 于点 Q, $PR⊥ BC$ 于点 R。
因为 $∠ PQB = ∠ QBR =∠ BRP=90°$,
所以四边形 PQBR 是矩形,
所以$∠ QPR=90°=∠ MPN$,$PQ// BC$,
所以$∠ QPE=∠ RPF$,
所以$△ QPE∽△ RPF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}$。
因为 P 是 AC 的中点,
所以$AC=2AP$,所以$\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$。
因为$PQ// BC$,$AB=6$,$BC=8$,
所以$∠ AQP=∠ ABC$,$∠ APQ=∠ C$,所以$△ AQP∽△ ABC$,
所以$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$,所以$PQ=\frac{1}{2}BC=4$。
同理得$PR=\frac{1}{2}AB=3$。所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=\frac{4}{3}$。
(2)在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$BC=8$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$。
由(1)得$△ AQP∽△ ABC$,$△ QPE∽△ RPF$,$BQ=PR$,
且$PE=2PF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=2$,所以$PQ=2PR=2BQ$。
因为$△ AQP∽△ ABC$,
所以$AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5$。
设$PQ=4x$,则$AQ=3x$,$AP=5x$,$BQ=2x$,
所以$2x+3x=6$,解得$x=\frac{6}{5}$,所以$AP=5x=6$。
解析
【分析】
本题通过构造辅助线，结合相似三角形的性质求解线段比例与长度。解题思路如下：1. 求解第（1）问时，要得到$\frac{PE}{PF}$的比值，可过点P分别向AB、BC作垂线，构造矩形和相似三角形，将PE与PF的比转化为两条垂线段的比，再结合P是AC中点的条件，利用相似三角形求出两条垂线段的长度，即可得到比值；2. 求解第（2）问时，沿用第（1）问的辅助线构造，先由$PE=2PF$得到两条垂线段的比值，再结合Rt△ABC的三边比例关系设未知数表示相关线段，根据AB的总长度列方程求解，即可得到AP的长度。
【解析】
(1) 如图，过点 P 分别作 $PQ⊥ AB$ 于点 Q, $PR⊥ BC$ 于点 R。
因为 $∠ PQB = ∠ QBR =∠ BRP=90°$,
所以四边形 PQBR 是矩形,
所以$∠ QPR=90°=∠ MPN$,$PQ// BC$,
所以$∠ QPE=∠ RPF$,
所以$△ QPE∽△ RPF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}$。
因为 P 是 AC 的中点,
所以$AC=2AP$,所以$\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$。
因为$PQ// BC$,$AB=6$,$BC=8$,
所以$∠ AQP=∠ ABC$,$∠ APQ=∠ C$,所以$△ AQP∽△ ABC$,
所以$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$,所以$PQ=\frac{1}{2}BC=4$。
同理得$PR=\frac{1}{2}AB=3$。所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$BC=8$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$。
由(1)得$△ AQP∽△ ABC$,$△ QPE∽△ RPF$,$BQ=PR$,
且$PE=2PF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=2$,所以$PQ=2PR=2BQ$。
因为$△ AQP∽△ ABC$,
所以$AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5$。
设$PQ=4x$,则$AQ=3x$,$AP=5x$,$BQ=2x$,
所以$2x+3x=6$,解得$x=\frac{6}{5}$,所以$AP=5x=6$。
【答案】
(1) $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{4}{3}$；(2) $AP=6$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，通过作垂线构造相似三角形，将待求的线段关系转化为易求的线段比例，体现了转化的数学思想，能够有效锻炼学生构造辅助线、利用几何性质求解未知量的能力。
【难度系数】
0.6
本题通过构造辅助线，结合相似三角形的性质求解线段比例与长度。解题思路如下：1. 求解第（1）问时，要得到$\frac{PE}{PF}$的比值，可过点P分别向AB、BC作垂线，构造矩形和相似三角形，将PE与PF的比转化为两条垂线段的比，再结合P是AC中点的条件，利用相似三角形求出两条垂线段的长度，即可得到比值；2. 求解第（2）问时，沿用第（1）问的辅助线构造，先由$PE=2PF$得到两条垂线段的比值，再结合Rt△ABC的三边比例关系设未知数表示相关线段，根据AB的总长度列方程求解，即可得到AP的长度。
【解析】
(1) 如图，过点 P 分别作 $PQ⊥ AB$ 于点 Q, $PR⊥ BC$ 于点 R。
因为 $∠ PQB = ∠ QBR =∠ BRP=90°$,
所以四边形 PQBR 是矩形,
所以$∠ QPR=90°=∠ MPN$,$PQ// BC$,
所以$∠ QPE=∠ RPF$,
所以$△ QPE∽△ RPF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}$。
因为 P 是 AC 的中点,
所以$AC=2AP$,所以$\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$。
因为$PQ// BC$,$AB=6$,$BC=8$,
所以$∠ AQP=∠ ABC$,$∠ APQ=∠ C$,所以$△ AQP∽△ ABC$,
所以$\frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}$,所以$PQ=\frac{1}{2}BC=4$。
同理得$PR=\frac{1}{2}AB=3$。所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=\frac{4}{3}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$BC=8$,
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$。
由(1)得$△ AQP∽△ ABC$,$△ QPE∽△ RPF$,$BQ=PR$,
且$PE=2PF$,所以$\frac{PE}{PF}=\frac{PQ}{PR}=2$,所以$PQ=2PR=2BQ$。
因为$△ AQP∽△ ABC$,
所以$AQ:QP:AP=AB:BC:AC=3:4:5$。
设$PQ=4x$,则$AQ=3x$,$AP=5x$,$BQ=2x$,
所以$2x+3x=6$,解得$x=\frac{6}{5}$,所以$AP=5x=6$。
【答案】
(1) $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{4}{3}$；(2) $AP=6$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题目，通过作垂线构造相似三角形，将待求的线段关系转化为易求的线段比例，体现了转化的数学思想，能够有效锻炼学生构造辅助线、利用几何性质求解未知量的能力。
【难度系数】
0.6
