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8. 如图，$△ ABC$为等边三角形，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上，且$∠ ADE=60°$，求证：
(1)$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)$AD· DB=AC· DE$。
(1)$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)$AD· DB=AC· DE$。
答案
证明:(1)因为$△ ABC$为等边三角形,
所以$∠ C=60°$,所以$∠ ADC+∠ CAD=120°$。
因为$∠ ADE=60°$,所以$∠ BDE+∠ ADC=120°$。
所以$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)由(1)知$∠ BDE=∠ CAD$。
又因为$∠ B=∠ C=60°$,所以$△ BDE∽△ CAD$,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$,所以$AD· DB=AC· DE$。
所以$∠ C=60°$,所以$∠ ADC+∠ CAD=120°$。
因为$∠ ADE=60°$,所以$∠ BDE+∠ ADC=120°$。
所以$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)由(1)知$∠ BDE=∠ CAD$。
又因为$∠ B=∠ C=60°$,所以$△ BDE∽△ CAD$,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$,所以$AD· DB=AC· DE$。
解析
【分析】
(1) 要证∠BDE=∠CAD，首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到△ADC中∠ADC与∠CAD的和为120°；再结合已知∠ADE=60°，推出∠BDE与∠ADC的和也为120°，根据同角的补角相等即可得证。
(2) 要证等积式AD·DB=AC·DE，先将其转化为比例式$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$，只需证明比例式对应的△BDE和△CAD相似即可：结合第一问的等角结论，再加等边三角形∠B=∠C=60°的性质，可判定两三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例交叉相乘即可得到待证结论。
【解析】
证明:
(1)因为$△ ABC$为等边三角形,
所以$∠ C=60°$,所以$∠ ADC+∠ CAD=120°$。
因为$∠ ADE=60°$,所以$∠ BDE+∠ ADC=120°$。
所以$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)由(1)知$∠ BDE=∠ CAD$。
又因为$∠ B=∠ C=60°$,所以$△ BDE∽△ CAD$,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$,所以$AD· DB=AC· DE$。
【答案】
证明过程见解析
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过角度和的关系推导等角，再利用等角证明三角形相似，进而通过相似的性质推导等积式，需要熟练掌握角度转化技巧和相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
(1) 要证∠BDE=∠CAD，首先利用等边三角形内角为60°的性质，得到△ADC中∠ADC与∠CAD的和为120°；再结合已知∠ADE=60°，推出∠BDE与∠ADC的和也为120°，根据同角的补角相等即可得证。
(2) 要证等积式AD·DB=AC·DE，先将其转化为比例式$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$，只需证明比例式对应的△BDE和△CAD相似即可：结合第一问的等角结论，再加等边三角形∠B=∠C=60°的性质，可判定两三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例交叉相乘即可得到待证结论。
【解析】
证明:
(1)因为$△ ABC$为等边三角形,
所以$∠ C=60°$,所以$∠ ADC+∠ CAD=120°$。
因为$∠ ADE=60°$,所以$∠ BDE+∠ ADC=120°$。
所以$∠ BDE=∠ CAD$。
(2)由(1)知$∠ BDE=∠ CAD$。
又因为$∠ B=∠ C=60°$,所以$△ BDE∽△ CAD$,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$,所以$AD· DB=AC· DE$。
【答案】
证明过程见解析
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是先通过角度和的关系推导等角，再利用等角证明三角形相似，进而通过相似的性质推导等积式，需要熟练掌握角度转化技巧和相似三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，点$D,E$分别在$AB,AC$上，$DE// BC$，点$F$在边$AB$上，$BC^2 = BF· BA$，$CF$与$DE$相交于点$G$。
(1) 求证：$△ ABC∽△ GDF$。
(2) 当$E$为$AC$的中点时，求证：$\frac{2EG}{DG} = \frac{AF}{DF}$。
(1) 求证：$△ ABC∽△ GDF$。
(2) 当$E$为$AC$的中点时，求证：$\frac{2EG}{DG} = \frac{AF}{DF}$。
答案
证明:(1) 因为 $BC^2 = BF· BA$,所以 $BC: BF= BA: BC$。
而$∠ ABC=∠ CBF$,所以$△ BAC∽△ BCF$。
因为 $DE// BC$,所以$△ BCF∽△ DGF$,所以$△ ABC∽△ GDF$。
(2)过点 A 作 $AH// BC$ 交 CF 的延长线于点 H，如图。
因为 $DE// BC$,所以 $AH// DE$。
因为 E 为 AC 的中点,所以 $AH=2EG$。
因为 $AH// DG$,
所以 $∠ AHF = ∠ DGF$,$∠ HAF =∠ GDF$,
所以$△ AHF∽△ DGF$,
所以$\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$,所以$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$。
解析
【分析】
(1) 要证△ABC∽△GDF，首先将已知等积式$BC^2 = BF· BA$转化为比例式，结合公共角可先证△ABC∽△CBF；再由$DE// BC$可证△DGF∽△CBF，利用相似的传递性即可得证。
(2) 要证$\frac{2EG}{DG} = \frac{AF}{DF}$，结合E是AC中点的条件，构造辅助线$AH// BC$交CF延长线于H，由平行线性质可得$AH// DE$，进而推出$AH=2EG$；再证△AHF∽△DGF得到对应边成比例，将AH替换为2EG即可推导得结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BC^2 = BF· BA$，将等积式变形为比例式得$\frac{BC}{BF}=\frac{BA}{BC}$，
又
∵ $∠ ABC=∠ CBF$，
∴ $△ BAC ∽ △ BCF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ FDG=∠ FBC$，$∠ FGD=∠ FCB$，
∴ $△ BCF ∽ △ DGF$（两角分别相等的两个三角形相似），
由相似的传递性可得$△ ABC ∽ △ GDF$。
(2) 证明：
过点A作$AH// BC$交CF的延长线于点H，
∵ $DE// BC$，
∴ $AH// DE// BC$。
∵ E为AC的中点，$EG// AH$，
∴ EG是△AHC的中位线，即$AH=2EG$。
∵ $AH// DG$，
∴ $∠ AHF = ∠ DGF$，$∠ HAF =∠ GDF$，
∴ $△ AHF ∽ △ DGF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$，将$AH=2EG$代入得$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$，得证。
【答案】
证明:(1) 因为 $BC^2 = BF· BA$,所以 $BC: BF= BA: BC$。
而$∠ ABC=∠ CBF$,所以$△ BAC∽△ BCF$。
因为 $DE// BC$,所以$△ BCF∽△ DGF$,所以$△ ABC∽△ GDF$。
(2)过点 A 作 $AH// BC$ 交 CF 的延长线于点 H，如图。
因为 $DE// BC$,所以 $AH// DE$。
因为 E 为 AC 的中点,所以 $AH=2EG$。
因为 $AH// DG$,
所以 $∠ AHF = ∠ DGF$,$∠ HAF =∠ GDF$,
所以$△ AHF∽△ DGF$,
所以$\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$,所以$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，第一问解题核心是将等积式转化为比例式，结合公共角证相似，再利用相似的传递性推导结论；第二问需要合理构造平行线辅助线，结合中位线性质和相似的比例关系完成证明，对学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△ABC∽△GDF，首先将已知等积式$BC^2 = BF· BA$转化为比例式，结合公共角可先证△ABC∽△CBF；再由$DE// BC$可证△DGF∽△CBF，利用相似的传递性即可得证。
(2) 要证$\frac{2EG}{DG} = \frac{AF}{DF}$，结合E是AC中点的条件，构造辅助线$AH// BC$交CF延长线于H，由平行线性质可得$AH// DE$，进而推出$AH=2EG$；再证△AHF∽△DGF得到对应边成比例，将AH替换为2EG即可推导得结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BC^2 = BF· BA$，将等积式变形为比例式得$\frac{BC}{BF}=\frac{BA}{BC}$，
又
∵ $∠ ABC=∠ CBF$，
∴ $△ BAC ∽ △ BCF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ FDG=∠ FBC$，$∠ FGD=∠ FCB$，
∴ $△ BCF ∽ △ DGF$（两角分别相等的两个三角形相似），
由相似的传递性可得$△ ABC ∽ △ GDF$。
(2) 证明：
过点A作$AH// BC$交CF的延长线于点H，
∵ $DE// BC$，
∴ $AH// DE// BC$。
∵ E为AC的中点，$EG// AH$，
∴ EG是△AHC的中位线，即$AH=2EG$。
∵ $AH// DG$，
∴ $∠ AHF = ∠ DGF$，$∠ HAF =∠ GDF$，
∴ $△ AHF ∽ △ DGF$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$，将$AH=2EG$代入得$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$，得证。
【答案】
证明:(1) 因为 $BC^2 = BF· BA$,所以 $BC: BF= BA: BC$。
而$∠ ABC=∠ CBF$,所以$△ BAC∽△ BCF$。
因为 $DE// BC$,所以$△ BCF∽△ DGF$,所以$△ ABC∽△ GDF$。
(2)过点 A 作 $AH// BC$ 交 CF 的延长线于点 H，如图。
因为 $DE// BC$,所以 $AH// DE$。
因为 E 为 AC 的中点,所以 $AH=2EG$。
因为 $AH// DG$,
所以 $∠ AHF = ∠ DGF$,$∠ HAF =∠ GDF$,
所以$△ AHF∽△ DGF$,
所以$\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$,所以$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，第一问解题核心是将等积式转化为比例式，结合公共角证相似，再利用相似的传递性推导结论；第二问需要合理构造平行线辅助线，结合中位线性质和相似的比例关系完成证明，对学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. (1)如图1,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE,AC=$\frac{3}{2}$AB,AE=$\frac{3}{2}$AD,连结BD,CE,试判断线段BD和CE之间的数量关系,并说明理由。
(2)如图2,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠AED=∠ACB,试猜想线段BD与CE之间的位置关系,并说明理由。
(2)如图2,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠AED=∠ACB,试猜想线段BD与CE之间的位置关系,并说明理由。
答案
解:(1)$CE=\frac{3}{2}BD$。理由如下：
因为$∠ BAC=∠ DAE$,所以$∠ BAD=∠ CAE$。
因为$AC=\frac{3}{2}AB$,$AE=\frac{3}{2}AD$,
所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{2}$,所以$△ ACE∽△ ABD$,
所以$\frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}$,所以$CE=\frac{3}{2}BD$。
(2)$BD⊥ CE$。理由如下：
延长 CE 交 BD 于点 K,交 AB 于点 T,如图。
因为 $∠ BAC = ∠ DAE = 90°$,$∠ AED=∠ ACB$,
所以$△ ABC∽△ ADE$,
所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$。
因为$∠ BAC=∠ DAE=90°$,
所以$∠ BAD=∠ CAE$,所以$△ ABD∽△ ACE$,
所以$∠ ABD=∠ ACE$。
因为$∠ BTK=∠ CTA$,所以$∠ BKT=∠ CAT=90°$,
所以 $BD⊥ CE$。
解析
【分析】
(1) 要判断BD和CE的数量关系，首先由已知∠BAC=∠DAE可推导得到夹角∠BAD=∠CAE，再结合给出的边的比例关系$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{2}$，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明△ACE和△ABD相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可得到两条线段的数量关系。
(2) 要判断BD和CE的位置关系，首先由两个直角三角形中∠AED=∠ACB，可证△ABC∽△ADE，推导得到边的比例$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，再结合∠BAC=∠DAE推导得到∠BAD=∠CAE，证明△ABD∽△ACE，得到对应角∠ABD=∠ACE；通过延长CE交BD于K、交AB于T，利用对顶角相等和三角形内角和的性质，可推导得到夹角为90°，即可得到两条线段的位置关系。
【解析】
(1) $CE=\frac{3}{2}BD$，理由如下：
∵$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
∵$AC=\frac{3}{2}AB$，$AE=\frac{3}{2}AD$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{2}$，
∴$△ ACE ∽ △ ABD$，
∴$\frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}$，即$CE=\frac{3}{2}BD$。
(2) $BD ⊥ CE$，理由如下：
延长CE交BD于点K，交AB于点T，如图：
∵$∠ BAC=∠ DAE=90°$，$∠ AED=∠ ACB$，
∴$△ ABC ∽ △ ADE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∵$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$∠ ABD=∠ ACE$，
又
∵$∠ BTK=∠ CTA$（对顶角相等），
∴$∠ BKT=∠ CAT=90°$，
∴$BD ⊥ CE$。
【答案】
(1) $CE=\frac{3}{2}BD$；
(2) $BD ⊥ CE$，辅助线如图：
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，解题核心是通过角的等量转换得到相似三角形的判定条件，结合相似三角形的性质推导边的数量关系和位置关系，第二问需要合理构造辅助线转化角的关系证明垂直，能有效考查几何逻辑推理能力和辅助线运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断BD和CE的数量关系，首先由已知∠BAC=∠DAE可推导得到夹角∠BAD=∠CAE，再结合给出的边的比例关系$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{2}$，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明△ACE和△ABD相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可得到两条线段的数量关系。
(2) 要判断BD和CE的位置关系，首先由两个直角三角形中∠AED=∠ACB，可证△ABC∽△ADE，推导得到边的比例$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，再结合∠BAC=∠DAE推导得到∠BAD=∠CAE，证明△ABD∽△ACE，得到对应角∠ABD=∠ACE；通过延长CE交BD于K、交AB于T，利用对顶角相等和三角形内角和的性质，可推导得到夹角为90°，即可得到两条线段的位置关系。
【解析】
(1) $CE=\frac{3}{2}BD$，理由如下：
∵$∠ BAC=∠ DAE$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
∵$AC=\frac{3}{2}AB$，$AE=\frac{3}{2}AD$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{2}$，
∴$△ ACE ∽ △ ABD$，
∴$\frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}$，即$CE=\frac{3}{2}BD$。
(2) $BD ⊥ CE$，理由如下：
延长CE交BD于点K，交AB于点T，如图：
∵$∠ BAC=∠ DAE=90°$，$∠ AED=∠ ACB$，
∴$△ ABC ∽ △ ADE$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∵$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$△ ABD ∽ △ ACE$，
∴$∠ ABD=∠ ACE$，
又
∵$∠ BTK=∠ CTA$（对顶角相等），
∴$∠ BKT=∠ CAT=90°$，
∴$BD ⊥ CE$。
【答案】
(1) $CE=\frac{3}{2}BD$；
(2) $BD ⊥ CE$，辅助线如图：
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是相似三角形的典型应用题型，解题核心是通过角的等量转换得到相似三角形的判定条件，结合相似三角形的性质推导边的数量关系和位置关系，第二问需要合理构造辅助线转化角的关系证明垂直，能有效考查几何逻辑推理能力和辅助线运用能力。
【难度系数】
0.6
