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2.已知线段$AB=8$(点$A$在点$B$的左侧)，若在直线$AB$上取一点$C$，使得$AC=3BC$，点$D$是$BC$的中点，求$AD$的长.
答案
解：分两种情况讨论：
情况1：点C在线段AB上。
∵ $AB = AC + BC = 8$，$AC = 3BC$，
∴ $3BC + BC = 8$，
解得 $BC = 2$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 1$，
∴ $AD = AB - BD = 8 - 1 = 7$。
情况2：点C在线段AB的延长线上（点B的右侧）。
∵ $AC = AB + BC$，$AC = 3BC$，
∴ $AB + BC = 3BC$，
即 $8 = 2BC$，
解得 $BC = 4$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 2$，
∴ $AD = AB + BD = 8 + 2 = 10$。
综上，AD的长为7或10。
情况1：点C在线段AB上。
∵ $AB = AC + BC = 8$，$AC = 3BC$，
∴ $3BC + BC = 8$，
解得 $BC = 2$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 1$，
∴ $AD = AB - BD = 8 - 1 = 7$。
情况2：点C在线段AB的延长线上（点B的右侧）。
∵ $AC = AB + BC$，$AC = 3BC$，
∴ $AB + BC = 3BC$，
即 $8 = 2BC$，
解得 $BC = 4$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 2$，
∴ $AD = AB + BD = 8 + 2 = 10$。
综上，AD的长为7或10。
解析
【分析】
本题中提到点C在直线AB上，因此点C的位置不唯一，需要分类讨论：由于AC=3BC，AC长度大于BC，因此点C不可能在点A的左侧，仅存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上（点B右侧）。解题时先结合AB的长度与AC、BC的数量关系求出BC的长，再根据线段中点的性质求出BD的长，最后通过线段的和差运算计算AD的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：点C在线段AB上。
∵ $AB = AC + BC = 8$，$AC = 3BC$，
∴ $3BC + BC = 8$，
解得 $BC = 2$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 1$，
∴ $AD = AB - BD = 8 - 1 = 7$。
情况2：点C在线段AB的延长线上（点B的右侧）。
∵ $AC = AB + BC$，$AC = 3BC$，
∴ $AB + BC = 3BC$，
即 $8 = 2BC$，
解得 $BC = 4$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 2$，
∴ $AD = AB + BD = 8 + 2 = 10$。
综上，AD的长为7或10。
【答案】
7或10
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线AB”的条件，默认点C在线段AB上导致漏解，解题时需先确定所有符合条件的点的位置，再结合线段的数量关系和中点性质逐步计算，能有效提升分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
本题中提到点C在直线AB上，因此点C的位置不唯一，需要分类讨论：由于AC=3BC，AC长度大于BC，因此点C不可能在点A的左侧，仅存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上（点B右侧）。解题时先结合AB的长度与AC、BC的数量关系求出BC的长，再根据线段中点的性质求出BD的长，最后通过线段的和差运算计算AD的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：点C在线段AB上。
∵ $AB = AC + BC = 8$，$AC = 3BC$，
∴ $3BC + BC = 8$，
解得 $BC = 2$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 1$，
∴ $AD = AB - BD = 8 - 1 = 7$。
情况2：点C在线段AB的延长线上（点B的右侧）。
∵ $AC = AB + BC$，$AC = 3BC$，
∴ $AB + BC = 3BC$，
即 $8 = 2BC$，
解得 $BC = 4$。
∵ 点D是BC的中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = 2$，
∴ $AD = AB + BD = 8 + 2 = 10$。
综上，AD的长为7或10。
【答案】
7或10
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线AB”的条件，默认点C在线段AB上导致漏解，解题时需先确定所有符合条件的点的位置，再结合线段的数量关系和中点性质逐步计算，能有效提升分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
3.如图,直线上的四个点A,B,C,D分别代表四个小区,其中A小区和B小区相距50 m,B小区和C小区相距200 m,C小区和D小区相距50 m.某公司的员工在A小区有30人,B小区有5人,C小区有20人,D小区有6人.现公司计划在A,B,C,D四个小区中选一个作为班车停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小,那么停靠点的位置应设在哪个小区?试通过计算说明理由.
答案
解：分别计算停靠点设在四个小区时所有员工步行的路程总和：
若停靠点设在A小区：
总路程 = $5×50 + 20×(50+200) + 6×(50+200+50)$
$=250 + 5000 + 1800 = 7050\ \mathrm{m}$
若停靠点设在B小区：
总路程 = $30×50 + 20×200 + 6×(200+50)$
$=1500 + 4000 + 1500 = 7000\ \mathrm{m}$
若停靠点设在C小区：
总路程 = $30×(50+200) + 5×200 + 6×50$
$=7500 + 1000 + 300 = 8800\ \mathrm{m}$
若停靠点设在D小区：
总路程 = $30×(50+200+50) + 5×(200+50) + 20×50$
$=9000 + 1250 + 1000 = 11250\ \mathrm{m}$
因为$7000＜7050＜8800＜11250$，所以停靠点的位置应设在B小区。
答：停靠点的位置应设在B小区。
若停靠点设在A小区：
总路程 = $5×50 + 20×(50+200) + 6×(50+200+50)$
$=250 + 5000 + 1800 = 7050\ \mathrm{m}$
若停靠点设在B小区：
总路程 = $30×50 + 20×200 + 6×(200+50)$
$=1500 + 4000 + 1500 = 7000\ \mathrm{m}$
若停靠点设在C小区：
总路程 = $30×(50+200) + 5×200 + 6×50$
$=7500 + 1000 + 300 = 8800\ \mathrm{m}$
若停靠点设在D小区：
总路程 = $30×(50+200+50) + 5×(200+50) + 20×50$
$=9000 + 1250 + 1000 = 11250\ \mathrm{m}$
因为$7000＜7050＜8800＜11250$，所以停靠点的位置应设在B小区。
答：停靠点的位置应设在B小区。
解析
【分析】
要确定使所有员工步行总路程最小的停靠点，可采用分类讨论的方法：分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时的总路程，计算时用每个小区的员工人数乘该小区到停靠点的距离，求和得到对应总路程，再比较四个总路程的大小，总路程最小的小区即为最优停靠点。
【解析】
分别计算停靠点设在四个小区时所有员工步行的路程总和：
若停靠点设在A小区：
总路程 = $5×50 + 20×(50+200) + 6×(50+200+50)$
$=250 + 5000 + 1800 = 7050\ \mathrm{m}$
若停靠点设在B小区：
总路程 = $30×50 + 20×200 + 6×(200+50)$
$=1500 + 4000 + 1500 = 7000\ \mathrm{m}$
若停靠点设在C小区：
总路程 = $30×(50+200) + 5×200 + 6×50$
$=7500 + 1000 + 300 = 8800\ \mathrm{m}$
若停靠点设在D小区：
总路程 = $30×(50+200+50) + 5×(200+50) + 20×50$
$=9000 + 1250 + 1000 = 11250\ \mathrm{m}$
因为$7000＜7050＜8800＜11250$，所以停靠点设在B小区时总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
有理数混合运算，最优方案选择，距离计算
【点评】
本题考查分类讨论思想在实际最优问题中的应用，解题时需准确计算不同方案下的总路程，计算过程中要注意各小区到停靠点的距离不要出错，最终通过比较大小得到最优解。
【难度系数】
0.7
要确定使所有员工步行总路程最小的停靠点，可采用分类讨论的方法：分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时的总路程，计算时用每个小区的员工人数乘该小区到停靠点的距离，求和得到对应总路程，再比较四个总路程的大小，总路程最小的小区即为最优停靠点。
【解析】
分别计算停靠点设在四个小区时所有员工步行的路程总和：
若停靠点设在A小区：
总路程 = $5×50 + 20×(50+200) + 6×(50+200+50)$
$=250 + 5000 + 1800 = 7050\ \mathrm{m}$
若停靠点设在B小区：
总路程 = $30×50 + 20×200 + 6×(200+50)$
$=1500 + 4000 + 1500 = 7000\ \mathrm{m}$
若停靠点设在C小区：
总路程 = $30×(50+200) + 5×200 + 6×50$
$=7500 + 1000 + 300 = 8800\ \mathrm{m}$
若停靠点设在D小区：
总路程 = $30×(50+200+50) + 5×(200+50) + 20×50$
$=9000 + 1250 + 1000 = 11250\ \mathrm{m}$
因为$7000＜7050＜8800＜11250$，所以停靠点设在B小区时总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
有理数混合运算，最优方案选择，距离计算
【点评】
本题考查分类讨论思想在实际最优问题中的应用，解题时需准确计算不同方案下的总路程，计算过程中要注意各小区到停靠点的距离不要出错，最终通过比较大小得到最优解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A在原点左侧，点B在原点右侧，且点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，AB＝15.
(1)点A表示的数为，点B表示的数为；
(2)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B方向运动；同时，点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后，马上改变方向与点P同向而行，且速度始终为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒.
①当点P与点Q重合时，求t的值；
②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.
(1)点A表示的数为，点B表示的数为；
(2)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B方向运动；同时，点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后，马上改变方向与点P同向而行，且速度始终为每秒2个单位长度.设运动时间为t秒.
①当点P与点Q重合时，求t的值；
②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.
答案
解：
(1) 设点B表示的数为$x$，则点A表示的数为$-2x$，
由$AB=15$得：$x - (-2x)=15$，
解得$x=5$，
所以点A表示的数为$\boldsymbol{-10}$，点B表示的数为$\boldsymbol{5}$。
(2) ① 点P、Q相向运动，重合时两者运动路程和为15，
列方程得：$t + 2t = 15$，
解得$t=5$。
② 分两种情况讨论：
当$0＜t≤5$时，点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$5-2t$，
此时$AP=t$，$AQ=(5-2t)-(-10)=15-2t$。
若$AP=\frac{1}{3}AQ$，则$t=\frac{1}{3}(15-2t)$，解得$t=3$；
若$AP=\frac{2}{3}AQ$，则$t=\frac{2}{3}(15-2t)$，解得$t=\frac{30}{7}$。
当$t＞5$时，点P、Q在$t=5$时重合于$-5$，之后同向向正方向运动，
点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$-5+2(t-5)=2t-15$，
此时$AP=t$，$AQ=(2t-15)-(-10)=2t-5$。
若$AP=\frac{1}{3}AQ$，则$t=\frac{1}{3}(2t-5)$，解得$t=-5$，不符合$t＞5$，舍去；
若$AP=\frac{2}{3}AQ$，则$t=\frac{2}{3}(2t-5)$，解得$t=10$，符合题意。
综上，$t$的值为$3$或$\frac{30}{7}$或$10$。
(1) 设点B表示的数为$x$，则点A表示的数为$-2x$，
由$AB=15$得：$x - (-2x)=15$，
解得$x=5$，
所以点A表示的数为$\boldsymbol{-10}$，点B表示的数为$\boldsymbol{5}$。
(2) ① 点P、Q相向运动，重合时两者运动路程和为15，
列方程得：$t + 2t = 15$，
解得$t=5$。
② 分两种情况讨论：
当$0＜t≤5$时，点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$5-2t$，
此时$AP=t$，$AQ=(5-2t)-(-10)=15-2t$。
若$AP=\frac{1}{3}AQ$，则$t=\frac{1}{3}(15-2t)$，解得$t=3$；
若$AP=\frac{2}{3}AQ$，则$t=\frac{2}{3}(15-2t)$，解得$t=\frac{30}{7}$。
当$t＞5$时，点P、Q在$t=5$时重合于$-5$，之后同向向正方向运动，
点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$-5+2(t-5)=2t-15$，
此时$AP=t$，$AQ=(2t-15)-(-10)=2t-5$。
若$AP=\frac{1}{3}AQ$，则$t=\frac{1}{3}(2t-5)$，解得$t=-5$，不符合$t＞5$，舍去；
若$AP=\frac{2}{3}AQ$，则$t=\frac{2}{3}(2t-5)$，解得$t=10$，符合题意。
综上，$t$的值为$3$或$\frac{30}{7}$或$10$。
解析
【分析】
(1) 根据数轴上点的位置特征，点A在原点左侧为负数，点B在原点右侧为正数，结合A到原点的距离是B的2倍，设B表示的数为x，则A表示的数为-2x，再利用AB的距离等于右侧点坐标减左侧点坐标列方程求解即可。
(2) ① 点P、Q相向运动，相遇时两者走过的路程之和等于AB的总长度15，根据路程=速度×时间列方程即可求出相遇时间t。
② 分两大情况讨论：一是相遇前（0＜t≤5），此时Q向左运动、P向右运动，分别表示出两点对应的数和AP、AQ的长度，再结合P是AQ的三等分点，分$AP=\frac{1}{3}AQ$和$AP=\frac{2}{3}AQ$两种情况列方程求解；二是相遇后（t＞5），此时Q改变方向和P同向向右运动，先求出相遇点坐标，再表示出此时P、Q对应的数和AQ的长度，同样分三等分的两种情况列方程，舍去不符合t＞5的解，最后汇总符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 设点B表示的数为$x$，因为点A在原点左侧，且到原点的距离是点B到原点距离的2倍，所以点A表示的数为$-2x$。
由$AB=15$，结合数轴上两点距离为右侧点坐标减左侧点坐标，可得：
$x - (-2x)=15$
解得$x=5$，则$-2x=-10$。
因此点A表示的数为$-10$，点B表示的数为$5$。
(2) ① 点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，相向运动相遇时，两者路程和等于AB的长度15，列方程得：
$t + 2t = 15$
解得$t=5$。
② 分两种情况讨论：
情况1：$0＜t≤5$，即P、Q相遇前（含相遇时）
此时点P表示的数为$-10+t$，点Q向左运动，表示的数为$5-2t$。
$AP=t$，$AQ=(5-2t)-(-10)=15-2t$。
若P是AQ的三等分点，分两种子情况：
当$AP=\frac{1}{3}AQ$时：$t=\frac{1}{3}(15-2t)$，解得$t=3$，符合$0＜t≤5$；
当$AP=\frac{2}{3}AQ$时：$t=\frac{2}{3}(15-2t)$，解得$t=\frac{30}{7}$，符合$0＜t≤5$。
情况2：$t＞5$，即P、Q相遇后
t=5时两点相遇在$-10+5=-5$处，之后Q改为向右运动，速度仍为每秒2个单位长度。
此时点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$-5 + 2(t-5)=2t-15$。
$AP=t$，$AQ=(2t-15)-(-10)=2t-5$。
同样分两种子情况：
当$AP=\frac{1}{3}AQ$时：$t=\frac{1}{3}(2t-5)$，解得$t=-5$，不符合$t＞5$，舍去；
当$AP=\frac{2}{3}AQ$时：$t=\frac{2}{3}(2t-5)$，解得$t=10$，符合$t＞5$。
综上，满足条件的t的值为$3$、$\frac{30}{7}$、$10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{5}$；
(2) ① $\boldsymbol{t=5}$；② $\boldsymbol{t=3}$或$\boldsymbol{t=\frac{30}{7}}$或$\boldsymbol{t=10}$
【知识点】
数轴与两点距离、一元一次方程的应用、分类讨论思想
【点评】
本题以数轴为载体考查动点相关计算，解题时需要分阶段讨论点的运动状态，同时三等分点包含两种情况，要避免漏解，求出解后注意检验是否符合对应阶段的时间范围，确保解的合理性。
【难度系数】
0.55
(1) 根据数轴上点的位置特征，点A在原点左侧为负数，点B在原点右侧为正数，结合A到原点的距离是B的2倍，设B表示的数为x，则A表示的数为-2x，再利用AB的距离等于右侧点坐标减左侧点坐标列方程求解即可。
(2) ① 点P、Q相向运动，相遇时两者走过的路程之和等于AB的总长度15，根据路程=速度×时间列方程即可求出相遇时间t。
② 分两大情况讨论：一是相遇前（0＜t≤5），此时Q向左运动、P向右运动，分别表示出两点对应的数和AP、AQ的长度，再结合P是AQ的三等分点，分$AP=\frac{1}{3}AQ$和$AP=\frac{2}{3}AQ$两种情况列方程求解；二是相遇后（t＞5），此时Q改变方向和P同向向右运动，先求出相遇点坐标，再表示出此时P、Q对应的数和AQ的长度，同样分三等分的两种情况列方程，舍去不符合t＞5的解，最后汇总符合条件的t值即可。
【解析】
(1) 设点B表示的数为$x$，因为点A在原点左侧，且到原点的距离是点B到原点距离的2倍，所以点A表示的数为$-2x$。
由$AB=15$，结合数轴上两点距离为右侧点坐标减左侧点坐标，可得：
$x - (-2x)=15$
解得$x=5$，则$-2x=-10$。
因此点A表示的数为$-10$，点B表示的数为$5$。
(2) ① 点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，相向运动相遇时，两者路程和等于AB的长度15，列方程得：
$t + 2t = 15$
解得$t=5$。
② 分两种情况讨论：
情况1：$0＜t≤5$，即P、Q相遇前（含相遇时）
此时点P表示的数为$-10+t$，点Q向左运动，表示的数为$5-2t$。
$AP=t$，$AQ=(5-2t)-(-10)=15-2t$。
若P是AQ的三等分点，分两种子情况：
当$AP=\frac{1}{3}AQ$时：$t=\frac{1}{3}(15-2t)$，解得$t=3$，符合$0＜t≤5$；
当$AP=\frac{2}{3}AQ$时：$t=\frac{2}{3}(15-2t)$，解得$t=\frac{30}{7}$，符合$0＜t≤5$。
情况2：$t＞5$，即P、Q相遇后
t=5时两点相遇在$-10+5=-5$处，之后Q改为向右运动，速度仍为每秒2个单位长度。
此时点P表示的数为$-10+t$，点Q表示的数为$-5 + 2(t-5)=2t-15$。
$AP=t$，$AQ=(2t-15)-(-10)=2t-5$。
同样分两种子情况：
当$AP=\frac{1}{3}AQ$时：$t=\frac{1}{3}(2t-5)$，解得$t=-5$，不符合$t＞5$，舍去；
当$AP=\frac{2}{3}AQ$时：$t=\frac{2}{3}(2t-5)$，解得$t=10$，符合$t＞5$。
综上，满足条件的t的值为$3$、$\frac{30}{7}$、$10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{5}$；
(2) ① $\boldsymbol{t=5}$；② $\boldsymbol{t=3}$或$\boldsymbol{t=\frac{30}{7}}$或$\boldsymbol{t=10}$
【知识点】
数轴与两点距离、一元一次方程的应用、分类讨论思想
【点评】
本题以数轴为载体考查动点相关计算，解题时需要分阶段讨论点的运动状态，同时三等分点包含两种情况，要避免漏解，求出解后注意检验是否符合对应阶段的时间范围，确保解的合理性。
【难度系数】
0.55
